ゲージ対称性とは何か(14): Ward-Takahashi恒等式とBRST対称性

まず場のBRST変換性を示しておきます：
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\delta A_{\mu }^a=\omega ({\partial }_{\mu }{c}^a+g{f}_{abc}{A}_{\mu }^b{c}^c)=D_{\mu c}^a{c}^c,\\ \delta c^a=-\omega (\frac{1}{2}g{f}_{abc}{c}^b{c}^c),\\ \delta {\overline{c}}^a=i\omega B^a,\\ \delta B^a=0\end{array}\end{array}$$
ここで$\omega$はGrassmannの微小パラメータです。　

以下、場やパラメータはすべてくりこまれた量であるとします。

次のWT id.から始めます：
$$\begin{array}{r}\delta ⟨0|T[{\partial }^{\mu }{\hat{A}}_{\mu }^a(x){\hat{\overline{c}}}^b(y)]|0⟩=0\end{array}$$
以下、場が演算子であることを表す$\hat{}$を省略します。

ghost場$c^a$に関する運動方程式は
$$\begin{array}{r}{\partial }^{\mu }\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }^{\mu }{\overline{c}}^a)}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\overline{c}}^a}=i{\tilde{Z}}_3{\partial }^2{c}^a-i{\tilde{Z}}_{1}g{f}^{abc}{\partial }^{\mu }(c^b{A}_{\mu }^c)=0\end{array}$$
なので、$\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a)=\omega [{\tilde{Z}}_3{\partial }^2{c}^a-{\tilde{Z}}_{1}g{f}^{abc}{\partial }^{\mu }(c^b{A}_{\mu }^c)]=0$です。ゆえに上式は
$$\begin{array}{r}\delta ⟨0|T[{\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a(x){\overline{c}}^b(y)]|0⟩=0\leftrightarrow ⟨0|T[{\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a(x)\delta {\overline{c}}^b(y)]|0⟩=0\end{array}$$
となります。$B^a$に関する運動方程式から$\delta {\overline{c}}^a=i\omega B^a=\omega \frac{i}{\alpha }{\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a$なので
$$\begin{array}{r}⟨0|T[{\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a(x){\partial }^{\nu }{A}_{\nu }^b(y)]|0⟩=0\end{array}$$
です。

