0

二項係数と極限の問題の解説

45
0
$$$$

https://mathlog.info/articles/3561  の解説です。

$$ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n\frac{{}_n\mathrm{C}_k^2}{(2k+1){}_{2n}\mathrm{C}_{2k}} $$を求めてください。

二項係数ではよくある話ですが、この和は$n$の式で表すことができます。こんな感じです。
$$ \sum_{k=0}^{n}\frac{{}_n\mathrm{C}_k^2}{(2k+1){}_{2n}\mathrm{C}_{2k}}=\frac{16^n}{(2n+1){}_{2n}\mathrm{C}_n^2} $$
で、これがどっから出てきたんだよっつー話ですが、ちょっと左辺を変形してみます。
$$ \sum_{k=0}^{n}\frac{{}_n\mathrm{C}_k^2}{(2k+1){}_{2n}\mathrm{C}_{2k}}=\sum_{k=0}^n\frac{\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)^2}{(2k+1)\frac{(2n)!}{(2k)!(2n-2k)!}}=\frac{n!^2}{(2n)!}\sum_{k=0}^n\frac{(2k)!}{(2k+1)k!^2}\cdot\frac{(2n-2k)!}{(n-k)!^2} $$
二項係数なので当たり前ですけど、$k$項目が$k$の式と$n-k$の式の積になってます。いわゆる畳み込みというやつですか。で、次の3つの式を使います。
$$ \arcsin{x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{(2n+1)4^n}x^{2n+1} \\\frac1{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{4^n}x^{2n} \\\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{4^nn!^2}{(2n+1)!}x^{2n+1} $$
1つ目と2つ目の式は有名ですが、3つ目の式はちょっとアレかもですね。$(\arcsin{x})^2$のテイラー展開を求めるのに使われる式ですね。で、左辺を見ると、3つ目の式は1つ目の式と2つ目の式の積になっています。なので、
$$ \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{(2n+1)4^n}x^{2n+1}\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{4^n}x^{2n}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{4^nn!^2}{(2n+1)!}x^{2n+1} $$
$|x|<1$で絶対収束)
コーシー積というやつですね。ほんで、この式の左辺の$x^{2n+1}$の係数が
$$ \sum_{k=0}^n\frac{{}_{2k}\mathrm{C}_k}{(2k+1)4^k}\cdot\frac{{}_{2n-2k}\mathrm{C}_{n-k}}{4^{n-k}}=\frac1{4^n}\sum_{k=0}^n\frac{(2k)!}{(2k+1)k!^2}\cdot\frac{(2n-2k)!}{(n-k)!^2} $$
となるのわかりますかね。実際計算してみると分かります。したがって係数比較すれば、
$$ \frac1{4^n}\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k)!}{(2k+1)k!^2}\cdot\frac{(2n-2k)!}{(n-k)!^2}=\frac{4^nn!^2}{(2n+1)!} $$
がわかるので、
$$\begin{split} \sum_{k=0}^{n}\frac{{}_n\mathrm{C}_k^2}{(2k+1){}_{2n}\mathrm{C}_{2k}}&=\frac{n!^2}{(2n)!}\sum_{k=0}^n\frac{(2k)!}{(2k+1)k!^2}\cdot\frac{(2n-2k)!}{(n-k)!^2}\\&=\frac{4^nn!^2}{(2n)!}\cdot\frac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\\&=\frac{16^n}{(2n+1){}_{2n}\mathrm{C}_n^2} \end{split}$$
であるとわかります。同じように畳み込みのいろんな等式が導けますね。
で、ウォリスの公式$$ \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}{}_{2n}\mathrm{C}_n}{4^n}=\frac1{\sqrt{\pi}} $$
を用いれば、
$$ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{{}_n\mathrm{C}_k^2}{(2k+1){}_{2n}\mathrm{C}_{2k}}=\frac\pi2 $$
となることがわかります。

ひとりごと

良い問題というのは、素朴な問いに深い考察を必要としたり、意外な発見をもたらすようなものだと思うのですが、その点これは良い問題ではないですね。良い問題出そうとしたわけじゃないからいいもん。ところでこれ組み合わせ論的に説明できたりするのでしょうかね?

投稿日:20221010

投稿者

数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中