ζ(6)の値を求める

$$(\zeta (2){)}^3=\zeta (6)+3(\zeta (2,4)+\zeta (4,2))+6\zeta (2,2,2)より$$
$$\zeta (6)=(\zeta (2){)}^3-3(\zeta (2,4)+\zeta (4,2))-6\zeta (2,2,2)$$

$\zeta (2),\zeta (2,2,2)$にそれぞれ値を代入して

$$\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{216}-6\frac{{\pi }^6}{7!}-3(\zeta (2,4)+\zeta (4,2))$$
$$\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{216}-\frac{{\pi }^6}{840}-3(\zeta (2,4)+\zeta (4,2))\cdots \mathrm{①}$$

$$\zeta (2)\zeta (4)=\zeta (6)+\zeta (2,4)+\zeta (4,2)より$$

$\zeta (2),\zeta (4)にそれぞれ値を代入して$

$$\zeta (2,4)+\zeta (4,2)=\frac{{\pi }^6}{540}-\zeta (6)\cdots ➁$$

①②から$\zeta (2,4)+\zeta (4,2)$を消去すると

$$\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{216}-\frac{{\pi }^6}{840}-3(\frac{{\pi }^6}{540}-\zeta (6))$$

これを計算することにより
$$\underset{―}{\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}} を得る。$$