本質部分加群の圏論的特徴づけ Part2
今回の目標と約束
どうも、あおです。
この記事は「
本質部分加群の圏論的特徴づけ Part1
」の続編になります。
前回は、本質部分加群に対して圏論的特徴づけをしたわけですが、こうなると諸性質に圏論的証明を与えたいと思うのが人間の性です。そういうわけで、以下では本質単射に関するよく知られているであろう二つの命題に対して上の特徴づけを用いて圏論的な証明を与えていきます。
前回同様、この記事を通して次の約束をしておきます。
・$R$:可換とは限らない単位的環
・$\Mod{R}$:右$R$加群全体がなす圏
・$N\le M$と書いたときは$N$は$M$の部分加群
・射は全部$\Mod{R}$での射（つまり加群準同型）
・$\mono$は単射を表す
・$\epi$は全射を表す
・値域と定義域が等しいような名前がない射はすべて同じ射
・加群論における極初歩的な主張
・（アーベル）圏におけるpullbackやpushoutに関する基本的な主張
諸性質の圏論的な証明
早速諸性質について圏論的証明を与えていきましょう。
$H\le K\le M\in\Mod{R}$に対し、以下は同値
(1) $H$が$M$の本質部分加群
- $H$が$K$の本質部分加群かつ$K$が$H$の本質部分加群
これを本質単射の言葉で言い換えることで、少し圏論的な見方ができます。
$H\mono K\mono M$in$\Mod{R}$に対し、以下は同値
(1) 上の合成$H\mono M$が本質単射
(2) $H\mono K$,$K\mono M$がそれぞれ本質単射
(1)$\Rightarrow$(2):
まず、$H\mono K$が本質単射であることを示します。前回の命題3より、$L\mono K$を任意にとり、下の図を仮定して$L=0$を示せば十分です。
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[r]^{0} \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d] \\
H \ar@{^{(}->}[r] & K
}
\end{xy}
ここで、
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[r]^0 \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d] \ar@{=}[r] \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d]\\
H \ar@{^{(}->}[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
より
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[rr]^0 \ar@{}[rrd]|{\text{PB}} & & L \ar@{^{(}->}[d]\\
H \ar@{^{(}->}[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
したがって、$H\mono K\mono M$が本質単射であることから、$L=0$
ゆえに$H\mono K$は本質単射である
つぎに$K\mono M$が本質単射であることを示す。これも同様に$L\mono M$を任意にとり、下の図式を仮定して$L=0$を示す。
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[r]^0 \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d] \\
K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
ここで
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar@{=}[r] \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & 0 \ar[d]_0 \ar[r]^0 \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d]\\
H \ar@{^{(}->}[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
より
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[rr]^0 \ar@{}[rrd]|{\text{PB}} & & L \ar@{^{(}->}[d]\\
H \ar@{^{(}->}[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
したがって、$H\mono K\mono M$が本質単射であることから、$L=0$
ゆえに$K\mono M$は本質単射である
(2)$\Rightarrow$(1):
いつも通り、$L\mono M$をとり、下の図を仮定して$L=0$を示す。
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[rr]^0 \ar@{}[rrd]|{\text{PB}} & & L \ar@{^{(}->}[d]\\
H \ar@{^{(}->}[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
ここで、
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
P \ar[d] \ar[r] \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d] \\
K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
をとると、次の図式に分解できる
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[r]^0 \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} & P \ar[d] \ar[r] \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d]\\
H \ar@{^{(}->}[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
Pullback Lemmaより左の四角形はまたPullbackのとPullbackはmonoを保つのと$H\mono K$が本質単射であることから$P=0$が従う。つまり、
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[r]^0 \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d] \\
K \ar@{^{(}->}[r] & M
}
\end{xy}
$K\mono M$が本質単射であることから$L=0$となり$H\mono K\mono M$は本質単射
はい、加群論の命題が簡単なPBの演習問題と化しました。
この調子でもう一つ示していきましょう。
本質単射についてよく知られた必要十分条件が以下のように示せます。
$f:M\mono N$ に対して以下は同値
(1)$f$が本質単射
(2)任意の$N'\in \Mod{R}$と任意の$g:N\mor N'$に対して$gf$が単射ならば$g$は単射
(1)$\Rightarrow$(2):
仮定から、以下のような図式が得られます。
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
\ker (gf) \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} & \ker g \ar@{^{(}->}[d] \\
M \ar[d]_{gf} \ar@{^{(}->}[r]^f \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} & N \ar[d]^g \\
N' \ar@{=}[r] & N'
}
\end{xy}
ここで、仮定から$\ker(gf)=0$なので、あとは上の四角形がPBであることを示せば十分であることがわかります。（これがわかると$f$が本質単射なので$\ker g=0となる$）
これは、落ち着いてPBの普遍性を確かめればわかります。
(2)$\Rightarrow$(1):
任意に$L\mono N$を取り、下の図式を仮定します。
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d]_0 \ar[r]^0 \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d] \\
M \ar@{^{(}->}[r]_f & N
}
\end{xy}
この時、
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\
0 \ar[d]_0 \ar[r]^0 \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar@{^{(}->}[d] \\
M \ar@{^{(}->}[r]_f \ar[d] \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} & N \ar@{->>}[d] \\
N/L \ar@{=}[r] & N/L \ar[d] \\
& 0
}
\end{xy}
と図式を広げられる。ここで$M \mor N/L$が単射であることを示せば、仮定から$N \epi N/L$が単射となり、$L=0$が従う。なので$M \mor N/L$が単射であることを示す。
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[r] & M \ar@{^{(}->}[r]_f \ar[d] \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} & N \ar@{->>}[d] \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} \ar[r] & N/\Im f \ar[d] \ar[r] & 0\\
0 \ar[r] & N/L \ar@{=}[r] & N/L \ar[r] & 0 \ar[r] & 0
}
\end{xy}
に蛇の補題を用いることで、
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
0 \ar[r] & \Ker \ar@{^{(}->}[d] \ar@{^{(}->}[r] \ar@{}[rd]|{[1]} & L \ar@{^{(}->}[d] \ar[r] & N/ \Im f \ar@{=}[d] \ar@{.>}[r] & \\
0 \ar[r] & M \ar@{^{(}->}[r]_f \ar[d] \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} & N \ar@{->>}[d] \ar@{}[rd]|{\circlearrowright} \ar[r] & N/\Im f \ar[d] \ar[r] & 0\\
0 \ar[r] & N/L \ar@{=}[r] & N/L \ar[r] & 0 \ar[r] & 0
}
\end{xy}
が得られる（$\Ker$は$\Ker(M \mor N/L)$のこと）。
この[1]を見るとpullbackの普遍性より次のように分割できる。
\begin{xy}
\xymatrix@M=8pt{
\Ker \ar[rrd] \ar[rd] \ar[rdd] & & \\
& 0 \ar[r] \ar[d] \ar@{}[rd]|{\text{PB}} & L \ar[d] \\
& M \ar[r] & N
}
\end{xy}
つまり、$\Ker \mono M=0$で単射が$0$なので$\Ker = 0$となる。
したがって、$M \mor N/L$は単射。
(実は上の蛇の補題を使っているところは、蛇の補題を使う必要は全くなく、可換な四角の平行射で$\Ker$を取るとその間に射が生えてなおかつ可換という主張を使えば十分です。)
とりあえず終わり(再)
すみません、どうしても長くなると細かく分けたくなってしまうので、今回も微妙な長さで終わらさせていただきます...。まだ本質単射に対していろいろな命題があるのですが、それらはPart3以降で書くと思います。
ありがとうございました！！