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二重ゼータ値の重み付き和公式の級数証明

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二重ゼータ値,二重ゼータスター値を以下で定義します。

正整数k2以上の整数lに対して
ζ(k,l):=0<n<m1nkmlζ(k,l):=0<nm1nkml

このとき重み付き和公式と呼ばれる以下の等式の級数証明を思い付いたので、書きます。(恐らくは有名な証明でしょう)

重み付き和公式

l=1k12lζ(kl,l+1)=k+22ζ(k+1)

以下の二重ゼータ値の和公式(証明)は認めるものとします。

和公式

l=1k1ζ(kl,l+1)=ζ(k+1)

では証明です。
以下の等式変形を考えます。
20<n<m1nx(1mx1m2x)=20<n,m1nx(1n+mx1n+m2x)=0<n,m(1nx+1mx)(1n+mx1n+m2x)=0<n<mx(nx)(mx)(n+mx)=0<n,m(1n1nx)(1mx1n+mx)=0<mn(1n1nx)1mx
最後の変形は、mについて望遠鏡和を使っています。
さて、ここまで変形できたらあとはxの冪級数の係数を比較するだけです!
最左辺は
20<n<m1nx(1mx1m2x)=20<k,l0<n<mxk1nk(12l1)xl1ml=20<k,lxk+l1(12l)ζ(k,l+1)=21<kxk1l=1k1(12l)ζ(kl,l+1)=1<k(2ζ(k+1)2l=1k12lζ(kl,l+1))xk1
最右辺は
0<mn1mx(1n1nx)=0<k,l0<mnxk1mkxlnl+1=0<k,lxk+l1ζ(k,l+1)=1<kxk1l=1k1ζ(kl,l+1)=1<kxk1l=1k1(ζ(k+1)+ζ(kl,l+1))=1<kkζ(k+1)xk1
ですから、xk1の係数を比較して
kζ(k+1)=2ζ(k+1)2l=1k12lζ(kl,l+1)l=1k12lζ(kl,l+1)=k+22ζ(k+1)

投稿日:2022620
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