ネーターカレントの導出・Gell-Mann-Levyの方法
「ネーターの第１定理」の記事に関して
以前
「ゲージ対称性とは何か(1): ネーターの第１定理」
という記事を書きました。
最近この記事が読まれているようで嬉しいです。
ただ、ひとつ懸念があります。
この記事、ネーターカレントを導くには余計な議論が多いです。
カレントを導くのが目的の人が見たら、議論がややこしすぎて敬遠してしまうことを危惧しています。
上記記事は、ネーターの第２定理を導くための前準備です。そのため、Lagrangianの変分をかなり一般的な形で行っています。これはネーターカレントの導出としては「やりすぎ」です。そんな一般的な変分は必要ありません。
あと上記記事は点粒子の力学におけるカレントで、場の理論のそれではありません。
そこで本記事では、場の理論におけるネーターカレントを導く標準的な方法を書いておきます。
そしてもうひとつ、カレントを導くのに便利な方法である「Gell-Mann-Levyの方法」(Ref.[1])を記しておきます。よく使われる方法だと思うのですが、ちゃんと書いてある教科書は意外に少ない気がします。
場の理論におけるネーターカレントの標準的な導出
場の変換: $\phi^\alpha\rightarrow \phi^\alpha+\epsilon G^\alpha(\phi) \ \ \ \ $ ($\epsilon$は微小な定数変換パラメータ、$G^\alpha(\phi)$は$\phi$の関数)
に対し、Lagrangianが不変とする。このときネーターカレントを
\begin{align}
\displaystyle j^\mu:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}G^\alpha \tag{1}
\end{align}
で定義すると、カレントの発散はゼロになる：
\begin{align}
\partial_\mu j^\mu=0
\end{align}
Lagrangian ${\cal L}(\phi,\partial_\mu \phi)$に、場の大域的な変換
\begin{align}
\phi^\alpha \rightarrow \phi^\alpha + \epsilon G^\alpha(\phi)
\end{align}
をほどこします。ここで$G$は$\phi^\alpha$の関数であり、$\epsilon$は任意の微小な定数です。
$\delta \phi^\alpha=\epsilon G^\alpha(\phi)$とすると、この変換で${\cal L}$は以下のように変化します：
\begin{align}
{\cal L}(\phi,\partial_\mu \phi)&\rightarrow {\cal L}(\phi+\delta\phi,\partial_\mu (\phi+\delta\phi))\\
&={\cal L}(\phi,\partial_\mu \phi)
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi^\alpha}\delta\phi^\alpha
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\partial_\mu(\delta\phi^\alpha)\\
&={\cal L}(\phi,\partial_\mu \phi)
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi^\alpha}\delta\phi^\alpha
+\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\delta\phi^\alpha\right)
-\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\right)\delta\phi^\alpha
\end{align}
Euler-Lagrange方程式: $\displaystyle\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\right)=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\phi^\alpha}$を用いて書き換えれば
\begin{align}
={\cal L}(\phi,\partial_\mu \phi)
+\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\delta\phi^\alpha\right)
\end{align}
を得ます。
仮定よりLagrangianはこの変換で不変なので
\begin{align}
\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\delta\phi^\alpha\right)=0
\end{align}
が成り立ちます。$\delta \phi^\alpha=\epsilon G^\alpha$なので、任意定数$\epsilon$を捨てて
\begin{align}
\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}G^\alpha\right)=0
\end{align}
ゆえにカレントを
\begin{align}
j^\mu:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}G^\alpha
\end{align}
で定義すると、カレント保存則
\begin{align}
\partial_\mu j^\mu=0
\end{align}
が成立します。${}_\blacksquare$
ここで、チャージ密度$\rho$およびチャージ$Q$を
\begin{align} \rho:=j^0, \ \ \ Q:=\int x^3 j^0 \end{align}
とします。すると
\begin{align}
\partial_\mu j^\mu =0 \\
\leftrightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t}+\vec \partial\cdot \vec j=0
\end{align}
を得ます。これはいわゆる「連続の方程式」です。両辺を領域$V$で体積積分し、ガウスの発散定理を使うと
$$
\frac{\partial Q}{\partial t}+\int_\partial\vec j\cdot d\vec S=0
$$
