斉次分解に着目した生成系の位数に関する考察

$\varphi(I)$ がイデアルになることは省略する（必要なら このページ を参照せよ。）。

「$\varphi(S)$ の生成するイデアル」とは「$\varphi(S)$ を含むイデアルのうち最小のもの」だった。よって次の２点を確かめればよい。

1. $\varphi(S) \subseteq \varphi(I)$
2. $R_{2}$ のイデアル $\mathfrak{a}$ について、$\varphi(S) \subseteq \mathfrak{a}$ ならば $\varphi(I) \subseteq \mathfrak{a}$ が成り立つ。

前者は自明である。。
後者は $S \subseteq \varphi^{-1}(\mathfrak{a})$ より、両辺の生成するイデアルを考えて $I \subseteq \varphi^{-1}(\mathfrak{a})$ より正しいとわかる。

不等式 $\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(A)$ を示せばよい。このことは以下の計算からわかる。

$$\mathrm{rank}(AB) = \mathrm{dim}(\mathrm{Im}(T_{AB})) = \mathrm{dim}(T_{A}(\mathrm{Im}(T_{B}))) \leq \mathrm{dim}(\mathrm{Im}(T_{A})) = \mathrm{rank}(A)$$

$S$ をイデアル $I := (x_{1}-a_{1}, \ldots, x_{n} - a_{n})$ の生成系のうち、位数が最小のものとする。
イデアルそのものが有限生成なので、位数 $\# S$ は有限である。$n \leq \#S$ を示す。

まず、$a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n} = 0$ としてよいことに注意する。
実際、同型（つまり全射） $\lambda: A[x_{1}, \ldots, x_{n}] \rightarrow A[x_{1}, \ldots, x_{n}]: x_{i} \mapsto x_{i} + a_{i}$ を考えると、これにより $I$ は $(x_{1}, \ldots, x_{n})$ に写る。
このとき $\lambda(S)$ は補題３より $(x_{1}, \ldots, x_{n})$ を生成しているが、仮に $a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n} = 0$ の主張がわかっていれば、これから $n \leq \#\lambda(S) = \#S$ となる。

よって以下、$I = (x_{1}, \ldots, x_{n})$ とする。

次に、主張が体の場合に帰着できることにも注意する。このことは以下のようにしてわかる。
体の場合の主張が示されていたとする。
$\mathfrak{m}$ を $A$ の極大イデアルとし、$\pi: A \rightarrow A/\mathfrak{m}$ を自然な全射とする。
また、$\tilde{\pi}: A[x_{1}, \ldots, x_{n}] \rightarrow (A/\mathfrak{m})[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ を $\pi$ から誘導される多項式環間の写像とする。$\tilde{\pi}$ は全射である。
補題３より、$\tilde{\pi}(S)$ は $\tilde{\pi}(I)$ の生成系だが、値域が体なので、この場合 $n \leq \#\tilde{\pi}(S) \leq \#S$ となる。

よって以下、$A$ は体であるとする。見た目のために、$A$ をこれ以降 $k$ と書くことにする。

さて、$\nu := \#S$ とし、$S$ を $S = \{s_{1}, \ldots, s_{\nu}\}$ と書く。各 $s_{i}$ は $I$ の元なので定数項がないことに注意する（$(0, \ldots, 0)$ を代入すると消える）。

今、任意の $1 \leq i \leq n$ に対し、$x_{i} \in I = (s_{1}, \ldots, s_{n})$ なので
多項式 $f_{i, 1}, \ldots, f_{i, \nu} \in k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ が存在して、等式

$$x_{i} = f_{i, 1}\ s_{1} + f_{i, 2}\ s_{2} + \cdots + f_{i, \nu}\ s_{\nu}$$ が成り立つ。

両辺の１次斉次成分を比較する。
$s_{j}$ には定数項がなかったから、１次斉次成分の比較式は、$s_{j}$ の一次斉次成分 $\sigma_{j}$ 及び $f_{i, j}$ の定数項 $a_{i, j}$ を用いて、
$$x_{i} = a_{i, 1}\ \sigma_{1} + a_{i, 2}\ \sigma_{2} + \cdots + a_{i, \nu}\ \sigma_{\nu}$$
となる。結局、これにより以下の一次方程式系が得られる。

\begin{cases} x_{1} = a_{1, 1}\ \sigma_{1} + a_{1, 2}\ \sigma_{2} + \cdots + a_{1, \nu}\ \sigma_{\nu} \\ x_{2} = a_{2, 1}\ \sigma_{1} + a_{2, 2}\ \sigma_{2} + \cdots + a_{2, \nu}\ \sigma_{\nu} \\ \vdots \\ x_{n} = a_{n, 1}\ \sigma_{1} + a_{n, 2}\ \sigma_{2} + \cdots + a_{n, \nu}\ \sigma_{\nu} \end{cases}

ここで、$k$ 上の $(n, \nu)$ 次行列 $A$ を $A:=(a_{i, j})$ とすると、上の一次方程式系は

$$ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \vdots \\ \sigma_{\nu} \end{pmatrix} $$

と書ける。各 $\sigma_{j}$ は一次式だったので、適当な $k$ 上の $(\nu, n)$ 次行列 $B$ により

$$ \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \vdots \\ \sigma_{\nu} \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} $$

