ζ(6)の値を求める
やっていきましょう$ ( \theta \omega \theta )👍 $
補題
$$➊\zeta (2)= \frac{ \pi ^2}{6} $$
$$➋\zeta (4)= \frac{ \pi ^4}{90}$$
$$➌\zeta (\lbrace 2 \rbrace^n)= \frac{ \pi ^{2n}}{(2n+1)!} $$
下記の記事で軽～く証明しています。
https://mathlog.info/articles/3294
本題
$$ (\zeta (2))^3= \zeta(6) + 3(\zeta(2,4) + \zeta(4,2)) + 6\zeta(2,2,2) より $$
$$ \zeta(6) = (\zeta(2))^3 -3( \zeta(2,4) + \zeta(4,2)) - 6 \zeta(2,2,2) $$
$\zeta (2), \zeta (2,2,2)$にそれぞれ値を代入して
$$ \zeta (6)= \frac{ \pi ^6}{216} - 6 \frac{ \pi ^6}{7!} -3( \zeta(2,4) + \zeta(4,2) ) $$
$$\zeta (6)= \frac{ \pi ^6}{216} - \frac{ \pi ^6}{840} -3( \zeta(2,4) + \zeta(4,2) ) \cdots①$$
$$ \zeta(2) \zeta(4) = \zeta(6) + \zeta(2,4) + \zeta(4,2) より $$
$\zeta (2), \zeta (4)にそれぞれ値を代入して $
$$ \zeta(2,4) + \zeta(4,2)= \frac{ \pi ^6}{540} - \zeta(6) \cdots ➁$$
①②から$\zeta(2,4) + \zeta(4,2)$を消去すると
$$\zeta (6)= \frac{ \pi ^6}{216} - \frac{ \pi ^6}{840} -3( \frac{ \pi ^6}{540}- \zeta (6) )$$
これを計算することにより
$$ \underline{ \zeta (6)= \frac{ \pi ^6}{945} } を得る。 $$
心の声(この他にも、三角関数を使ってゴリゴリ計算していく方法があるけど、結構めんどくさいから記事にしないかも。。。)
ここまで読んでいただきありがとうございました(^^)/