多項式環における有限生成イデアルの生成元の個数について

$S$ をイデアル $I := (f_{1}, \ldots, f_{m})$ の生成系であって位数最小のものとする。$\nu := \#S$ とし、$S = \{s_{1}, \ldots, s_{\nu}\}$ とする。
$l$ を $f_{1}, \ldots, f_{m}$ の共通の最低次数とする。今、$s_{j} \in I$ なので、$s_{j}$ は $f_{1}, \ldots, f_{m}$ の（ $k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ 係数の）線形結合で書ける。各 $f_{i}$ は最低次数 $l$ を持つので、$s_{j}$ は $l$ 未満の次数の斉次成分を持たないことに注意する。

さて、各 $i$ について、 $f_{i} \in I = (s_{1}, \ldots, s_{\nu})$ なので、適当な多項式 $g_{i, 1}, \ldots, g_{i, \nu}$ を用いて、$f_{i}$ は下記のように表示される。

$$f_{i} = g_{i, 1}\ s_{1} + \cdots + g_{i, \nu}\ s_{\nu}$$

両辺の $l$ 次斉次成分を比較する。$s_{j}$ は $l$ 次未満の次数の斉次成分を持たないのであった。
このことから、$s_{j}$ の $l$ 次斉次成分 $\sigma_{j}$ および $g_{i, j}$ の定数項 $b_{i, j}$ を用いて、下記の $\lambda_{i}$ に関する等式が得られる。

$$\lambda_{i} = b_{i, 1}\ \sigma_{1} + \cdots + b_{i, \nu}\ \sigma_{\nu}$$

これから、以下の一次方程式系が得られる。

$$ \begin{cases} \lambda_{1} = b_{1, 1}\ \sigma_{1} + \cdots + b_{1, \nu}\ \sigma_{\nu} \\ \lambda_{2} = b_{2, 1}\ \sigma_{1} + \cdots + b_{2, \nu}\ \sigma_{\nu} \\ \vdots \\ \lambda_{m} = b_{m, 1}\ \sigma_{1} + \cdots + b_{m, \nu}\ \sigma_{\nu} \\ \end{cases} $$

$ \lambda := \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \vdots \\ \lambda_{m} \end{pmatrix} , \ B := (b_{i, j}) , \ \sigma := \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \vdots \\ \sigma_{\nu} \end{pmatrix} $ と置くことで、これは単に $\lambda = B \ \sigma$ と書ける。

さて、$\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ は線形空間の基底を生成するのだった。よって適当な $a_{1}, \ldots, a_{m} \in k^{n}$ が存在して、行列 $ P := \begin{pmatrix} \lambda(a_{1}) \lambda(a_{2}) \cdots \lambda(a_{m}) \end{pmatrix} $ が正則行列となる。今、行列 $S$ を $ S := \begin{pmatrix} \sigma(a_{1}) \sigma(a_{2}) \cdots \sigma(a_{m}) \end{pmatrix} $ とおく。すると、$P = BS$ が成り立つ。$P$ はその正則性からランクが $m$ になるから、不等式

$$m = \mathrm{rank}(P) = \mathrm{rank}(BS) \leq \nu$$ が成り立つ。これから主張が正しいとわかる。

$A$ を体としてよいこと、また、$a_{1} = \cdots = a_{n} = 0$ としてよいことは認める（必要であれば、 引用元記事 を参照せよ）。以下、見た目のために体 $A$ のことを $k$ で表す。

検討するイデアルは $I := (x_{1}, \ldots, x_{n}) \subseteq k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ である。

各 $x_{i}$ は共通の最低次数 $1$ を持ち、その最低次成分は自分自身である。また、 $x_{1}, \ldots, x_{n}$ は線形空間の基底を生成する（$ x := \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} $ に対して、$k^{n}$ のベクトル$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , \ \cdots \ , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $ を代入すれば $k^{n}$ の標準基底が得られる）。

したがって、$I$ は $n - 1$ 元以下の生成系を持たない。

$x^{3}-yz, y^{2}-xz, z^{2}-x^{2}y$ は共通の最低次数 $2$ を持つ。各々の最低次成分は、$x^{3}-yz$ が $-yx$, $y^{2}-xz$ が自分自身、$z^{2}-x^{2}y$ が $z^{2}$ である。
今、$-yz, y^{2}-xz, z^{2}$ は線形空間の基底を生成する。
実際、$ \alpha := \begin{pmatrix} -yz \\ y^{2}-xz \\ z^{2} \end{pmatrix} $ に対して、$k^{3}$ のベクトル $ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $ を代入すると、得られるベクトルの組 $ \{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \} $ は一次独立である。よってイデアル $(x^{3}-yz, y^{2}-xz, z^{2}-x^{2}y)$ は少なくとも $3$ つ以上の生成元を必要とするため、$2$ 元で生成することはできない。