多項式環における有限生成イデアルの生成元の個数について

$S$ をイデアル $I:=(f_1,\dots ,f_m)$ の生成系であって位数最小のものとする。$\nu :=\mathrm{\#}S$ とし、$S=\{s_1,\dots ,s_{\nu }\}$ とする。
$l$ を $f_1,\dots ,f_m$ の共通の最低次数とする。今、$s_j\in I$ なので、$s_j$ は $f_1,\dots ,f_m$ の（ $k[x_1,\dots ,x_n]$ 係数の）線形結合で書ける。各 $f_i$ は最低次数 $l$ を持つので、$s_j$ は $l$ 未満の次数の斉次成分を持たないことに注意する。

さて、各 $i$ について、 $f_i\in I=(s_1,\dots ,s_{\nu })$ なので、適当な多項式 $g_{i,1},\dots ,g_{i,\nu }$ を用いて、$f_i$ は下記のように表示される。

$$f_i=g_{i,1}{s}_1+\cdots +g_{i,\nu }{s}_{\nu }$$

両辺の $l$ 次斉次成分を比較する。$s_j$ は $l$ 次未満の次数の斉次成分を持たないのであった。
このことから、$s_j$ の $l$ 次斉次成分 ${\sigma }_j$ および $g_{i,j}$ の定数項 $b_{i,j}$ を用いて、下記の ${\lambda }_i$ に関する等式が得られる。

$${\lambda }_i=b_{i,1}{\sigma }_1+\cdots +b_{i,\nu }{\sigma }_{\nu }$$

これから、以下の一次方程式系が得られる。

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=b_{1,1}{\sigma }_1+\cdots +b_{1,\nu }{\sigma }_{\nu }\\ {\lambda }_2=b_{2,1}{\sigma }_1+\cdots +b_{2,\nu }{\sigma }_{\nu }\\ ⋮\\ {\lambda }_m=b_{m,1}{\sigma }_1+\cdots +b_{m,\nu }{\sigma }_{\nu }\end{array}$$

$\lambda :=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_m\end{array}\right),B:=(b_{i,j}),\sigma :=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ ⋮\\ {\sigma }_{\nu }\end{array}\right)$ と置くことで、これは単に $\lambda =B\sigma$ と書ける。

さて、${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ は線形空間の基底を生成するのだった。よって適当な $a_1,\dots ,a_m\in k^n$ が存在して、行列 $P:=\left(\begin{array}{c}\lambda (a_1)\lambda (a_2)\cdots \lambda (a_m)\end{array}\right)$ が正則行列となる。今、行列 $S$ を $S:=\left(\begin{array}{c}\sigma (a_1)\sigma (a_2)\cdots \sigma (a_m)\end{array}\right)$ とおく。すると、$P=BS$ が成り立つ。$P$ はその正則性からランクが $m$ になるから、不等式

$$m=\mathrm{rank}(P)=\mathrm{rank}(BS)\le \nu$$ が成り立つ。これから主張が正しいとわかる。

$A$ を体としてよいこと、また、$a_1=\cdots =a_n=0$ としてよいことは認める（必要であれば、 引用元記事 を参照せよ）。以下、見た目のために体 $A$ のことを $k$ で表す。

検討するイデアルは $I:=(x_1,\dots ,x_n)\subseteq k[x_1,\dots ,x_n]$ である。

各 $x_i$ は共通の最低次数 $1$ を持ち、その最低次成分は自分自身である。また、 $x_1,\dots ,x_n$ は線形空間の基底を生成する（$x:=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ に対して、$k^n$ のベクトル$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$ を代入すれば $k^n$ の標準基底が得られる）。

したがって、$I$ は $n-1$ 元以下の生成系を持たない。

$x^3-yz,y^2-xz,z^2-x^{2}y$ は共通の最低次数 $2$ を持つ。各々の最低次成分は、$x^3-yz$ が $-yx$, $y^2-xz$ が自分自身、$z^2-x^{2}y$ が $z^2$ である。
今、$-yz,y^2-xz,z^2$ は線形空間の基底を生成する。
実際、$\alpha :=\left(\begin{array}{c}-yz\\ y^2-xz\\ z^2\end{array}\right)$ に対して、$k^3$ のベクトル $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ を代入すると、得られるベクトルの組 $\{\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$ は一次独立である。よってイデアル $(x^3-yz,y^2-xz,z^2-x^{2}y)$ は少なくとも $3$ つ以上の生成元を必要とするため、$2$ 元で生成することはできない。