iida_256君の等式を積分で直接示す

で示されている以下の等式を、Hoffmanの恒等式などを使わずに、積分で直接示します。

$m, n > 0$ を満たす整数 $m, n$ について、等式
$\frac{1}{n!} \sum_{0 < i_{1}, \dots, i_{n}} \prod_{k = 1}^{n} (\frac{1}{i_{k}} - \frac{1}{m + \sum_{l = 1}^{k} i_{l}}) = \sum_{1 \leq j_{1} \leq \dots \leq j_{n} \leq m} \frac{1}{j_{1} \dots j_{n}}$
が成り立つ。

まず左辺を記事の内容に従って変形します.
$\begin{aligned} \frac{1}{n!} \sum_{0 < i_{1}, \dots, i_{n}} \prod_{k = 1}^{n} (\frac{1}{i_{k}} - \frac{1}{m + \sum_{l = 1}^{k} i_{l}}) & = \frac{m}{n!} \int_{0}^{1} x^{m - 1} \ln^{n} \frac{1}{1 - x} d x \end{aligned}$
この積分を,重積分にすることで目的の級数に変形します.
$w_{1} (t) = \frac{d t}{1 - t}$
とします.
$\begin{aligned} \frac{m}{n!} \int_{0}^{1} x^{m - 1} \ln^{n} \frac{1}{1 - x} d x \\ = \frac{m}{n!} \int_{0}^{1} x^{m - 1} \int_{0 < t_{1}, \dots, t_{n} < x} w_{1} (t_{1}) \dots w_{1} (t_{n}) d x \\ = m \int_{0}^{1} x^{m - 1} \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n} < x} w_{1} (t_{1}) \dots w_{1} (t_{n}) d x \\ = m \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n} < 1} w_{1} (t_{1}) \dots w_{1} (t_{n - 1}) \frac{1 - t_{n}^{m}}{m} \frac{d t_{n}}{1 - t_{n}} \\ = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n - 1} < 1} w_{1} (t_{1}) \dots w_{1} (t_{n - 1}) \sum_{0 < j_{n} \leq m} \int_{t_{n - 1}}^{1} t_{n}^{j_{n} - 1} d t_{n} \\ = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n - 2} < 1} w_{1} (t_{1}) \dots w_{1} (t_{n - 2}) \sum_{0 < j_{n} \leq m} \frac{1}{j_{n}} \int_{t_{n - 2}}^{1} \frac{1 - t_{n - 1}^{j_{n}}}{1 - t_{n - 1}} d t_{n - 1} \\ ⋮ \\ = \sum_{0 < j_{2} \leq \dots \leq j_{n} \leq m} \frac{1}{j_{2} \dots j_{n}} \int_{0}^{1} \frac{1 - t_{1}^{j_{2}}}{1 - t_{1}} d t_{1} \\ = \sum_{0 < j_{1} \leq \dots \leq j_{n} \leq m} \frac{1}{j_{1} \dots j_{n}} \end{aligned}$