場の理論におけるネーターの第2定理
ネーターの第２定理の場の理論バージョン
以前
ゲージ対称性とは何か(2):ネーターの第２定理
という記事を書きました。
上記記事では点粒子の力学を扱っています。
本記事では場の理論におけるネーターの第２定理に関して記しておきます。
Ref.[1]を元に書いています。
基本的には以前の記事を場の理論に適用したものですので、並行した議論になっています。
この話はあまりネット上に記述がないので書いておくことにしました。
ネーターの定理の原論文の英語訳は Ref.[2] で読むことができます。
ネーターの第２定理
この定理は色々な表現の仕方があるかと思いますが、ここではRef.[1]に習います。
ネーターの第２定理は次の恒等式(id.1-4)です。
場$\varphi_A \ (A=1,\cdots,N)$に依存するLagrangian ${\cal L}(\varphi,\partial_\mu\varphi)$で記述される系がある。
微小な任意関数$\xi^r(x) \ (r=1,\cdots,n)$を含む以下の局所的な変換に対し、作用積分$S=\int_\Omega d^4x{\cal L}(\varphi,\partial_\mu\varphi)$が不変であるとする：
\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle
\delta x^\mu:=f^\mu(\xi(x),x)\simeq \xi^r\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r},\\
\displaystyle
\delta\varphi_A:=F_A(\xi(x),\xi_{,\mu}(x),x,\varphi)\simeq \xi^r \frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}(x,\varphi)+\xi^r_{,\mu}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}(x,\varphi)
\end{cases}
\end{align}
このとき以下の恒等式が導かれる：
\begin{align}
\ \ \ \ \ \ \ \ [{\cal L}]^A
\left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}-\varphi_{A,\mu}\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}
\right)
-\partial_\mu
\left([{\cal L}]^A
\frac{\partial F_A}{\partial \xi_{,\mu}^r}
\right)
\equiv 0 \tag{id.1}\\
\ \partial_\nu B^\nu_r\equiv 0\tag{id.2}\\
\ B^\mu_r+\partial_\nu C^{\nu,\mu}_r\equiv 0 \tag{id.3}\\
\ C^{\nu,\mu}_r+C^{\mu,\nu}_r\equiv 0 \tag{id.4}
\end{align}
ここでnotationとして以下を用いている:
添字の"$,\mu$"は、その量を$\partial_\mu$で微分していることを表す。すなわち場$G$に対し$G_{,\mu}:=\partial G/\partial x^\mu$である。
$[{\cal L}]^A$は
\begin{align} [{\cal L}]^A:=\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{,\mu}^A}\right)-\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi^A} \end{align}
で定義される。$[{\cal L}]^A=0$はEuler-Lagrange方程式である。$\xi^r,\xi^r_{,\mu}$での微分量は、すべて最後に$\xi^r=0,\xi^r_{,\mu}=0$を取るものと了解されたい。すなわち
\begin{align} \frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}(x,\varphi):=\left.\frac{\partial F_A(\xi,\xi_{,\mu},x,\varphi)}{\partial\xi^r}\right|_{\xi=0, \ \xi_{,\mu} =0}, \ \ \ \ \ \frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}(x,\varphi):=\left.\frac{\partial F_A(\xi,\xi_{,\mu},x,\varphi)}{\partial\xi^r_{,\mu}}\right|_{\xi=0, \ \xi_{,\mu} =0} \end{align}
である。$B,C$は以下のように定義される：
\begin{align} \begin{cases} \displaystyle B^\nu_r:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r} -T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r} +[{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\nu}},\\ \displaystyle C^{\nu,\mu}_r:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}} \end{cases} \end{align}
ここで$T^\nu_\mu$はcanonical energy-momentum tensorと呼ばれる量で、
\begin{align} T^\nu_\mu:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial \varphi_{A,\nu}}\varphi_{A,\mu}-\delta^\nu_\mu{\cal L} \end{align}
である。
notationが厄介ですがご容赦ください。時空による微分$\partial_\mu$を"$,\mu$"という添字をつけることで表すのは相対論関連の文献では散見されます。ちなみに、本記事では出てきませんが、共変微分$D_\mu$の場合$;\mu$を添字としてつけます。
以下定理1を示します。
定理1の証明
証明過程1: 一般的な変換に対する作用積分の不変性から導かれる恒等式
まず、以下の事実を示します：
変換
\begin{align}
\begin{cases}
x^\mu\rightarrow x'^\mu =x^\mu+\delta x^\mu,\\
\varphi_A(x)\rightarrow\varphi'_A(x')=\varphi_A(x)+\delta\varphi_A(x)
