ζ(6,6,・・・6)を求めてみた

はじめに

少し前に$ \zeta (6,6,\cdots 6) $を一般式で表す方法を思いついたので、その手順を記事に書いてみようと思います。
それではやっていきましょう$ \theta \omega \theta 👍 $

☆$ \zeta ( \lbrace 6 \rbrace ^n) $をnの式で表すのが目標

本題に入る前に

次の公式だけ紹介しておきます。

n変数の$ \sin $の積和公式
(↑こちらの記事で証明しています)

本題

$ \omega = \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} $とする。

$ \sin $の無限乗積展開を利用して次の式を変形していきます。
$$ (\sin \pi z)( \sin \omega \pi z)( \sin \omega ^2 \pi z) $$
$$= \omega ^3 \pi ^3z^3 \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-( \frac{z}{n} )^2 \rbrace \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1- (\frac{ \omega z}{n})^2 \rbrace \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-(\frac{ \omega ^2z}{n} )^ 2 \rbrace $$
$$= \omega ^3 \pi ^3z^3 \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-( \frac{z}{n} )^2 \rbrace \lbrace 1- (\frac{ \omega z}{n})^2 \rbrace \lbrace 1-(\frac{ \omega ^2z}{n} )^ 2 \rbrace $$
$$=\pi ^3z^3 \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-( \frac{z}{n} )^2 \rbrace \lbrace 1- \omega(\frac{ z}{n})^2 \rbrace \lbrace 1-\omega^2(\frac{z}{n} )^ 2 \rbrace $$
$$=\pi ^3z^3 \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-( \frac{z}{n} )^6 \rbrace $$

$$\therefore (\sin \pi z)( \sin \omega \pi z)( \sin \omega ^2 \pi z) =\pi ^3z^3 \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-( \frac{z}{n} )^6 \rbrace \cdots①$$

一方、公式１とマクローリン展開を利用することで
$$(\sin \pi z)( \sin \omega \pi z)( \sin \omega ^2 \pi z) $$
$$=- \frac{1}{4} \lbrace \sin (1+ \omega + \omega ^2) \pi z- \sin (1+ \omega - \omega ^2) \pi z- \sin (1- \omega + \omega ^2) \pi z + \sin (1- \omega- \omega ^2) \pi z\rbrace $$
$$= \frac{1}{4} \lbrace \sin (1+ \sqrt{3} i ) \pi z+ \sin(1- \sqrt{3}i ) \pi z- \sin(2 \pi z) \rbrace $$
$$= \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{∞} \frac{ \pi ^{2n+1}}{(2n+1)!} z^{2n+1}(-1)^n \lbrace (1+ \sqrt{3}i)^{2n+1}+(1- \sqrt{3}i )^{2n+1} -2^{2n+1} \rbrace $$
$$= \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{∞} \frac{2^{2n+1} \pi ^{2n+1}}{(2n+1)!} z^{2n+1}(-1)^n \lbrace ( \frac{1+ \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1}+( \frac{1- \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1} -1\rbrace $$
$$=\sum_{n=0}^{∞} \frac{2^{2n-1} \pi ^{2n+1}}{(2n+1)!} z^{2n+1}(-1)^n \lbrace ( \frac{1+ \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1}+( \frac{1- \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1} -1\rbrace $$

ここで、$\lbrace ( \frac{1+ \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1}+( \frac{1- \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1} -1\rbrace $の値について考えてみましょう。

$$\lbrace ( \frac{1+ \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1}+( \frac{1- \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1} -1\rbrace $$
$$ =( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} )^{2n+1}+( \cos (- \frac{ \pi }{3}) + i\sin (- \frac{ \pi }{3}) )^{2n+1}-1 $$
$$=( \cos \frac{ (2n+1)\pi }{3} + i\sin \frac{ (2n+1)\pi }{3} )+( \cos \frac{ -(2n+1)\pi }{3}) + i\sin \frac{-(2n+1) \pi }{3} )-1 $$
$$=2\cos \frac{ (2n+1)\pi }{3}-1 $$

以下、kは非負整数とします。
(ⅰ).n=3kのとき
$$ 2\cos \frac{ (2n+1)\pi }{3}-1 $$
$$=2 \cos ( \frac{ \pi }{3}+2k \pi )-1 $$
$$=0$$

(ⅱ)n=3k+1のとき
$$2\cos \frac{ (2n+1)\pi }{3}-1 $$
$$=2 \cos (\pi +2k \pi )-1 $$
$$=-3$$

(ⅲ)n=3k+2のとき
$$2\cos \frac{ (2n+1)\pi }{3}-1 $$
$$=2 \cos ( \frac{ 5\pi }{3}+2k \pi )-1 $$
$$=0$$

よって、以上(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)から

$$\sum_{n=0}^{∞} \frac{2^{2n-1} \pi ^{2n+1}}{(2n+1)!} z^{2n+1}(-1)^n \lbrace ( \frac{1+ \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1}+( \frac{1- \sqrt{3}i}{2} )^{2n+1} -1\rbrace $$
$$=3\sum_{n=0}^{∞} \frac{2^{6n+1} \pi ^{6n+3}}{(6n+3)!} z^{6n+3}(-1)^n $$
$$ \therefore (\sin \pi z)( \sin \omega \pi z)( \sin \omega ^2 \pi z) =3\sum_{n=0}^{∞} \frac{2^{6n+1} \pi ^{6n+3}}{(6n+3)!} z^{6n+3}(-1)^n \cdots ② $$

①②から
$$\pi ^3z^3 \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-( \frac{z}{n} )^6 \rbrace=3\sum_{n=0}^{∞} \frac{2^{6n+1} \pi ^{6n+3}}{(6n+3)!} z^{6n+3}(-1)^n $$
両辺$ \pi^3 $で割ると
$$ z^3 \prod_{n=1}^{∞} \lbrace 1-( \frac{z}{n} )^6 \rbrace=3\sum_{n=0}^{∞} \frac{2^{6n+1} \pi ^{6n}}{(6n+3)!} z^{6n+3}(-1)^n $$
上記の式において、$z^{6n+3}$で係数比較をしてみましょう。すると

$$ (-1)^n \zeta ( \lbrace 6 \rbrace^n )= \frac{3 \cdot 2^{6n+1} }{(6n+3)!} \pi^{6n} (-1)^n $$
$$ \underline{ \therefore \zeta ( \lbrace 6 \rbrace^n ) = \frac{3 \cdot 2^{6n+1}}{(6n+3)!} \pi^{6n}} $$
となり目標の式を得ることが出来ました！

実際にnに具体的な値を入れてみましょう
$$ \zeta (6)= \frac{3 \cdot 2^7}{9!} \pi ^6= \frac{ \pi ^6}{945} $$
$$ \zeta (6,6)= \frac{3 \cdot 2^{13}}{15!} \pi^{12}= \frac{4 \pi ^{12}}{212837625} $$

$$ \zeta (6,6,6)= \frac{3 \cdot2^{19}}{21!} \pi^{18}=\frac{2 \pi ^{18}}{64965492466875} $$

分母の桁が大きすぎて、ぴえんこえてぱおん！
(言ってみたかっただけ)

終わりに

今回の記事では、$\zeta (6,6 \cdots 6)$を求めてみましたが、似たような手法で$ \zeta (2m,2m \cdots 2m)$も形式的に書けることが確認できました。(まだよく分かっていない点も多いですが...)

以上です。
ここまで読んでいただきありがとうございました(^_-)-☆