次に${\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a(x)$の微分を期待値の外に出します。
ここでboson場$\varphi$に対し、$T$積の定義は
$$\begin{array}{r}⟨0|T\varphi (x)\varphi (y)|0⟩:=\theta (x^0-y^0)⟨0|\varphi (x)\varphi (y)|0⟩+\theta (y^0-x^0)⟨0|\varphi (y)\varphi (x)|0⟩\end{array}$$
です。これに$x$に関する時間微分${\partial }_0^x$が作用すると
$$\begin{array}{r}{\partial }_0^x⟨0|T\varphi (x)\varphi (y)|0⟩=\delta (x^0-y^0)(⟨0|\varphi (x)\varphi (y)|0⟩-⟨0|\varphi (y)\varphi (x)|0⟩)+⟨0|T{\partial }_0^x\varphi (x)\varphi (y)|0⟩\\ =\delta (x^0-y^0)[\varphi (x),\varphi (y)]+⟨0|T{\partial }_0^x\varphi (x)\varphi (y)|0⟩\end{array}$$
となります。よって
$$\begin{array}{r}⟨0|T{\partial }_0^x\varphi (x)\varphi (y)|0⟩={\partial }_0^x⟨0|T\varphi (x)\varphi (y)|0⟩-\delta (x^0-y^0)[\varphi (x),\varphi (y)]\end{array}$$
が成立します。すなわち、時間微分を外に出したおつりとして右辺第２項の「(-1)×(時間のデルタ関数)×(交換関係)」が現れます。以上より
$$\begin{array}{r}{\partial }^{x\mu }⟨0|T[A_{\mu }^a(x){\partial }^{y\nu }{A}_{\nu }(y)]|⟩=\delta (x_0-y_0)⟨0|[A_0^a(x),{\partial }^{y\nu }{A}_{\nu }^b(y)]|0⟩\end{array}$$
です。ここで$A_{\mu }^a$の共役運動量${\mathrm{\Pi }}_{\mu }^a$は
$$\begin{array}{r}{\mathrm{\Pi }}_{\mu }^a=-F_{0\mu }^a-\frac{1}{\alpha }{g}_{0\mu }({\partial }^{\nu }{A}_{\nu }^a)\end{array}$$
なので、
$$\begin{array}{r}{\mathrm{\Pi }}_0^a=-\frac{1}{\alpha }{\partial }^{\nu }{A}_{\nu }^a\end{array}$$
これを上の交換関係に入れると、正準交換関係より
$$\begin{array}{r}\frac{i}{\alpha }{\partial }_{\mu }^x⟨0|T(A_{\mu }^a(x){\partial }^{y\nu }{A}_{\nu }^b(y))|0⟩={\delta }_{ab}{\delta }^4(x-y)\end{array}$$
を得ます。左辺の${\partial }^{y\nu }$は微分の中から出して良いので（$\because [A_{\mu }^a(x),A_{\nu }^b(y)]=0$）、
$$\begin{array}{r}\frac{i}{\alpha }{\partial }^{x\mu }{\partial }^{y\nu }⟨0|T(A_{\mu }^a(x)A_{\mu }^b(y))|0⟩={\delta }_{ab}{\delta }^4(x-y)\end{array}$$
以下のFourier変換
$$\begin{array}{r}i⟨0|T(A_{\mu }^a(x)A_{\nu }^b(y))|0⟩=\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}{e}^{-ik\cdot (x-y)}{\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}(k)\end{array}$$
を定義すると上の式は
$$\begin{array}{r}\frac{1}{\alpha }{k}^{\mu }{k}^{\nu }{\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}(k)={\delta }_{ab}\end{array}$$
となります。

