二項係数と極限の問題の解説

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https://mathlog.info/articles/3561 　の解説です。

$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{_{n} C_{k}^{2}}{(2 k + 1)_{2 n} C_{2 k}}$ を求めてください。

二項係数ではよくある話ですが、この和は $n$ の式で表すことができます。こんな感じです。
$\sum_{k = 0}^{n} \frac{_{n} C_{k}^{2}}{(2 k + 1)_{2 n} C_{2 k}} = \frac{16^{n}}{(2 n + 1)_{2 n} C_{n}^{2}}$
で、これがどっから出てきたんだよっつー話ですが、ちょっと左辺を変形してみます。
$\sum_{k = 0}^{n} \frac{_{n} C_{k}^{2}}{(2 k + 1)_{2 n} C_{2 k}} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(\frac{n!}{k! (n - k)!})}^{2}}{(2 k + 1) \frac{(2 n)!}{(2 k)! (2 n - 2 k)!}} = \frac{n!^{2}}{(2 n)!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(2 k)!}{(2 k + 1) k!^{2}} \cdot \frac{(2 n - 2 k)!}{(n - k)!^{2}}$
二項係数なので当たり前ですけど、 $k$ 項目が $k$ の式と $n - k$ の式の積になってます。いわゆる畳み込みというやつですか。で、次の３つの式を使います。
$\arcsin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{_{2 n} C_{n}}{(2 n + 1) 4^{n}} x^{2 n + 1}$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{_{2 n} C_{n}}{4^{n}} x^{2 n}$
$\frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{4^{n} n!^{2}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}$
１つ目と２つ目の式は有名ですが、３つ目の式はちょっとアレかもですね。 $(\arcsin x)^{2}$ のテイラー展開を求めるのに使われる式ですね。で、左辺を見ると、３つ目の式は１つ目の式と２つ目の式の積になっています。なので、
$(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{_{2 n} C_{n}}{(2 n + 1) 4^{n}} x^{2 n + 1}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{_{2 n} C_{n}}{4^{n}} x^{2 n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{4^{n} n!^{2}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}$
（ $| x | < 1$ で絶対収束）
コーシー積というやつですね。ほんで、この式の左辺の $x^{2 n + 1}$ の係数が
$\sum_{k = 0}^{n} \frac{_{2 k} C_{k}}{(2 k + 1) 4^{k}} \cdot \frac{_{2 n - 2 k} C_{n - k}}{4^{n - k}} = \frac{1}{4^{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(2 k)!}{(2 k + 1) k!^{2}} \cdot \frac{(2 n - 2 k)!}{(n - k)!^{2}}$
となるのわかりますかね。実際計算してみると分かります。したがって係数比較すれば、
$\frac{1}{4^{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(2 k)!}{(2 k + 1) k!^{2}} \cdot \frac{(2 n - 2 k)!}{(n - k)!^{2}} = \frac{4^{n} n!^{2}}{(2 n + 1)!}$
がわかるので、
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{_{n} C_{k}^{2}}{(2 k + 1)_{2 n} C_{2 k}} & = \frac{n!^{2}}{(2 n)!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(2 k)!}{(2 k + 1) k!^{2}} \cdot \frac{(2 n - 2 k)!}{(n - k)!^{2}} \\ = \frac{4^{n} n!^{2}}{(2 n)!} \cdot \frac{4^{n} n!^{2}}{(2 n + 1)!} \\ = \frac{16^{n}}{(2 n + 1)_{2 n} C_{n}^{2}} \end{aligned}$
であるとわかります。同じように畳み込みのいろんな等式が導けますね。
で、ウォリスの公式 $lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}_{2 n} C_{n}}{4^{n}} = \frac{1}{\sqrt{π}}$
を用いれば、
$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{_{n} C_{k}^{2}}{(2 k + 1)_{2 n} C_{2 k}} = \frac{π}{2}$
となることがわかります。