\end{cases}
\end{align}
に対し作用積分$S$が不変ならば、以下の恒等式が成立する:
\begin{align}
\int_\Omega d^4x
\left\{
[{\cal L}]^A(\delta\varphi_A-\varphi_{A,\mu}\delta x^\mu)
+\partial_\nu
\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial \varphi_{A,\nu}}\delta\varphi_A
-T^\nu_\mu\delta x^\mu
\right)
\right\}
\equiv 0 \tag{2}
\end{align}
上記変換に対し作用積分は
\begin{align}
S'=\int_\Omega d^4x \frac{\partial(x')}{\partial(x)}
{\cal L}(\varphi(x)+\delta\varphi(x),\varphi_{,\mu}(x)+\delta\varphi_{,\mu}(x))
\end{align}
と変化します。ここで$\partial(x')/\partial(x)$はJacobianであり、$\delta x^\mu$の１次で近似すると
\begin{align}
\frac{\partial(x')}{\partial(x)}&:={\rm det}\left(\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\right)={\rm det}\left(\delta^\mu_\nu+\frac{\partial (\delta x^\mu)}{\partial x^\nu}\right)\\
&\sim 1+\partial_\mu(\delta x^\mu)
\end{align}
を得ます（$\det$の内、対角部分の積のみが$\delta x^\mu$の1次に効く）。
ここで、$\delta$とは違う変分$\bar\delta$を以下で定義します：
\begin{align}
\bar\delta \varphi_A(x):=\left.\varphi'_A(x')\right|_{x'=x}-\varphi_A(x)
\end{align}
$\varphi_A(x),\varphi'_A(x')$はそれぞれ同一の世界点$P$における変換前後の$\varphi_A$の値です。これに対し上式の$\left.\varphi'_A(x')\right|_{x'=x}$は変換後の座標における点$Q$($\neq P$)での$\varphi_A$の値です。ここで点$Q$は
\begin{align}
x'^\mu(Q)=x^\mu(P)
\end{align}
を満たす点です。すなわち、変換後の座標の値が変換前の座標の$x^\mu(P)$の値と同じ点が$Q$です。
これら事実より、象徴的に表せば
\begin{align}
\delta\varphi_A(x):=\varphi'_A(P)-\varphi_A(P), \ \ \
\bar\delta\varphi_A(x):=\varphi'_A(Q)-\varphi_A(P)
\end{align}
ここで$x'(P)=x^\mu(P)+\delta x^\mu(P)$であることを用いると
\begin{align}
\delta \varphi_A-\bar\delta\varphi_A&=\varphi'_A(P)-\varphi'_A(Q)
=\varphi'(x+\delta x)-\varphi'(x)\\
&\sim \partial_\mu \varphi'_A\delta x^\mu
\end{align}
となります。以上から
\begin{align}
\delta S&=S'-S
=\int_\Omega d^4x
\left[
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_A}\delta\varphi_A+
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\delta\varphi_{A,\nu}
+{\cal L}(\partial_\mu\delta x^\mu)
\right]\\
&=\int_\Omega d^4x
\left[
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_A}
(\bar\delta\varphi_A+\varphi_{A,\mu}\delta x^\mu)
+
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}
(\bar\delta\varphi_{A,\nu}
+\varphi_{A,\nu\mu}\delta x^\mu)
+{\cal L}(\partial_\mu\delta x^\mu)
\right]\tag{3}
\end{align}
を得ます。${\cal L}(\partial_\mu\delta x^\mu)$はJacobianの寄与です。
ここで$\bar\delta(\partial_\nu \varphi_A)=\partial_\nu\bar\delta\varphi_A$が成り立つので、
\begin{align}
\int_\Omega d^4x \left[
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_A}\bar\delta\varphi_A
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\bar\delta\varphi_{A,\nu}
\right]
= \int_\Omega d^4x \left[
[{\cal L}]^A\bar\delta\varphi_A+\partial_\nu
\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\bar\delta\varphi_A\right)
\right]\tag{4}
\end{align}
ここで
\begin{align}
[{\cal L}]^A:=\partial_\mu\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\mu}}
-\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_A}
\end{align}
また偏微分の連鎖律より
\begin{align}
\partial_\mu{\cal L}=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_A}\varphi_{A,\mu}
+\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\varphi_{A,\nu\mu}\tag{5}
\end{align}
が成立します。Eq.(4)(5)を用いてEq.(3)を書き換えると