ここでgluonのself energy: ${\mathrm{\Pi }}_{\mu \nu }^{ab}(k)$を定義します。これはgluonの2点1PI頂点関数のことです。これとfull gluon propagator ${\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}$との関係は
$$\begin{array}{r}{\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}={\tilde{D}}_{0\mu \nu }^{ab}+{\tilde{D}}_{0\mu \lambda }^{ac}{\mathrm{\Pi }}^{cd,\lambda \rho }{\tilde{D}}_{0\rho \nu }^{cb}+\cdots \end{array}$$
です。ここで${\tilde{D}}_{0\mu \nu }^{ab}={\displaystyle \frac{{\delta }_{ab}}{k^2}}(g_{\mu \nu }-(1-\alpha )k_{\mu }{k}_{\nu }/k^2)$はfree gluon propagatorです。この式は「任意のpropagatorは、1つ線を切っても切れない部分と、1つの線だけでできているfree gluon propagatorの部分に排他的に分けることができる」ことを示しています。上式を${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}{k}^{\mu }{k}^{\nu }{\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}(k)={\delta }_{ab}$に代入すると
$$\begin{array}{r}\frac{1}{\alpha }{k}^{\mu }{k}^{\nu }({\tilde{D}}_{0\mu \nu }^{ab}(k)+{\tilde{D}}_{0\mu \lambda }^{ac}{\mathrm{\Pi }}^{cd,\lambda \rho }{\tilde{D}}_{\lambda \nu }^{db}+\cdots )={\delta }_{ab}\end{array}$$
ですが、$\frac{1}{\alpha }{k}^{\mu }{k}^{\nu }{\tilde{D}}_{0\mu \nu }^{ab}={\delta }_{ab}$なので、カッコの中の第２項以降はゼロです。任意の$\mathrm{\Pi }$でゼロになるから、各項でゼロにならなければなりません。よって
$$\begin{array}{r}{k}^{\mu }{k}^{\nu }\left({\tilde{D}}_{0\mu \lambda }^{ab}{\mathrm{\Pi }}^{cd,\lambda \rho }{\tilde{D}}_{0\rho \nu }^{db}\right)=\frac{1}{(k^2{)}^2}{k}_{\lambda }{k}_{\rho }{\mathrm{\Pi }}^{ab,\lambda \rho }=0\end{array}$$
すなわち
$$\begin{array}{r}{k}_{\lambda }{k}_{\rho }{\mathrm{\Pi }}^{ab,\lambda \rho }=0\end{array}$$
です。$a,b$の足に関しては、globalなゲージ変換によるactionの不変性より${\delta }_{ab}$に比例し（カラー荷の保存と呼ばれたりします）、また$k_{\lambda }{k}_{\rho }$をかけてゼロになるので
$$\begin{array}{r}(k^{\lambda }{k}^{\rho }-g^{\lambda \rho }{k}^2)\end{array}$$
に比例します。ゆえに一般に
$$\begin{array}{r}{\mathrm{\Pi }}_{\mu \nu }^{ab}={\delta }^{ab}(k_{\mu }{k}_{\nu }-g_{\mu \nu }{k}^2)\mathrm{\Pi }(k^2)\end{array}$$
と書けます。左辺の${\mathrm{\Pi }}_{\mu \nu }^{ab}$を$\hat{\mathrm{\Pi }}$と表記し、$D_0$とのテンソルの足の縮約を省略して書けば
$$\begin{array}{r}{((D_0\hat{\mathrm{\Pi }}{D}_0{)}^n)}_{\mu \nu }^{ab}=(-{)}^n{\delta }_{ab}\frac{1}{k^2}(g_{\mu \nu }-\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2})(\mathrm{\Pi }(k^2){)}^n\end{array}$$
なので、${\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}$を$\mathrm{\Pi }(k^2)$で書くと
$$\begin{array}{rl}{\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}& =\frac{{\delta }_{ab}}{k^2}(g_{\mu \nu }-(1-\alpha )k_{\mu }{k}_{\nu }/k^2)-\frac{{\delta }_{ab}}{k^2}(g_{\mu \nu }-(1-\alpha )k_{\mu }{k}_{\nu }/k^2)\mathrm{\Pi }(k^2)+\frac{{\delta }_{ab}}{k^2}(g_{\mu \nu }-(1-\alpha )k_{\mu }{k}_{\nu }/k^2)\mathrm{\Pi }(k^2{)}^2\cdots \\ & =\frac{{\delta }_{ab}}{k^2}(g_{\mu \nu }-(1-\alpha )k_{\mu }{k}_{\nu }/k^2)(1-\mathrm{\Pi }+{\mathrm{\Pi }}^2-\cdots )+\frac{{\delta }_{ab}}{k^2}\alpha \frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\\ & =\frac{{\delta }_{ab}}{k^2(1+\mathrm{\Pi }(k^2))}(g_{\mu \nu }-\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2})+\frac{{\delta }_{ab}}{k^2}\alpha \frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\end{array}$$
となります。
　
これはすなわち
gluonのpropagatorにおいてくりこみにより変更を受けるのは、横波成分のみ
ということです。縦波成分はfreeなものと変わりません。${}_{◼}$

Eq.(1)の$S$に対してBRST対称性を課します。BRST変換を施し、$\omega$の1次をとってきます。$F_0^{a\mu \nu }:={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a$とすると、以下のように変形できます：

