冪級数の冪乗
定理
冪級数の冪乗を考えます。
\begin{eqnarray} (f(t))^x &=& \sum_{n=0}^\infty \phi_n(x)t^n \\ \phi_0(x) &=& 1 \end{eqnarray}
このとき、$\phi_n(a)$が分かっているならば、次のような漸化式を使って$\phi_n(x)$を求めることができます。
$\displaystyle{ \phi_n(x) = \frac{x}{an}\sum_{k=1}^n k\phi_k(a)\phi_{n-k}(x-a) }$
\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty n\phi_n(x)t^{n-1} &=& \frac\partial{\partial t} (f(t))^x = \frac\partial{\partial t} \lbrace(f(t))^a\rbrace^\frac{x}{a} = \frac{x}{a} \lbrace(f(t))^a\rbrace^{\frac{x}{a}-1} \frac\partial{\partial t} (f(t))^a = \frac{x}{a} (f(t))^{x-a} \frac\partial{\partial t} (f(t))^a \\&=& \frac{x}{a} \left(\sum_{n=0}^\infty \phi_n(x-a)t^n\right) \left(\sum_{n=1}^\infty n\phi_n(a)t^{n-1}\right) \\&=& \frac{x}{a} \sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{k=1}^n k\phi_k(a)\phi_{n-k}(x-a)\right)t^{n-1} \end{eqnarray}
$p_n(x):=n!\phi_n(x)$とおけば、
\begin{eqnarray}
p_n(x) &=&
\frac{x}{an}\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}p_k(a)p_{n-k}(x-a) \\&=&
\frac{x}{a}\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}p_k(a)p_{n-k}(x-a)
\end{eqnarray}
となります。
また、$p_1(x)$が零関数でなければ$p_n(x)$は
二項型多項式列
になります。
$a\to0$の場合
\begin{eqnarray} \phi_n(x) &=& \frac{x}{n}\sum_{k=1}^n k\phi'_k(0)\phi_{n-k}(x) \end{eqnarray}
$n\ge1$の時、$\phi_n(0)=0$
\begin{eqnarray}
\lim_{a\to0}\frac{\phi_n(a)}{a} &=&
\lim_{a\to0}\frac{\phi_n(0+a)-\phi_n(0)}{a} =
\phi'_n(0)
\end{eqnarray}