\begin{align}
\int_\Omega d^4x
\left\{
[{\cal L}]^A\bar\delta\varphi_A
+\partial_\nu
\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\bar\delta\varphi_A
+{\cal L}\delta x^\nu
\right)
\right\}
\end{align}
を得ます。これを$\delta \varphi_A=\bar\delta\varphi_A+\varphi_{A,\mu}\delta x^\mu$で書き直せば最終的に
\begin{align}
\delta S=
\int_\Omega d^4x
\left\{
[{\cal L}]^A(\delta\varphi_A-\varphi_{A,\mu}\delta x^\mu)
+\partial_\nu
\left(
\frac{\partial{\cal L}}{\partial \varphi_{A,\nu}}\delta\varphi_A
-T^\nu_\mu\delta x^\mu
\right)
\right\}
\end{align}
となります。$T^\nu_\mu$は上で定義したcanonical energy-momentum tensorであり、
\begin{align}
T^\nu_\mu:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial \varphi_{A,\nu}}\varphi_{A,\mu}-\delta^\nu_\mu{\cal L}
\end{align}
です。
以上から、作用積分が変換に対して不変ならば「公式1」が成立します。${}_\blacksquare$
証明過程2: 局所的な変換を考える
つぎに変換が局所的な場合
\begin{align}
\begin{cases}
x^\mu\rightarrow x'^\mu=f^\mu(\xi(x),x),\\
\varphi_A(x)\rightarrow \varphi'_A(x)=F_A(\xi(x),\xi_{,\mu}(x),x,\varphi)
\end{cases}
\end{align}
を考えます。ここで$\xi(x)$は十分小さいとし、2次以降を無視すると、その変化は
\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle
\delta x^\mu:=\xi^r\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}(x),\\
\displaystyle
\delta\varphi_A:=\xi^r \frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}(x,\varphi)+\xi^r_{,\mu}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}(x,\varphi)
\end{cases}
\end{align}
となります。このとき以下が成立します：
変換
\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle
\delta x^\mu:=\xi^r\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r},\\
\displaystyle
\delta\varphi_A:=\xi^r \frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}(x,\varphi)+\xi^r_{,\mu}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}(x,\varphi)
\end{cases}
\end{align}
に対し作用積分が不変ならば
\begin{align}
\int_\Omega d^4x
\left[
\xi^r
\left\{
[{\cal L}]^A
\left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}-\varphi_{A,\mu}\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}
\right)
-\partial_\mu
\left(
[{\cal L}]^A \frac{\partial F_A}{\partial\xi_{,\mu}^r}
\right)
\right\}
+\partial_\nu
\left\{
B^\nu_r\xi^r+C^{\nu,\mu}_r\xi^r_{,\mu}
\right\}
\right]\equiv 0 \tag{7}
\end{align}
が成立する。$B,C$は定理１で定義された以下の量である：
\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle
B^\nu_r:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}
-T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}
+[{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\nu}},\\
\displaystyle
C^{\nu,\mu}_r:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}
\end{cases}
\end{align}
Eq.(6)を恒等式Eq.(2)に代入すると
\begin{align}
\int_\Omega d^4x
\left[
[{\cal L}]^A
\left\{
\left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}-\varphi_{A,\mu}\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}
\right)\xi^r+\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}\xi^r_{,\mu}
\right\}
+\partial_\nu
\left\{
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}
\left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}\xi^r+\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}\xi^r_{,\mu}
\right)
-T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}\xi^r
