乗法付値の同値性についての色々

　$|x|<|y|$とすると
$$|y|=|x+y-x|\leq\max\{|x+y|,|x|\}$$
の右辺は$|x|$とは成り得ないので$|y|\leq|x+y|$がわかり、また明らかに$|x+y|\leq|y|$なので
$$|x+y|=|y|=\max\{|x|,|y|\}$$
を得る。

　$\nm'=\nm^\a$であれば$\nm,\nm'$が同値となるのは自明なので逆を示す。
　同値な乗法付値$\nm,\nm'$と
$$|x|<|y|,\quad|x|,|y|\neq0,1$$
なる$x,y\in K$に対して
$$\a=\frac{\log|x|'}{\log|x|},\quad\b=\frac{\log|y|'}{\log|y|}$$
つまり$|x|'=|x|^\a,|y|'=|y|^\b$とおく。
　いま$\a<\b$とすると
$$\frac\a\b r<\farc{\log|y|}{\log|x|}< r$$
なる有理数$r=p/q\;(q>0)$があって
$$|x^p|>|y^q|\quad\mbox{かつ}\quad|x^p|'=|x|^{p\a}<|y|^{q\b}=|y^q|'$$
が成り立つことになり付値の同値性に矛盾。
　同様に$\a>\b$とすると
$$r<\farc{\log|y|}{\log|x|}<\frac\a\b r$$
なる有理数$r=p/q\;(q>0)$があって
$$|x^p|<|y^q|\quad\mbox{かつ}\quad|x^p|'=|x|^{p\a}>|y|^{q\b}=|y^q|'$$
が成り立つことになり矛盾。
　よって$\a=\b$でなければならず、任意の$x\in K$に対し$|x|'=|x|^\a$が成り立つことがわかる。

　命題1から同値な付値が同じ位相を定めることは自明なので逆を示す。
　同じ位相を定める付値$\nm,\nm'$について$|a|<1$なる$a\in K$を考えると、
$$|a^n|=|a|^n\to0\quad(n\to\infty)$$
より、$\nm$の定める位相において$a^n\to0$が成り立つ。つまり$\nm'$の定める位相においても$a^n\to0$が成り立ち、したがって$|a^n|'\to0$となるが、これは$|a|'<1$であることに他ならない。
　よって
$$|a|<1\Longrightarrow|a|'<1$$
同様にその逆もわかり
$$|a|<1\iff|a|'<1$$
を得る。

　もしそのような乗法付値$\nm_L,\nm'_L$があったとすると、$\nm_L,\nm'_L$は$L$のノルムとみなせ、 前回の記事 より完備体上の有限次線形空間のノルムは全て同値であったので$\nm_L,\nm'_L$は同じ位相を定め、したがって乗法付値としても同値である(また$L$はこれらについて完備となる)。
　つまりある$\a>0$があって$\nm'_L=\nm_L^\a$が成り立つが、$|a|\neq0,1$なる$a\in K$を考えると
$$|a|_L=|a|=|a|'_L=|a|_L^\a\neq0,1$$
なので$\a=1$でなければならず主張を得る。