本質部分加群の圏論的特徴づけ Part2

(1)$\Rightarrow$(2):
まず、$H\hookrightarrow K$が本質単射であることを示します。前回の命題3より、$L\hookrightarrow K$を任意にとり、下の図を仮定して$L=0$を示せば十分です。
$$000\text{PB}LHK$$
ここで、
$$000\text{PB}L\text{PB}LHKM$$
より
$$000\text{PB}LHKM$$
したがって、$H\hookrightarrow K\hookrightarrow M$が本質単射であることから、$L=0$
ゆえに$H\hookrightarrow K$は本質単射である

つぎに$K\hookrightarrow M$が本質単射であることを示す。これも同様に$L\hookrightarrow M$を任意にとり、下の図式を仮定して$L=0$を示す。
$$000\text{PB}LKM$$
ここで
$$00\text{PB}000\text{PB}LHKM$$
より
$$000\text{PB}LHKM$$
したがって、$H\hookrightarrow K\hookrightarrow M$が本質単射であることから、$L=0$
ゆえに$K\hookrightarrow M$は本質単射である

(2)$\Rightarrow$(1):
いつも通り、$L\hookrightarrow M$をとり、下の図を仮定して$L=0$を示す。
$$000\text{PB}LHKM$$
ここで、
$$P\text{PB}LKM$$
をとると、次の図式に分解できる
$$000\circlearrowright P\text{PB}LHKM$$
Pullback Lemmaより左の四角形はまたPullbackのとPullbackはmonoを保つのと$H\hookrightarrow K$が本質単射であることから$P=0$が従う。つまり、
$$000\text{PB}LKM$$
$K\hookrightarrow M$が本質単射であることから$L=0$となり$H\hookrightarrow K\hookrightarrow M$は本質単射

(1)$\Rightarrow$(2):
仮定から、以下のような図式が得られます。
$$\ker (gf)\circlearrowright \ker gMgff\circlearrowright Ng{N}^{\prime }{N}^{\prime }$$
ここで、仮定から$\ker (gf)=0$なので、あとは上の四角形がPBであることを示せば十分であることがわかります。（これがわかると$f$が本質単射なので$\ker g=0となる$）
これは、落ち着いてPBの普遍性を確かめればわかります。

(2)$\Rightarrow$(1):
任意に$L\hookrightarrow N$を取り、下の図式を仮定します。
$$000\text{PB}LMfN$$
この時、
$$00000\text{PB}LMf\circlearrowright NN/LN/L0$$
と図式を広げられる。ここで$M\to N/L$が単射であることを示せば、仮定から$N\twoheadrightarrow N/L$が単射となり、$L=0$が従う。なので$M\to N/L$が単射であることを示す。
$$0Mf\circlearrowright N\circlearrowright N/\text{Im}f00N/LN/L00$$
に蛇の補題を用いることで、
$$0\text{Ker}[1]LN/\text{Im}f0Mf\circlearrowright N\circlearrowright N/\text{Im}f00N/LN/L00$$
が得られる（$\text{Ker}$は$\text{Ker}(M\to N/L)$のこと）。
この[1]を見るとpullbackの普遍性より次のように分割できる。
$$\text{Ker}0\text{PB}LMN$$
つまり、$\text{Ker}\hookrightarrow M=0$で単射が$0$なので$\text{Ker}=0$となる。
したがって、$M\to N/L$は単射。