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大学数学基礎解説
文献あり

段論1 - 多項式環と準加算

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以前書いた モノイド環と準加算 という記事を多項式環を用いてブラッシュアップします.

詳しい導入は上記記事を参照してください.

動機

累乗は乗算を有限回繰り返したものである:
xy=xxy times.
また,乗算も加算を有限回繰り返したものである:
xy=x++xy times.
では,同様にして有限回繰り返すことで加算となるような演算(これを準加算という)は定義できるだろうか?
x+y=xxy times.

自然数上あるいは整数上でそのまま準加算を定義することが出来ないことが知られている(上記記事参照).この記事では和と積を持つ環Aに対し,その和を積として持つような環Aを構成し,Aの和+Aよりも一つ下のレベルの演算+Aを持つという意味で準加算を定義したい.

levelAA1A0+AA1+A

この記事では環と言えば常に単位的可換環を表す.

下段環

Aを環とする.このとき
LR,t(A):={finite sumrata | aA,rR}
とすると,これは環になる.このLR,t(A)tを不定元とするAR上の自由下段環(free low-level ring)という.また,有限生成LR,t(A)代数のことをAR上の下段環(low-level ring)という.

紛れのない場合R,tを省略してL(A)と表す.

LR,t(Z)=R[t,t1]である.実際L(Z)の元は
f=nata++n1t1+n0+n1t++nbtb
と表され,これはZ[t,t1]の元に他ならない.逆も然り.

さて,これはちょうど実現したい準加算である.実際に通常の指数法則によりta+b=tatbが成り立ち,Aでの足し算がL(A)の掛け算に対応していることがわかる.故にこのL(A)の足し算はAの足し算に対する準加算であると考えることができる.

関手

ϕ:ABを環準同型とする.このときL(ϕ):L(A)L(B)
L(ϕ)(f)=ratϕ(a)
と定義することにより,L()は環の圏から環の圏への関手となる.

省略(群環の構成から明らか).

ϕ:ABが単射(resp. 全射)であるとき,L(ϕ)もまた単射(resp. 全射)である.

(単射)
L(ϕ)(f)=ratϕ(a)=0
とすると,右辺に同じ単項式が現れないのでra=0となる.よってKerL(ϕ)=0となり単射である.
(全射)
任意のbBに対してあるaAが存在してϕ(a)=bとなるので,任意のg=rbtbL(B)に対してf=rbtaとすればϕ(f)=gとなる.よって全射である.

イデアルaAに対して
IR(a):=({ta1aa})
と定義する.

こちらも紛れのない場合Rを省略してI(a)を表す.

L(A/a)L(A)/I(a)

自然射影ϕ:AA/aに対してL(ϕ):L(A)L(A/a)は全射である.また,
ϕ(ta1)=11=0
よりI(a)KerL(π)である.一方でfKerL(π)とすると,
f=rata=aA/a(aa mod ara)ta+I(a)
と剰余でき,これをL(π)で送ると
L(π)(f)=aA/a(aa mod ara)ta=0
となる.従って任意のara=0となる.よってfKerL(π)となる.よってKerL(π)=I(a)となる.以上より準同型定理から
L(A/a)L(A)/I(a)
が成り立つ.

0I(a)L(A)L(A/a)0
という完全列が存在する.

L(Z/nZ)R[t]/(tn1).

命題3より
L(Z/nZ)R[t,t1](tn1)
となるが,
t1=t1(tn1)+tn1
であるので指数が負の項も剰余され正の項と同値になる.

あるイデアルIを用いて
F3=LZ(F2)/I
と書ける.

例2よりLZ(F2)=Z[t](t21)と表せる.これを更にI=(t2,3)というイデアルで剰余すると,
Z[t](t21)(t2,3)=Z/3Z=F3
となる.これはちょうどF3の演算表

+012001211202201012000010122021

を見ると,

F312112221+F201001110

F3の掛け算の中にF2の和が含まれていることと対応している.実際にLZ(F2)/Iには
0=312=t
の3つの元しかなく,
22=4=1=tt=t2
となっている.
以上よりF3F2の下段環である.

下段埋め込み

A,Bとその間の単射ι:ABについて,

  1. ι(0A)=1B
  2. ι(a1+Aa2)=ι(a1)Bι(a2)

となるとき,ι下段埋め込み(low-level immersion)という.

下段埋め込みι:ABが存在する時,自然な環準同型
ι:L(A)B
が存在する.

省略(群環の普遍性から成り立つ.)

ι:F2F3
をそれぞれι(0)=1,ι(1)=2とすると,ιは下段埋め込みになる.従って例3のように下段環を構成できる.

このように,下段埋め込みが存在すればその上の下段環を構成することができる.

まとめ

  • 一つ下のレベルの演算を持つ代数体系を多項式環を用いて構成した.
  • 剰余環の下段環を計算した.これは加群に拡張することで一般化できそう.
  • 下段埋め込みと下段環の構成の関係を記述した.この構成を再帰的に繰り返すことは出来るだろうか?

以上です.また分かったことがあったら書いていきます.

参考文献

投稿日:2022714
更新日:20231120
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有限体上の代数曲線の特異点解消について研究していました

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