ζ(6,6,・・・6)を求めてみた

はじめに

少し前に$\zeta (6,6,\cdots 6)$を一般式で表す方法を思いついたので、その手順を記事に書いてみようと思います。
それではやっていきましょう$\theta \omega \theta 👍$

☆$\zeta (\{6{\}}^n)$をnの式で表すのが目標

本題に入る前に

次の公式だけ紹介しておきます。

n変数の$\sin$の積和公式
(↑こちらの記事で証明しています)

本題

$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とする。

$\sin$の無限乗積展開を利用して次の式を変形していきます。
$$(\sin \pi z)(\sin \omega \pi z)(\sin {\omega }^2\pi z)$$
$$={\omega }^3{\pi }^3{z}^3\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{z}{n}{)}^2\}\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{\omega z}{n}{)}^2\}\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{{\omega }^{2}z}{n}{)}^2\}$$
$$={\omega }^3{\pi }^3{z}^3\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{z}{n}{)}^2\}\{1-(\frac{\omega z}{n}{)}^2\}\{1-(\frac{{\omega }^{2}z}{n}{)}^2\}$$
$$={\pi }^3{z}^3\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{z}{n}{)}^2\}\{1-\omega (\frac{z}{n}{)}^2\}\{1-{\omega }^2(\frac{z}{n}{)}^2\}$$
$$={\pi }^3{z}^3\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{z}{n}{)}^6\}$$

$$\therefore (\sin \pi z)(\sin \omega \pi z)(\sin {\omega }^2\pi z)={\pi }^3{z}^3\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{z}{n}{)}^6\}\cdots \mathrm{①}$$

一方、公式１とマクローリン展開を利用することで
$$(\sin \pi z)(\sin \omega \pi z)(\sin {\omega }^2\pi z)$$
$$=-\frac{1}{4}\{\sin (1+\omega +{\omega }^2)\pi z-\sin (1+\omega -{\omega }^2)\pi z-\sin (1-\omega +{\omega }^2)\pi z+\sin (1-\omega -{\omega }^2)\pi z\}$$
$$=\frac{1}{4}\{\sin (1+\sqrt{3}i)\pi z+\sin (1-\sqrt{3}i)\pi z-\sin \left(2\pi z\right)\}$$
$$=\frac{1}{4}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\pi }^{2n+1}}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}(-1{)}^n\{(1+\sqrt{3}i{)}^{2n+1}+(1-\sqrt{3}i{)}^{2n+1}-2^{2n+1}\}$$
$$=\frac{1}{4}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{2n+1}{\pi }^{2n+1}}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}(-1{)}^n\{(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}+(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}-1\}$$
$$=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{2n-1}{\pi }^{2n+1}}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}(-1{)}^n\{(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}+(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}-1\}$$

ここで、$\{(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}+(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}-1\}$の値について考えてみましょう。

$$\{(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}+(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}-1\}$$
$$=(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}{)}^{2n+1}+(\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}){)}^{2n+1}-1$$
$$=(\cos \frac{(2n+1)\pi }{3}+i\sin \frac{(2n+1)\pi }{3})+(\cos \frac{-(2n+1)\pi }{3})+i\sin \frac{-(2n+1)\pi }{3})-1$$
$$=2\cos \frac{(2n+1)\pi }{3}-1$$

以下、kは非負整数とします。
(ⅰ).n=3kのとき
$$2\cos \frac{(2n+1)\pi }{3}-1$$
$$=2\cos (\frac{\pi }{3}+2k\pi )-1$$
$$=0$$

(ⅱ)n=3k+1のとき
$$2\cos \frac{(2n+1)\pi }{3}-1$$
$$=2\cos (\pi +2k\pi )-1$$
$$=-3$$

(ⅲ)n=3k+2のとき
$$2\cos \frac{(2n+1)\pi }{3}-1$$
$$=2\cos (\frac{5\pi }{3}+2k\pi )-1$$
$$=0$$

よって、以上(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)から

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{2n-1}{\pi }^{2n+1}}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}(-1{)}^n\{(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}+(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}{)}^{2n+1}-1\}$$
$$=3\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{6n+1}{\pi }^{6n+3}}{(6n+3)!}{z}^{6n+3}(-1{)}^n$$
$$\therefore (\sin \pi z)(\sin \omega \pi z)(\sin {\omega }^2\pi z)=3\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{6n+1}{\pi }^{6n+3}}{(6n+3)!}{z}^{6n+3}(-1{)}^n\cdots \mathrm{②}$$

①②から
$${\pi }^3{z}^3\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{z}{n}{)}^6\}=3\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{6n+1}{\pi }^{6n+3}}{(6n+3)!}{z}^{6n+3}(-1{)}^n$$
両辺${\pi }^3$で割ると
$$z^3\prod _{n=1}^{\infty }\{1-(\frac{z}{n}{)}^6\}=3\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{6n+1}{\pi }^{6n}}{(6n+3)!}{z}^{6n+3}(-1{)}^n$$
上記の式において、$z^{6n+3}$で係数比較をしてみましょう。すると

$$(-1{)}^n\zeta (\{6{\}}^n)=\frac{3\cdot 2^{6n+1}}{(6n+3)!}{\pi }^{6n}(-1{)}^n$$
$$\underset{―}{\therefore \zeta (\{6{\}}^n)=\frac{3\cdot 2^{6n+1}}{(6n+3)!}{\pi }^{6n}}$$
となり目標の式を得ることが出来ました！

実際にnに具体的な値を入れてみましょう
$$\zeta (6)=\frac{3\cdot 2^7}{9!}{\pi }^6=\frac{{\pi }^6}{945}$$
$$\zeta (6,6)=\frac{3\cdot 2^{13}}{15!}{\pi }^{12}=\frac{4{\pi }^{12}}{212837625}$$

$$\zeta (6,6,6)=\frac{3\cdot 2^{19}}{21!}{\pi }^{18}=\frac{2{\pi }^{18}}{64965492466875}$$

分母の桁が大きすぎて、ぴえんこえてぱおん！
(言ってみたかっただけ)

終わりに

今回の記事では、$\zeta (6,6\cdots 6)$を求めてみましたが、似たような手法で$\zeta (2m,2m\cdots 2m)$も形式的に書けることが確認できました。(まだよく分かっていない点も多いですが...)

以上です。
ここまで読んでいただきありがとうございました(^_-)-☆