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冪級数の冪乗

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$$\newcommand{hygeo}[6]{ {}_{#2}\mathrm{#1}_{#3}\left[\begin{matrix}{#4}\\ {#5}\end{matrix}\ ;{#6}\right]} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\large\rm{K}}} $$

定理

冪級数の冪乗を考えます。

\begin{eqnarray} (f(t))^x &=& \sum_{n=0}^\infty \phi_n(x)t^n \\ \phi_0(x) &=& 1 \end{eqnarray}

このとき、$\phi_n(a)$が分かっているならば、次のような漸化式を使って$\phi_n(x)$を求めることができます。

$\displaystyle{ \phi_n(x) = \frac{x}{an}\sum_{k=1}^n k\phi_k(a)\phi_{n-k}(x-a) }$

\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty n\phi_n(x)t^{n-1} &=& \frac\partial{\partial t} (f(t))^x = \frac\partial{\partial t} \lbrace(f(t))^a\rbrace^\frac{x}{a} = \frac{x}{a} \lbrace(f(t))^a\rbrace^{\frac{x}{a}-1} \frac\partial{\partial t} (f(t))^a = \frac{x}{a} (f(t))^{x-a} \frac\partial{\partial t} (f(t))^a \\&=& \frac{x}{a} \left(\sum_{n=0}^\infty \phi_n(x-a)t^n\right) \left(\sum_{n=1}^\infty n\phi_n(a)t^{n-1}\right) \\&=& \frac{x}{a} \sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{k=1}^n k\phi_k(a)\phi_{n-k}(x-a)\right)t^{n-1} \end{eqnarray}

$p_n(x):=n!\phi_n(x)$とおけば、
\begin{eqnarray} p_n(x) &=& \frac{x}{an}\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}p_k(a)p_{n-k}(x-a) \\&=& \frac{x}{a}\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}p_k(a)p_{n-k}(x-a) \end{eqnarray}
となります。
また、$p_1(x)$が零関数でなければ$p_n(x)$ 二項型多項式列 になります。

$a\to0$の場合

\begin{eqnarray} \phi_n(x) &=& \frac{x}{n}\sum_{k=1}^n k\phi'_k(0)\phi_{n-k}(x) \end{eqnarray}

$n\ge1$の時、$\phi_n(0)=0$
\begin{eqnarray} \lim_{a\to0}\frac{\phi_n(a)}{a} &=& \lim_{a\to0}\frac{\phi_n(0+a)-\phi_n(0)}{a} = \phi'_n(0) \end{eqnarray}

投稿日:2022915

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著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。

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