が導けます。第２項は、領域$V$の境界$\partial$における"電流"$\vec j$の面積分です。すなわち、領域$V$のチャージの変化は、$V$の表面から出ていく電流の面積分に等しいことを言っています。つまり、チャージは勝手に消えたり増えたりせず、出ていった電荷の分減る。これはチャージの保存です。
Gell-Mann-Levyの方法
上記と同様、$\epsilon$を任意の微小定数として、${\cal L}(\phi,\partial_\mu \phi)$は$\phi\rightarrow \phi^\alpha+\epsilon G^\alpha (\phi)$に対して不変だとします。
ここでカレントを導く便宜上、定数$\epsilon$を$\epsilon(x)$のように時空に依存させます。 Gell-Mann-Levyの方法(Ref.[1])とは、この局所的な変換に対するLagrangianの変化に対し、以下の関係式を用いてカレントおよびその発散を計算する方法です：
$\epsilon$を任意の微小定数として、${\cal L}(\phi,\partial_\mu \phi)$は$\phi^\alpha\rightarrow \phi^\alpha+\epsilon G^\alpha (\phi)$に対し不変とする。このとき$\epsilon$を時空に依存させた変換: $\phi^\alpha\rightarrow \phi^\alpha+\epsilon(x)G^\alpha (\phi)$に対し、Lagrangianが${\cal L}\rightarrow {\cal L}+\delta{\cal L}$と変化するなら、
$$\delta {\cal L}=j^\mu(\partial_\mu \epsilon)+\epsilon (\partial_\mu j^\mu)\tag{2}$$
が成立する。ただし$j^\mu$はEq.(1)で定義したカレントである。
以下、カレントの定義
\begin{align}
j^\mu=\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}G^\alpha
\end{align}
を使い、Eq.(1)の右辺を書き換えます：
\begin{align}
&\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}G^\alpha\right)(\partial_\mu\epsilon)
+
\epsilon
\partial_\mu
\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}G^\alpha\right)\\
&=
\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}G^\alpha\right)(\partial_\mu\epsilon)
+
\epsilon
\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}(\partial_\mu G^\alpha)\right)
+(\epsilon G^\alpha)
\partial_\mu\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}\right)\\
&=
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}\partial_\mu(\epsilon G^\alpha)
+
(\epsilon G^\alpha)\partial_\mu\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}\right)\\
&=
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}\partial_\mu(\epsilon G^\alpha)
+(\epsilon G^\alpha)\frac{\partial\cal L}{\partial \phi^\alpha}\tag{3}
\end{align}
ただし最後の行に移る際に、運動方程式
$$
\partial_\mu\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\alpha)}\right)-\frac{\partial{\cal L}}{\partial\phi^\alpha}=0
$$
を用いました。
一方、このnon-localな変換に対するLagrangianの変化は以下のように計算できます：
\begin{align}
\delta{\cal L}&=\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi^\alpha}\delta\phi^\alpha
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\delta(\partial_\mu\phi^\alpha)\\
&=\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi^\alpha}\delta\phi^\alpha
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\partial_\mu(\delta\phi^\alpha)\\
&=\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi^\alpha}(\epsilon G^\alpha)
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\mu\phi^\alpha)}\partial_\mu(\epsilon G^\alpha)
\end{align}
最後の行はEq.(3)と等しいです。よってEq.(2)の右辺は実際にLagrangianの変化に一致し、Gell-Mann-Levyの方法が正しいことがわかります${}_\blacksquare$
この計算法は時にEq.(1)の計算法より楽です。またそれだけではなく、対称性が完全ではなく近似的な場合に、カレントの発散$\partial_\mu j^\mu$を導くことができるのは便利です。
カレントの具体例
以下、次の3つの例：
- 複素スカラー場 （対称性： U(1)変換）
- pure Yang-Mills理論 $\ $(対称性： 大域的なカラー回転)
- pure Yang-Mills理論におけるBRST Lagrangian $\ $ (対称性: BRST対称性)
において、カレントを具体的に計算します。
1. 複素スカラー場
\begin{align} {\cal L}=\partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi \end{align}
