【Causality】時空が大域的に共形時間と空間に分解するための必要十分条件

安定的因果時空は強因果時空であることが示される（Mathpediaの記事参照）。

安定的因果時空の特徴付けから明らかである。

https://mathlog.info/articles/2906 の定理２の系参照。

　標準的定常時空ならば、定義より、関数$t\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$が存在して、$g=-\beta (x{)}^{2}d{t}^2+2\omega (x)dt+h(x)$と表される。$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}t$が過去向き時間的ベクトル場であることを示せすことが出来れば$t$は可微分時間関数となり、$(M,g)$は安定的因果時空となるから命題４より区分時空である。
　
　よって任意の未来向き因果的ベクトル$v$に対して、$g(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}t,v)>0$となることを示せば良い。$v$を${\partial }_t$と$t$のレベル集合に接する方向に分解して$v=v^t{\partial }_t+v_x$とすれば、結局$v^t=g(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}t,v)>0$を示せば良い。

　${\partial }_t$と$v$が共に未来向きであるから、
$$\begin{array}{r}g({\partial }_t,v)=-{\beta }^2{v}^t+2\omega (v_x)\le 0,\\ \therefore 2\omega (v_x)\le {\beta }^2{v}^t\end{array}$$
である。

　また$v$は因果的であるから
$$\begin{array}{rl}& ||v|{|}^2=-{\beta }^2(v^t{)}^2+2\omega (v_x)v^t+||v_x|{|}_h^2\le 0,\\ & v^t\le \frac{\omega (v_x)-\sqrt{\omega (v_x{)}^2+{\beta }^2||v_x|{|}^2}}{{\beta }^2},\frac{\omega (v_x)+\sqrt{\omega (v_x{)}^2+{\beta }^2||v_x|{|}^2}}{{\beta }^2}\le v^t\end{array}$$
である。

　よって
$$\begin{array}{r}{\beta }^2{v}^t\ge \omega (v_x)+\sqrt{\omega (v_x{)}^2+{\beta }^2||v_x|{|}^2}\end{array}$$
となり、$v_x\ne 0$のとき$v^t>0$である。また$v_x=0$のときは$v=v^t{\partial }_t$となり${\partial }_t$が未来向きなので明らかに$v^t>0$である。

　$I^{+}(p)\supset I^{+}(q)$とすると、任意の$q^{+}\in I^{+}(q)$と$p$を結ぶ未来向きの時間的曲線が存在する。特に、$U$が生成する1パラメータ変換群を${\varphi }_t$とすると、任意の$ϵ>0$に対して、${\varphi }_{ϵ}(q)$と$p$を結ぶ未来向きの時間的曲線$\alpha :[0,1]\to M$が存在する。$U$は完備であるから${\varphi }_{-ϵ}\circ \alpha$は定義される。この曲線のパラメータを反転させれば$q$から出て${\varphi }_{-ϵ}(p)$へ至る過去向きの時間的曲線と見なせる。

　任意の$p^{-}\in I^{-}(p)$に対して、$p$と$p^{-}$を結ぶ時間的曲線$\gamma$を一つ取る。$p$の正規近傍を$V$とし$p^{\prime }\in \gamma \cap V$とする。$V$上の因果的関係はMinkowski時空のそれと同じだから
$ϵ$を必要なら十分小さく取れば$p^{\prime }\in I^{-}({\varphi }_{-ϵ}(p))$とできることが分かる。よってこのとき$p^{-}\in I^{-}(p^{\prime })\subset I^{-}(q)$である。

証明の模式図

　もし$U$の各積分曲線とただ一度交わる空間的超曲面$S$が存在すれば、標準的定常時空となる。なぜなら$U$が生成するフローを$\mathrm{\Psi }:\mathbb{R}\times M\to M$とすると、${\mathrm{\Phi }}_S:\mathbb{R}\times S\ni (t,p)\mapsto \mathrm{\Phi }(t,p)\in M$は微分同相であり、$(\mathbb{R}\times S,{\mathrm{\Phi }}_S^{\ast }g)$は明らかに標準的定常時空である。よってこのような$S$の存在を示せば良い。

　$U$の軌道空間を$Q$とすると、$M$は$Q$上の直線束となるから$M\simeq \mathbb{R}\times Q$と分解される。可微分時間関数を$t$とすると、$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}t$が時間的だから$S=t^{-1}(0)$は空間的超曲面である。$t$は時間関数であり、任意の時間曲線に沿って狭義単調増加するため、$S$と因果的曲線が交わるなら唯一点で交わる（この性質を持つ集合は順時的集合と呼ばれる）。よって$U$の各積分曲線と交わるならば唯一点である。従って$S\simeq Q$を示せば良い（全ての$U$の積分曲線と交わるかどうかまだ分からない）。

　分解$M\simeq \mathbb{R}\times Q$に関して第二成分への射影を$\pi :M\to Q$とする。$S$は順時的集合なので$\pi {|}_S$は単射である。またinvariance of domainより$\pi (S)$は開集合である。さらに$M$は連結であるから$Q$も連結である。従って$\pi (S)$が閉集合であることを示せば良い。

　$p\in M$の分解$M\simeq \mathbb{R}\times Q$に関する成分表示を$p=(t,x{)}_{\ell }$と書くことにする($\ell$はline bundleの$\ell$)。$S$の点列$\{z_n=({\hat{t}}_n,{\hat{x}}_n{)}_{\ell }\}\in S$に対して、${\hat{x}}_n\to {\hat{x}}_{\mathrm{\infty }}\in Q$とする。

