二重ゼータ値の重み付き和公式の級数証明

二重ゼータ値,二重ゼータスター値を以下で定義します。

このとき重み付き和公式と呼ばれる以下の等式の級数証明を思い付いたので、書きます。(恐らくは有名な証明でしょう)

以下の二重ゼータ値の和公式(証明)は認めるものとします。

では証明です。
以下の等式変形を考えます。
$$ \begin {aligned} &2\sum _{0< n< m}\frac {1}{n-x}\left (\frac {1}{m-x}-\frac {1}{m-2x}\right )\\ &=2\sum _{0< n,m}\frac {1}{n-x}\left (\frac {1}{n+m-x}-\frac {1}{n+m-2x}\right )\\ &=\sum _{0< n,m}\left (\frac {1}{n-x}+\frac {1}{m-x}\right )\left (\frac {1}{n+m-x}-\frac {1}{n+m-2x}\right )\\ &=\sum _{0< n< m}\frac {-x}{(n-x)(m-x)(n+m-x)}\\ &=\sum _{0< n,m}\left (\frac {1}n-\frac {1}{n-x}\right )\left (\frac {1}{m-x}-\frac {1}{n+m-x}\right )\\ &=\sum _{0< m\leq n}\left (\frac {1}n-\frac {1}{n-x}\right )\frac {1}{m-x} \end {aligned} $$
最後の変形は、$m$について望遠鏡和を使っています。
さて、ここまで変形できたらあとは$x$の冪級数の係数を比較するだけです！
最左辺は
$$ \begin {aligned} &2\sum _{0< n< m}\frac {1}{n-x}\left (\frac {1}{m-x}-\frac {1}{m-2x}\right )\\ &=2\sum _{0< k,l}\sum _{0< n< m}\frac {x^{k-1}}{n^{k}}\frac {(1-2^{l-1})x^{l-1}}{m^l}\\ &=2\sum _{0< k,l}x^{k+l-1}(1-2^{l})\zeta (k,l+1)\\ &=2\sum _{1< k}x^{k-1}\sum _{l=1}^{k-1}(1-2^{l})\zeta (k-l,l+1)\\ &=\sum _{1< k}\left (2\zeta (k+1)-2\sum _{l=1}^{k-1}2^{l}\zeta (k-l,l+1)\right )x^{k-1} \end {aligned} $$
最右辺は
$$ \begin {aligned} &\sum _{0< m\leq n}\frac {1}{m-x}\left (\frac {1}{n}-\frac {1}{n-x}\right )\\ &=\sum _{0< k,l}\sum _{0< m\leq n}\frac {x^{k-1}}{m^{k}}\frac {-x^{l}}{n^{l+1}}\\ &=-\sum _{0< k,l}x^{k+l-1}\zeta (k,l+1)\\ &=-\sum _{1< k}x^{k-1}\sum _{l=1}^{k-1}\zeta ^{\star}(k-l,l+1)\\ &=-\sum _{1< k}x^{k-1}\sum _{l=1}^{k-1}\left (\zeta (k+1)+\zeta (k-l,l+1)\right )\\ &=-\sum _{1< k}k\zeta (k+1)x^{k-1} \end {aligned} $$
ですから、$x^{k-1}$の係数を比較して
$$ \begin {aligned} -k\zeta (k+1)&=2\zeta (k+1)-2\sum _{l=1}^{k-1}2^l\zeta (k-l,l+1)\\ \sum _{l=1}^{k-1}2^l\zeta (k-l,l+1) &=\frac {k+2}2\zeta (k+1)\quad \boxed{} \end {aligned} $$