系を不変にする対称性変換: $\phi\rightarrow e^{i\theta}\phi \sim \phi + i\theta\phi \ \ \ $ (U(1)変換)
ここではカレントを、Eq.(1)を用いて導きます。
$\delta \phi=i\theta\phi$とするとEq.(1)よりカレントは
\begin{align}
\theta j^\mu = \frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi}\delta \phi
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi^\dagger}\delta \phi^\dagger
=
(-i\phi^\dagger\partial^\mu\phi+i(\partial_\mu\phi)\phi)\theta
\end{align}
よって
\begin{align}
j^\mu=-i\phi^\dagger\partial^\mu\phi+i(\partial_\mu\phi)\phi
\end{align}
を得ます。
Gell-Mann-Levyの方法でも同じ結果が得られます。
2. pure Yang-Mills理論
\begin{align} {\cal L}&=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{\mu\nu a},\\ F^a_{\mu\nu}&=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu+gf_{abc}A^b_\mu A^c_\nu \end{align}
対称性変換：$A^a_\mu\rightarrow A^a_\mu+f_{abc}A^b_\mu\theta^c \ \ \ $（大域的カラー回転）
今度はカレントをGell-Mann-Levyの方法で導きます。
以下$M^{ac}_\mu=f_{abc}A^b_\mu$とします。$\delta{\cal L}$の中で微分が$\theta$にかかる部分のみ書き出すと
\begin{align}
(\text{Terms including $\partial\theta$ in ${\cal L}$})&=
-\frac{1}{2}
\left(
(\partial_\mu\theta^c) M^{ac}_\nu-(\partial_\nu\theta^c) M^{ac}_\mu\right)F^{\mu\nu a}\\
&=-(\partial_\mu \theta^c)M^{ac}_\nu F^{\mu\nu a}
\\
&=-(\partial_\mu \theta^c)f_{abc}A_\nu^b F^{\mu\nu a}\\
&=:(\partial_\mu \theta^c)(A_\nu\times F^{\mu\nu})^c
\end{align}
よってGell-Mann-Levyの方法より
\begin{align}
j^{\mu a}=(A_\nu\times F^{\mu\nu})^a
\end{align}
を得ます。
Eq.(1)を使っても同じ結果が得られます。
3. pure Yang-Mills理論におけるBRST Lagrangian
\begin{align} {\cal L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{\mu\nu a}-\partial^\mu B^aA_\mu^a+\frac{\alpha}{2}B^aB^a-i\partial^\mu\bar c^a(D_\mu c)^a \end{align}
対称性変換（BRST変換）：
\begin{align}
\begin{cases}
\delta A^a_\mu&=\lambda (D_\mu c)^a,\\
\delta c^a
&=-\frac{1}{2}\lambda gf_{abc}c^bc^c,\\
\delta\bar c &= i\lambda B^a
\end{cases}
\end{align}
これは、Faddeev-Popovの方法、またBRST量子化の際に現れるLagrangianです。$c,\bar c$はghost, anti-ghost場であり、これらはGrassmann oddです。$\lambda$はGrassmann oddの任意定数であり、変換のパラメータです。
BRST変換はglobalな変換なので、ネーターカレントが存在します。
ここではGell-Mann-Levyの方法でカレントを導きます。
Eq.(1)を使っても、もちろん同じカレントを導けるのですが、Grassmann oddの場が存在するため、場の微分を右・左のどちらから作用させるかで符号が変わります。また微分と$\lambda$、$c$、$\bar c$の反可換性を正しく考慮しなければならず、間違いが生じがちです。一方でGell-Mann-Levyの方法は場の微分を含まないぶんだけ符号の間違いが生じにくいです。
$\lambda$を時空に依存させ、Lagrangianの変化を計算します。$\lambda$に微分がかかる部分だけ計算すれば十分です。
- $-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{\mu\nu a}$の変分における$(\partial_\mu\lambda)$に比例する部分:$-(\partial_\mu \lambda)(D_\nu c)^a F_{\mu\nu a}$
- $-i\partial^\mu\bar c^a(D_\mu c)^a$の$\bar c^a$の変分の寄与： $(\partial_\mu \lambda) B^a (D_\mu c)^a$
- $-i\partial^\mu\bar c^a(D_\mu c)^a$の$c^a$の変分の寄与：$-\frac{i}{2}(\partial_\mu\lambda)(\partial^\mu\bar c^a)gf_{abc}c^b c^c$
以上より、$(\partial_\mu\lambda)$の係数を取り出し、カレントは
\begin{align}
j^\mu=-(D_\nu c^a) F^{\mu\nu a}+B^a(D^\mu c)^a
-\frac{i}{2}g(\partial^\mu\bar c^a f_{abc}c^bc^c)
\end{align}
であることがわかります。
通常Euler-Lagrange方程式を使ってこのカレントを書き換えますが、今回はここでやめておきます。
まとめ
場の理論において、ネーターカレントを導く標準的な方法およびGell-Mann-Levyの方法を説明し、それらを用いて具体的な系におけるカレントを導きました。
おしまい。${}_\blacksquare$