\right\}
\right]\equiv 0
\end{align}
となります。この式で、$[{\cal L}]^A$の係数$\{\ldots\}$の中にある$\xi^r_{,\mu}$を部分積分により書き換えると
\begin{align}
[{\cal L}]^A\xi^r_{,\mu}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}=\partial_\mu
\left([{\cal L}]^A\xi^r\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}
\right)
-\xi^r\partial_\mu
\left([{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}
\right)
\end{align}
となります。これを上式に代入すると
\begin{align}
&\int_\Omega d^4x
\Biggl[
\xi^r
\left\{
[{\cal L}]^A
\left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}
-\varphi_{A,\mu}\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}
\right)
-\partial_\mu
\left([{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}
\right)
\right\}\\
& {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
+\partial_\mu
\left([{\cal L}]^A\xi^r
\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}
\right)
+\partial_\nu
\left\{
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}
\left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}\xi^r
+\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}\xi^r_{,\mu}
\right)
-T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}\xi^r
\right\}
\Biggr]
\equiv 0\\
&\leftrightarrow
\int_\Omega d^4x
\Biggl[
\xi^r
\left\{
[{\cal L}]^A
\left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}
-\varphi_{A,\mu}\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}
\right)
-\partial_\mu
\left([{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}
\right)
\right\}\\
& {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
+\partial_\nu
\biggl\{
\xi^r
\underbrace{\left([{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}
+\frac{\partial {\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r}
-T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}
\right)}_{B^r_r}
+\underbrace{\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}}}_{C^{\nu,\mu}_r}\xi^r_{,\mu}
\biggr\}
\Biggr]
\equiv 0
\end{align}
となりEq.(7)が導かれます。${}_\blacksquare$
証明過程3: Eq.(7)から(id.1-4)を導く
これで最初の恒等式群(id.1)-(id.4)を導く準備が整いました。
- (id.1)の導出:
Eq.(7)の$\int_\Omega d^4x\partial_\nu\{B^\nu_r\xi^r+C^{\nu,\mu}_r\xi^r_{,\mu}\}$の部分は、$\xi^r$と$\xi^r_{,\mu}$が$\Omega$の表面でゼロになるように選べば0。このとき第１項$\int_\Omega d^4x \xi^r\{\cdots\}$の部分は恒等的に0。$\xi^r$は$\Omega$の内部では自由に選べるから、その係数が恒等的に0でなくてはならない。すなわち
\begin{align} [{\cal L}]^A \left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r} -\varphi_{A,\mu}\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r} \right) -\partial_\mu \left([{\cal L}]^A \frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\mu}} \right)\equiv 0 \end{align}
を得ます。 - (id.2-4)の導出:
Eq.(7)と(id.1)とより
\begin{align} \int_\Omega d^4x \partial_\nu\{B^\nu_r\xi^r+C^{\nu,\mu}_r\xi^r_{,\mu}\}\equiv 0 \end{align}
が、$\Omega$の表面上で$\xi^r,\xi^r_{,\mu}$が0になるか否かに関わらず成立する。よって
\begin{align} &\partial_\nu\{B^\nu_r\xi^r+C^{\nu,\mu}_r\xi^r_{,\mu}\}\equiv 0\\ &\leftrightarrow \partial_\nu B^\nu_r\xi^r+(B^\mu_r+\partial_\nu C^{\nu,\mu}_r)\xi^r_{,\mu}+\frac{1}{2}(C^{\nu,\mu}_r+C^{\mu,\nu}_r)\xi^r_{,\mu\nu}\equiv 0 \end{align}
を得ます。
ここで$\xi^r,\xi^r_{,\mu},\xi^r_{,\mu\nu}$は互いに独立なので、それぞれの係数が0になる必要があります。よって
