iida_256君の等式を積分で直接示す
で示されている以下の等式を、Hoffmanの恒等式などを使わずに、積分で直接示します。
$m,n>0$を満たす整数$m,n$について、等式
$$
\frac{1}{n!}\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\prod_{k=1}^n\left(\frac{1}{i_k}-\frac{1}{m+\sum_{l=1}^ki_l}\right)=\sum_{1\leq j_1\leq\cdots\leq j_n\leq m}\frac{1}{j_1\cdots j_n}
$$
が成り立つ。
まず左辺を記事の内容に従って変形します.
$$
\begin {aligned}
\frac{1}{n!}\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\prod_{k=1}^n\left(\frac{1}{i_k}-\frac{1}{m+\sum_{l=1}^ki_l}\right)
&=\frac {m}{n!}\int _{0}^{1}x^{m-1}\ln ^{n}\frac {1}{1-x}dx
\end {aligned}
$$
この積分を,重積分にすることで目的の級数に変形します.
$$
w_1(t)=\frac{dt}{1-t}
$$
とします.
$$
\begin {aligned}
&\frac {m}{n!}\int _{0}^{1}x^{m-1}\ln ^{n}\frac {1}{1-x}dx\\
&=\frac {m}{n!}\int _{0}^{1}x^{m-1}\int _{0< t_1,\cdots ,t_n< x}w_1(t_1)\cdots w_1(t_n)dx\\
&=m\int _{0}^{1}x^{m-1}\int _{0< t_1<\cdots < t_n< x}w_1(t_1)\cdots w_1(t_n)dx\\
&=m\int _{0< t_1<\cdots < t_n<1}w_1(t_1)\cdots w_1(t_{n-1})\frac {1-t_n^{m}}m\frac {dt_n}{1-t_n}\\
&=\int _{0< t_1<\cdots < t_{n-1}<1}w_1(t_1)\cdots w_1(t_{n-1})\sum _{0< j_n\leq m}\int _{t_{n-1}}^{1}t_n^{j_n-1}dt_n\\
&=\int _{0< t_1<\cdots < t_{n-2}<1}w_1(t_1)\cdots w_1(t_{n-2})\sum _{0< j_n\leq m}\frac {1}{j_n}\int _{t_{n-2}}^{1}\frac {1-t_{n-1}^{j_n}}{1-t_{n-1}}dt_{n-1}\\
&\quad \vdots \\
&=\sum _{0< j_2\leq \cdots \leq j_{n}\leq m}\frac {1}{j_2\cdots j_{n}}\int _{0}^1\frac {1-t_{1}^{j_2}}{1-t_{1}}dt_{1}\\
&=\sum _{0< j_1\leq \cdots \leq j_{n}\leq m}\frac {1}{j_{1}\cdots j_{n}}
\end {aligned}
$$
よって示されました.
