斉次分解に着目した生成系の位数に関する考察

$\phi (I)$ がイデアルになることは省略する（必要なら このページ を参照せよ。）。

「$\phi (S)$ の生成するイデアル」とは「$\phi (S)$ を含むイデアルのうち最小のもの」だった。よって次の２点を確かめればよい。

1. $\phi (S)\subseteq \phi (I)$
2. $R_2$ のイデアル $\mathfrak{a}$ について、$\phi (S)\subseteq \mathfrak{a}$ ならば $\phi (I)\subseteq \mathfrak{a}$ が成り立つ。

前者は自明である。。
後者は $S\subseteq {\phi }^{-1}(\mathfrak{a})$ より、両辺の生成するイデアルを考えて $I\subseteq {\phi }^{-1}(\mathfrak{a})$ より正しいとわかる。

不等式 $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(A)$ を示せばよい。このことは以下の計算からわかる。

$$\mathrm{rank}(AB)=\dim (\mathrm{Im}(T_{AB}))=\dim (T_A(\mathrm{Im}(T_B)))\le \dim (\mathrm{Im}(T_A))=\mathrm{rank}(A)$$

$S$ をイデアル $I:=(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)$ の生成系のうち、位数が最小のものとする。
イデアルそのものが有限生成なので、位数 $\mathrm{\#}S$ は有限である。$n\le \mathrm{\#}S$ を示す。

まず、$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$ としてよいことに注意する。
実際、同型（つまり全射） $\lambda :A[x_1,\dots ,x_n]\to A[x_1,\dots ,x_n]:x_i\mapsto x_i+a_i$ を考えると、これにより $I$ は $(x_1,\dots ,x_n)$ に写る。
このとき $\lambda (S)$ は補題３より $(x_1,\dots ,x_n)$ を生成しているが、仮に $a_1=a_2=\cdots =a_n=0$ の主張がわかっていれば、これから $n\le \mathrm{\#}\lambda (S)=\mathrm{\#}S$ となる。

よって以下、$I=(x_1,\dots ,x_n)$ とする。

次に、主張が体の場合に帰着できることにも注意する。このことは以下のようにしてわかる。
体の場合の主張が示されていたとする。
$\mathfrak{m}$ を $A$ の極大イデアルとし、$\pi :A\to A/\mathfrak{m}$ を自然な全射とする。
また、$\tilde{\pi }:A[x_1,\dots ,x_n]\to (A/\mathfrak{m})[x_1,\dots ,x_n]$ を $\pi$ から誘導される多項式環間の写像とする。$\tilde{\pi }$ は全射である。
補題３より、$\tilde{\pi }(S)$ は $\tilde{\pi }(I)$ の生成系だが、値域が体なので、この場合 $n\le \mathrm{\#}\tilde{\pi }(S)\le \mathrm{\#}S$ となる。

よって以下、$A$ は体であるとする。見た目のために、$A$ をこれ以降 $k$ と書くことにする。

さて、$\nu :=\mathrm{\#}S$ とし、$S$ を $S=\{s_1,\dots ,s_{\nu }\}$ と書く。各 $s_i$ は $I$ の元なので定数項がないことに注意する（$(0,\dots ,0)$ を代入すると消える）。

今、任意の $1\le i\le n$ に対し、$x_i\in I=(s_1,\dots ,s_n)$ なので
多項式 $f_{i,1},\dots ,f_{i,\nu }\in k[x_1,\dots ,x_n]$ が存在して、等式

$$x_i=f_{i,1}{s}_1+f_{i,2}{s}_2+\cdots +f_{i,\nu }{s}_{\nu }$$ が成り立つ。

両辺の１次斉次成分を比較する。
$s_j$ には定数項がなかったから、１次斉次成分の比較式は、$s_j$ の一次斉次成分 ${\sigma }_j$ 及び $f_{i,j}$ の定数項 $a_{i,j}$ を用いて、
$$x_i=a_{i,1}{\sigma }_1+a_{i,2}{\sigma }_2+\cdots +a_{i,\nu }{\sigma }_{\nu }$$
となる。結局、これにより以下の一次方程式系が得られる。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=a_{1,1}{\sigma }_1+a_{1,2}{\sigma }_2+\cdots +a_{1,\nu }{\sigma }_{\nu }\\ x_2=a_{2,1}{\sigma }_1+a_{2,2}{\sigma }_2+\cdots +a_{2,\nu }{\sigma }_{\nu }\\ ⋮\\ x_n=a_{n,1}{\sigma }_1+a_{n,2}{\sigma }_2+\cdots +a_{n,\nu }{\sigma }_{\nu }\end{array}$$

ここで、$k$ 上の $(n,\nu )$ 次行列 $A$ を $A:=(a_{i,j})$ とすると、上の一次方程式系は

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ ⋮\\ {\sigma }_{\nu }\end{array}\right)$$

と書ける。各 ${\sigma }_j$ は一次式だったので、適当な $k$ 上の $(\nu ,n)$ 次行列 $B$ により

$$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ ⋮\\ {\sigma }_{\nu }\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

