大学数学基礎解説

冪級数の冪乗

多項式,微分積分,形式的べき級数

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定理

冪級数の冪乗を考えます。

$\begin{array}{rcl} (f (t))^{x} & = & \sum_{n = 0}^{\infty} ϕ_{n} (x) t^{n} \\ ϕ_{0} (x) & = & 1 \end{array}$

このとき、 $ϕ_{n} (a)$ が分かっているならば、次のような漸化式を使って $ϕ_{n} (x)$ を求めることができます。

$ϕ_{n} (x) = \frac{x}{a n} \sum_{k = 1}^{n} k ϕ_{k} (a) ϕ_{n - k} (x - a)$

$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 1}^{\infty} n ϕ_{n} (x) t^{n - 1} & = & \frac{\partial}{\partial t} (f (t))^{x} = \frac{\partial}{\partial t} {(f (t))^{a}}^{\frac{x}{a}} = \frac{x}{a} {(f (t))^{a}}^{\frac{x}{a} - 1} \frac{\partial}{\partial t} (f (t))^{a} = \frac{x}{a} (f (t))^{x - a} \frac{\partial}{\partial t} (f (t))^{a} \\ = & \frac{x}{a} (\sum_{n = 0}^{\infty} ϕ_{n} (x - a) t^{n}) (\sum_{n = 1}^{\infty} n ϕ_{n} (a) t^{n - 1}) \\ = & \frac{x}{a} \sum_{n = 1}^{\infty} (\sum_{k = 1}^{n} k ϕ_{k} (a) ϕ_{n - k} (x - a)) t^{n - 1} \end{array}$

$p_{n} (x) := n! ϕ_{n} (x)$ とおけば、
$\begin{array}{rcl} p_{n} (x) & = & \frac{x}{a n} \sum_{k = 1}^{n} k (\binom{n}{k}) p_{k} (a) p_{n - k} (x - a) \\ = & \frac{x}{a} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n - 1}{k - 1}) p_{k} (a) p_{n - k} (x - a) \end{array}$
となります。
また、 $p_{1} (x)$ が零関数でなければ $p_{n} (x)$ は二項型多項式列になります。

$a \to 0$ の場合

$\begin{array}{rcl} ϕ_{n} (x) & = & \frac{x}{n} \sum_{k = 1}^{n} k ϕ_{k}^{'} (0) ϕ_{n - k} (x) \end{array}$

$n \geq 1$ の時、 $ϕ_{n} (0) = 0$
$\begin{array}{rcl} lim_{a \to 0} \frac{ϕ_{n} (a)}{a} & = & lim_{a \to 0} \frac{ϕ_{n} (0 + a) - ϕ_{n} (0)}{a} = ϕ_{n}^{'} (0) \end{array}$