と書ける。結局

$$ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = AB \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} $$

となるが、
$ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , \cdots, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $

を代入することで、$n$ 次単位行列 $E_{n}$ を用いて $E_{n} = AB$ と書けることがわかる。
ここで補題４を使えば $n = \mathrm{rank}(E_{n}) \leq \nu = \#S$ となり主張が言える。

背理法で示す。
イデアル $I := (x^{3}-yz, y^{2}-xz, z^{2}-x^{2}y)$ が $2$ つの多項式 $\sigma, \tau$ によって生成されると仮定する。

さて、$\sigma, \tau \in I$ であるが、ここで $I$ の元一般の性質を確認しておく。

$\varphi \in I$ とする。この時、以下の３つが成立する。

1. $\varphi$ は定数項を持たない。
2. $\varphi$ は一次の項を持たない。
3. $\varphi$ の二次の項は $yz, z^{2}, y^{2}-xz$ の線形結合である。

まず、$I$ の元は「$t$ べきの代入」 $\lambda : k[x, y, z] \rightarrow k[t]: x \mapsto t^{3}, y \mapsto t^{4}, z \mapsto t^{5}$ によって消えてしまうことに注意する。これを踏まえて性質の証明をする。

まず、１はすぐにわかる（仮に定数項があれば $\lambda$ で消えない）。
次に、２を確認する。
$\varphi$ の二次以上の単項式は、$x, y, z$ いずれか $2$ 個以上の積であるから、$\lambda$ によって移る行き先の $t$ べきの次数は $6$ 以上である。
今、$\varphi$ の一次成分を $a, b, c \in k$ により $ax + by + cz$ と置くと、これの $\lambda$ による像は $at^{3} + bt^{4} + ct^{5}$ である。従って $\lambda(\varphi) = 0$ が成り立つためには、$a = b = c = 0$ が成り立たねばならず、結果 $\varphi$ が一次の項を持たないことが従う。
最後に、３を確認する。
$\varphi$ の三次以上の単項式は、$x, y, z$ いずれか $3$ 個以上の積であるから、$\lambda$ によって移る行き先の $t$ べきの次数は $9$ 以上である。
$\varphi$ の二次成分を $a, b, c, d, e, f \in k$ により $ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + eyz + fzx$ と置く。これの $\lambda$ による像は
$$at^{6} + bt^{8} + ct^{10} + dt^{7} + et^{9} + ft^{8} = at^{6} + dt^{7} + (b + f)t^{8} + et^{9} + ct^{10} $$ である。
これから、先ほど同様に条件 $\lambda(\varphi) = 0$ を考えると、$a = d = 0, f = -b$ が従う。
結果として、$\varphi$ の２次成分は $b(y^{2} - xz) + cz^{2} + eyz$ となり、３が正しいとわかる。

さて、$x^{3}-yz, y^{2}-xz, z^{2}-x^{2}y \in I = (\sigma, \tau)$ なので、適当な $f_{i}, g_{i} \in k[x, y, z](i = 1, 2, 3)$ によって

\begin{cases} x^{3}-yz &=& f_{1}\ \sigma + g_{1}\ \tau\\ y^{2}-xz &=& f_{2}\ \sigma + g_{2}\ \tau \\ z^{2}-x^{2}y &=& f_{3}\ \sigma + g_{3}\ \tau \end{cases}

とかける。ここで、この $3$ つの等式の各々で二次成分を比較する。
冒頭の性質から、$\sigma, \tau$ には定数項、一次成分がない。よって $\sigma, \tau$ 各々の二次成分を $\sigma_{2}, \tau_{2}$ とかくと、$f_{i}$ の定数項 $a_{i}$, $g_{i}$ の定数項 $b_{i}$ によって

\begin{cases} -yz &=& a_{1}\ \sigma_{2} + b_{1}\ \tau_{2}\\ y^{2}-xz &=& a_{2}\ \sigma_{2} + b_{2}\ \tau_{2} \\ z^{2} &=& a_{3}\ \sigma_{2} + b_{3}\ \tau_{2} \end{cases}

と書ける。ここから $a_{1}, b_{1}$ を取り直すことで、適当な $k$ 上の $(3, 2)$ 次行列 $A$ により

$$ \begin{pmatrix} yz \\ y^{2}-xz \\ z^{2} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \sigma_{2} \\ \tau_{2} \end{pmatrix} $$

と書ける。一方、適当な $k$ 上の $(2, 3)$ 次行列 $B$ により

$$ \begin{pmatrix} \sigma_{2} \\ \tau_{2} \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} yz \\ y^{2}-xz \\ z^{2} \end{pmatrix} $$

とも表示できる。したがって、等式

$$ \begin{pmatrix} yz \\ y^{2}-xz \\ z^{2} \end{pmatrix} = AB \begin{pmatrix} yz \\ y^{2}-xz \\ z^{2} \end{pmatrix} $$

の成立が言える。

今、

$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $

を代入することで、

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = AB \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = AB \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = AB \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

がわかる。結局、$3$ 次単位行列 $E_{3}$ に対し $E_{3} = AB$ が成り立つ。

補題４を用いることで、これから不等式 $3 = \mathrm{rank}(E_{3}) \leq 2$ が従うが、これは不合理である。