と書ける。結局

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=AB\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

となるが、
$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$

を代入することで、$n$ 次単位行列 $E_n$ を用いて $E_n=AB$ と書けることがわかる。
ここで補題４を使えば $n=\mathrm{rank}(E_n)\le \nu =\mathrm{\#}S$ となり主張が言える。

背理法で示す。
イデアル $I:=(x^3-yz,y^2-xz,z^2-x^{2}y)$ が $2$ つの多項式 $\sigma ,\tau$ によって生成されると仮定する。

さて、$\sigma ,\tau \in I$ であるが、ここで $I$ の元一般の性質を確認しておく。

$\phi \in I$ とする。この時、以下の３つが成立する。

1. $\phi$ は定数項を持たない。
2. $\phi$ は一次の項を持たない。
3. $\phi$ の二次の項は $yz,z^2,y^2-xz$ の線形結合である。

まず、$I$ の元は「$t$ べきの代入」 $\lambda :k[x,y,z]\to k[t]:x\mapsto t^3,y\mapsto t^4,z\mapsto t^5$ によって消えてしまうことに注意する。これを踏まえて性質の証明をする。

まず、１はすぐにわかる（仮に定数項があれば $\lambda$ で消えない）。
次に、２を確認する。
$\phi$ の二次以上の単項式は、$x,y,z$ いずれか $2$ 個以上の積であるから、$\lambda$ によって移る行き先の $t$ べきの次数は $6$ 以上である。
今、$\phi$ の一次成分を $a,b,c\in k$ により $ax+by+cz$ と置くと、これの $\lambda$ による像は $a{t}^3+b{t}^4+c{t}^5$ である。従って $\lambda (\phi )=0$ が成り立つためには、$a=b=c=0$ が成り立たねばならず、結果 $\phi$ が一次の項を持たないことが従う。
最後に、３を確認する。
$\phi$ の三次以上の単項式は、$x,y,z$ いずれか $3$ 個以上の積であるから、$\lambda$ によって移る行き先の $t$ べきの次数は $9$ 以上である。
$\phi$ の二次成分を $a,b,c,d,e,f\in k$ により $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+eyz+fzx$ と置く。これの $\lambda$ による像は
$$a{t}^6+b{t}^8+c{t}^{10}+d{t}^7+e{t}^9+f{t}^8=a{t}^6+d{t}^7+(b+f)t^8+e{t}^9+c{t}^{10}$$ である。
これから、先ほど同様に条件 $\lambda (\phi )=0$ を考えると、$a=d=0,f=-b$ が従う。
結果として、$\phi$ の２次成分は $b(y^2-xz)+c{z}^2+eyz$ となり、３が正しいとわかる。

さて、$x^3-yz,y^2-xz,z^2-x^{2}y\in I=(\sigma ,\tau )$ なので、適当な $f_i,g_i\in k[x,y,z](i=1,2,3)$ によって

$$\{\begin{array}{lll}{x}^3-yz& =& f_1\sigma +g_1\tau \\ y^2-xz& =& f_2\sigma +g_2\tau \\ z^2-x^{2}y& =& f_3\sigma +g_3\tau \end{array}$$

とかける。ここで、この $3$ つの等式の各々で二次成分を比較する。
冒頭の性質から、$\sigma ,\tau$ には定数項、一次成分がない。よって $\sigma ,\tau$ 各々の二次成分を ${\sigma }_2,{\tau }_2$ とかくと、$f_i$ の定数項 $a_i$, $g_i$ の定数項 $b_i$ によって

$$\{\begin{array}{lll}-yz& =& a_1{\sigma }_2+b_1{\tau }_2\\ y^2-xz& =& a_2{\sigma }_2+b_2{\tau }_2\\ z^2& =& a_3{\sigma }_2+b_3{\tau }_2\end{array}$$

と書ける。ここから $a_1,b_1$ を取り直すことで、適当な $k$ 上の $(3,2)$ 次行列 $A$ により

$$\left(\begin{array}{c}yz\\ y^2-xz\\ z^2\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{\sigma }_2\\ {\tau }_2\end{array}\right)$$

と書ける。一方、適当な $k$ 上の $(2,3)$ 次行列 $B$ により

$$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_2\\ {\tau }_2\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}yz\\ y^2-xz\\ z^2\end{array}\right)$$

とも表示できる。したがって、等式

$$\left(\begin{array}{c}yz\\ y^2-xz\\ z^2\end{array}\right)=AB\left(\begin{array}{c}yz\\ y^2-xz\\ z^2\end{array}\right)$$

の成立が言える。

今、

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

を代入することで、

$$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=AB\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=AB\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=AB\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

がわかる。結局、$3$ 次単位行列 $E_3$ に対し $E_3=AB$ が成り立つ。

補題４を用いることで、これから不等式 $3=\mathrm{rank}(E_3)\le 2$ が従うが、これは不合理である。