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3F2と2F1の有限和の恒等式

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$$\newcommand{beginend}[2]{\begin{#1}#2\end{#1}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{hen}[1]{{(\textrm{{#1}辺})}} \newcommand{hygeo}[6]{{{}_{#1}{#2}_{#3}{\qty[\beginend{matrix}{{#4}\\ {#5}}\ ;{#6}]}}} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\large\rm{K}}} \newcommand{lr}[3]{{\left#1{#2}\right#3}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{sahen}[0]{\hen左} \newcommand{SETUP}[0]{}\require{physics}{} \newcommand{stirling}[3]{\left[ \begin{matrix}{#1} \\ {#2}\end{matrix} {#3}\right]} \newcommand{Stirling}[3]{\left\{ \begin{matrix}{#1} \\ {#2}\end{matrix} {#3}\right\}} \newcommand{uhen}[0]{\hen右} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-4)^k\binom{n}{k}\frac{(a,b)_k}{(a+b)_{2k}} = \sum_{k=0}^{2n} (-2)^k\binom{2n}{k}\frac{(a)_k}{(a+b)_k} $

$(a_1,\cdots,a_j)_n \coloneqq (a_1)_n\cdots(a_j)_n$と略記します。

超幾何級数を使うとこのようになります。
$\displaystyle \hygeo3F2{a,b,-n}{\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}1 = \hygeo2F1{a,-2n}{a+b}2 $

$\beginend{eqnarray}{ \frac{{\rm B}(a+k,b+l)}{{\rm B}(a,b)} &=& \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{\Gamma(a+k)\Gamma(b+l)}{\Gamma(a+b+k+l)} \\&=& \frac{(a)_k(b)_l}{(a+b)_{k+l}} }$
$\beginend{eqnarray}{ \sahen &=& \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{{\rm B}(a+k,b+k)}{{\rm B}(a,b)}(-4)^k \\&=& \frac{1}{{\rm B}(a,b)}\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}[1-4t(1-t)]^n dt \\&=& \frac{1}{{\rm B}(a,b)}\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\qty(1-4t+4t^2)^n dt \\&=& \frac{1}{{\rm B}(a,b)}\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}(1-2t)^{2n} dt \\&=& \sum_{k=0}^{2n} (-2)^k\binom{2n}{k}\frac{{\rm B}(a+k,b)}{{\rm B}(a,b)} \\&=& \uhen }$

$\beginend{align}{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(a,b)_n}{(a+b)_{2n}}\lr({-\frac{4x^2}{1-x^2}})^n &= \frac12\sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{(a+b)_n} \qty[(1+x)\qty(-\frac{2x}{1-x})^n + (1-x)\qty(\frac{2x}{1+x})^n] \\&= \frac{1\pm x}2\sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n + (b)_n}{(a+b)_n}\lr({\mp\frac{2x}{1\mp x}})^n }$

$\beginend{align}{ &\because\\ &f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \\ &\Longleftrightarrow\\ &\frac1{1-x}f \lr({\frac{x}{1-x}}) = \sum_{n=0}^\infty \lr[{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a_k}]x^n }$

これは超幾何関数を使うと
$\beginend{align}{ \hygeo3F2{a,b,1}{\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}{-\frac{x^2}{1-x^2}} &= \frac12\qty[(1+x)\hygeo2F1{a,1}{a+b}{-\frac{2x}{1-x}} + (1-x)\hygeo2F1{a,1}{a+b}{\frac{2x}{1+x}}] \\&= \frac{1\pm x}2\lr({ \hygeo2F1{a,1}{a+b}{\mp\frac{2x}{1\mp x}} + \hygeo2F1{b,1}{a+b}{\mp\frac{2x}{1\mp x}}}) }$
となります。

$\displaystyle \hygeo3F2{-n,b,c}{\frac{-n+b}2,\frac{-n+b+1}2}1 = \hygeo2F1{-n,2c}{-n+b}2 $

両辺が$c$についての多項式であり無限個の$c$で成り立つため常に等しい。

投稿日:2022917
更新日:1018
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著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。

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