　${\hat{x}}_{\mathrm{\infty }}\notin \pi (S)$と仮定して矛盾を導く。もし${\hat{t}}_n$が収束するなら$z_n$が極限を持ち$S$は閉集合だから$z_n\to z_{\mathrm{\infty }}\in S$となり矛盾する。よって${\hat{t}}_n$は発散する。${\hat{t}}_n\to +\mathrm{\infty }$と仮定してよい。

$\hat{V}$を${\hat{x}}_{\mathrm{\infty }}$を含む$Q$の開近傍とする。${\pi }^{-1}(\hat{V})$には空間的超曲面である切断が存在するから${\pi }^{-1}(\hat{V})$は標準的定常時空である。その切断を$V\subset {\pi }^{-1}(\hat{V})$とし、${\pi }^{-1}(\hat{V})$の標準的定常時空への分解を${\pi }^{-1}(\hat{V})=\mathbb{R}\times V$とする。この分解に関する成分表示を$z_n=(t_n,x_n{)}_s$とする。

　関数$T:V\times V\to [0,\mathrm{\infty })$を
$$T(x,y):=inf\{t;(0,x{)}_s<<(t,y{)}_s\}$$
と定義すると、$T$は$V\times V$上で連続である(証明は少し長いのでAppendixに回す)。$T_W:=\underset{x,y\in W}{inf}T(x,y)$と定義する。

十分大きい$n_0$に対して、$x_{n_0}\in W$とできる。$n>n_0$に対して、$T_W$の定義より$t_n\ge t_{n_0}+T_W,x_n\in W$だから$(t_n,x_n{)}_s\in I^{+}((t_{n_0},x_{n_0}{)}_s)$である。よって$S$が順時的集合であることに矛盾する。

証明の模式図

　$M$の計量を$g=-\beta d{t}^2+2\omega dt+g_V$とする（記号は定義2と同じ意味）。$\gamma :[0,1]\to V$を$V$上の$C^1$級曲線で$g_V(\dot{\gamma },\dot{\gamma })=1$を満たすものとする。$f\in C^1([0,1])$に対して、方程式
$$-\beta f^{\prime 2}+2f^{\prime }\omega (\dot{\gamma })+1=0$$
は解を持つ。この方程式の正の解を$f$とすると、曲線$\tilde{\gamma }(u):=(f(u),\gamma (u){)}_s$は$(0,x{)}_s$と時間的曲線$R_y:=\{(u,y{)}_s;u\in \mathbb{R}\}$を結ぶ光的曲線である。従って、$J^{+}((0,x{)}_s)\cap R_y\ne \mathrm{\varnothing }$である。

　$(T_0,y{)}_s\in \partial J^{+}((0,x{)}_s)=J^{+}((0,x{)}_s)-I^{+}((0,x{)}_s)$とする。$T<T_0$に対して、$(T,y{)}_s\in J^{+}((0,x{)}_s)$となることはありえない。なぜならもしそうなったら、$(0,x{)}_s<(T,y{)}_s<<(T_0,y{)}_s$なので$(0,x{)}_s<<(T_0,y{)}_s$であるから、$(T_0,y{)}_s\in I^{+}((0,x{)}_s)$となり、矛盾する。よって$(T,y{)}_s\notin J^{+}((0,x{)}_s)$である。また$T>T_0$に対しても同様に$(T,y{)}_s\in I^{+}((0,x{)}_s)$である。よって$T_0$は望みの性質を持つ。

　まず$y$に関する連続性を示す。$\partial J^{+}((0,x{)}_s)=\{(T(x,y),y{)}_s;y\in V\}$である。点列$\{y_n\}\in V$で$y_n\to y$かつ$T(x,y_n)\to T^{\prime }\ne T(x,y)$となるものがあるとする。$\partial J^{+}((0,x{)}_s)$は閉集合だから$(T^{\prime },y{)}_s\in \partial J^{+}((0,x{)}_s)$となる。$T^{\prime }\ne T(x,y)$だから、$t\ne T^{\prime }$で$(t,y{)}_s\in \partial J^{+}((0,x{)}_s)$となる$t$があることになり、存在性の証明と同様の矛盾が生じる。

　最期に$x$に関する連続性を示す。点列$\{x_n\}\in V$を$x_n\to x,T(x_n,y)\to T^{\prime }\ne T(x,y)$を満たすものとする。
(i) $T^{\prime }<T(x,y)$のとき
$(T^{\prime },y{)}_s\notin J^{+}((0,x{)}_s)$であり、$J^{+}((0,x{)}_s)$は閉集合だから$(T^{\prime },y{)}_s$のコンパクトな近傍$K$があって$K\cap J^{+}((0,x{)}_s)=\mathrm{\varnothing }$とできる。$M$は標準的定常時空であり、定理7より因果的連続時空であるから、$I^{\pm }$は外側連続である。よって$x$の適当な近傍$U$があって、任意の$x^{\prime }\in U$に対して、$J^{+}((0,x^{\prime }{)}_s)\cap K=\mathrm{\varnothing }$となる。これは$x_n\to x$のとき$T(x_n,y)\to T$となることに矛盾する。
(ii) $T^{\prime }>T(x,y)$のとき
$I^{\pm }$の内側連続性（常に成り立つ）から同様の議論が成り立つ。