\begin{align} \partial_\nu B^\nu_r&\equiv 0\\ \ \ \ \ \ B^\mu_r+\partial_\nu C^{\nu,\mu}_r&\equiv 0\\ C^{\nu,\mu}_r+C^{\mu,\nu}_r&\equiv 0 \end{align}
となります。これは(id.2-4)です。${}_\blacksquare$
２つほどコメントです：
- 逆に(id.1-4)が成立していれば、$S$は無限小変換に対して不変であることはすぐにわかります。つまり(id.1-4)は$S$が無限小変換で不変となる必要十分条件です。
- 以上の証明は無限小変換に対して示してきましたが、連続群の場合有限の変換は無限小変換の積み重ねで得られるので、無限小ではない変換でも以上の公式は成立します。
以上で定理1が証明できました。${}_\blacksquare$
恒等式群を精察する
さて、(id.1-4)をもう少し詳しく見てみましょう。
- (id.2-4)は独立ではない:
(id.3)の両辺に$\partial_\mu$を作用させ、$C^{\nu,\mu}_r$が$\nu\leftrightarrow \mu$に対し反対称であるという条件(id.4)を使うと、(id.2)が導けます。 - ネーターの第１定理が導ける
：
局所的な変換は大域的な変換を含むので、これらの恒等式からネーターの第１定理が導けます。
$B^\nu_r$の定義
\begin{align} B^\nu_r:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r} -T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r} +[{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\nu}} \end{align}
を(id.2)に代入すると
\begin{align} \partial_\nu \left( \frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r} -T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r} \right) \equiv -\partial_\nu \left([{\cal L}]^A\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r_{,\nu}} \right) \end{align}
を得ます。(id.1)を用いて右辺を書き換えると
\begin{align} \partial_\nu \left( \frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}}\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r} -T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r} \right) \equiv -[{\cal L}]^A \left(\frac{\partial F_A}{\partial\xi^r} -\varphi_{A,\mu}\frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r} \right) \tag{8} \end{align}
となります。
この式で、運動方程式$[{\cal L}]^A=0$を課すと
\begin{align} \partial_\nu j^\nu_r &=0,\\ j^\nu_r&:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\varphi_{A,\nu}} \frac{\partial F_A}{\partial\xi^r} -T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r} \end{align}
を得ます。これはカレントの保存則であり、ネーターの第１定理です。$j^\nu_r$の第２項:$T^\nu_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial\xi^r}$は時空座標自体の変換に関わる部分です。
Eq.(8)やカレントの保存は大域的な変換
\begin{align} \begin{cases} x^\mu\rightarrow x'^\mu=f^\mu(\epsilon,x)\\ \varphi_A(x)\rightarrow\varphi'_A(x')=F_A(\epsilon,\varphi) \end{cases} \end{align}
（$\epsilon$は微小な任意定数）
に対する不変性からも導けます。 - 局所変換の不変性により初めて導ける定理
- 独立な自由度が減る:
(id.1)は局所変換に対する不変性特有の恒等式です。このため、$N$個の自由度が存在する系に$n$個の拘束条件が存在し($n$は変換の独立な任意関数の数)、独立な自由度は$N-n$個になります。逆に言えば、すべての場の変数を保って運動方程式を解こうとすると、運動が一意に定まらないことになります。または同じことですが、運動方程式の解に$n$個の独立な任意関数が入ります。
よく「ゲージ対称性（=局所的な変換に対する対称性）とは冗長性である」と言われますが、この言葉はこれらの事実を指しています。 - カレントが全微分の形で書ける:
(id.3)を使うと、カレントが以下のように書けます：
\begin{align} J^\mu_r=-\partial_\nu C^{\nu,\mu}_r \end{align}
$C$の反対称性を使えば
\begin{align} J^\mu_r=-\frac{1}{2}\partial_\nu(C^{\nu,\mu}_r-C^{\mu,\nu}_r) \end{align}
よって
\begin{align} J_r&:=\int_{-\infty}^\infty J^0_r d^3x =-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\partial_k(C^{k,0}_r-C^{0,k}_r)\\ &={\rm lim}\int_S C^{0,k}_rd\sigma_k \end{align}
となります。$d\sigma_k$は表面$S$の面積素片、${\rm lim}$は$S$を無限に大きくすることを意味します。よって、$J_r$という保存量は、無限遠の振る舞いのみでだけで定まります。これは局所変換不変性の帰結であって、大域的変換では導けない性質です。
- 独立な自由度が減る:
まとめ
場の理論におけるネーターの第２定理を紹介しました。
局所的な変換に対する不変性により、独立な自由度が減ります。これはゲージ理論（局所的な変換に対して不変な理論）の大変重要な側面であることを付記しておきます。
おしまい。${}_\blacksquare$
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