$$\begin{array}{rl}\delta S\simeq \int d^{4}x& [\frac{Z_3}{2}(\delta F_0^{a\mu \nu })F_{\mu \nu 0}^a\\ & +\frac{e}{2}{Z}_1{f}^{abc}\{(\delta F_0^{a\mu \nu })A^{b\mu }{A}^{c\nu }+2F_{\mu \nu 0}^a(\delta A^{b\mu })A^{c\nu }\}\\ & +\frac{1}{2}{e}^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}\{(\delta A^{b\mu })A^{c\nu }{A}_{\mu }^m{A}_{\nu }^n+A^{b\mu }{A}^{c\nu }(\delta A_{\mu }^m)A_{\nu }^n\}\\ & +{\tilde{Z}}_3(\delta {\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a){\partial }^{\mu }{c}^a+{\tilde{Z}}_3({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)(\delta {\partial }^{\mu }{c}^a)\\ & +e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}(\delta {\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{b\mu }{c}^c+e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a(\delta A^{b\mu })c^c+e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a{A}^{b\mu }(\delta c^c)\\ & +\lambda (\delta {\partial }_{\mu }{A}^{a\mu }){\partial }_{\nu }{A}^{a\nu }]\\ =\int d^{4}x\omega & [a{Z}_3{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^b)c^c{F}_0^{a\mu \nu }+a{Z}_3{f}^{abc}{A}_{\nu }^b({\partial }_{\mu }{c}^c)F_0^{a\mu \nu }\\ & +ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^m)c^n{A}^{b\mu }{A}^{c\nu }+ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{amn}{A}_{\nu }^m({\partial }_{\mu }{c}^n)A^{b\mu }{A}^{c\nu }\\ & +e{Z}_1{f}^{abc}{F}_{\mu \nu 0}^a({\partial }^{\mu }{c}^b)A^{c\nu }+ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{bmn}{A}^{m\mu }{c}^n{A}^{c\nu }{F}_{\mu \nu 0}^a\\ & +e^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}({\partial }^{\mu }{c}^b)A^{c\nu }{A}_{\mu }^m{A}_{\nu }^n\\ & +\frac{1}{2}{e}^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}(e{f}^{bde}{A}_{\mu }^d{c}^e{A}_{\nu }^c{A}^{m\mu }{A}^{n\nu }+e{f}^{mde}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c{A}^{d\mu }{c}^e{A}^{n\nu })\\ & +{\tilde{Z}}_3(\gamma {\partial }_{\mu }(\partial \cdot A^a)){\partial }^{\mu }{c}^a-{\tilde{Z}}_3({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a){\partial }^{\mu }(-\frac{b}{2}{f}^{abc}{c}^b{c}^c)\\ & +e\gamma {\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{\partial }_{\mu }(\partial \cdot A^a)A^{b\mu }{c}^c-e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a){\partial }^{\mu }{c}^b+a{f}^{bmn}{A}^{\mu m}{c}^n)c^c\\ & -e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{b\mu }(-\frac{b}{2}{f}^{cmn}{c}^m{c}^n)\\ & +\lambda {\partial }_{\mu }({\partial }^{\mu }{c}^a+a{f}^{abc}{A}^{b\mu }{c}^c)({\partial }_{\nu }{A}^{a\nu })]\end{array}$$
上記を、field strength part $\delta S_{FF}$とghost+gauge fixing part $\delta S_{GS+GF}$にわけ、以下の量を定義します：
$$\begin{array}{rl}\delta S_{FF}:=\int d^{4}x\omega & [a{Z}_3{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^b)c^c{F}_0^{a\mu \nu }+a{Z}_3{f}^{abc}{A}_{\nu }^b({\partial }_{\mu }{c}^c)F_0^{a\mu \nu }\\ & +ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^m)c^n{A}^{b\mu }{A}^{c\nu }+ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{amn}{A}_{\nu }^m({\partial }_{\mu }{c}^n)A^{b\mu }{A}^{c\nu }\\ & +e{Z}_1{f}^{abc}{F}_{\mu \nu 0}^a({\partial }^{\mu }{c}^b)A^{c\nu }+ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{bmn}{A}^{m\mu }{c}^n{A}^{c\nu }{F}_{\mu \nu 0}^a\\ & +e^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}({\partial }^{\mu }{c}^b)A^{c\nu }{A}_{\mu }^m{A}_{\nu }^n\\ & +\frac{1}{2}{e}^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}(e{f}^{bde}{A}_{\mu }^d{c}^e{A}_{\nu }^c{A}^{m\mu }{A}^{n\nu }+e{f}^{mde}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c{A}^{d\mu }{c}^e{A}^{n\nu })],\\ \\ \delta S_{GS+GF}:=\int d^{4}x\omega & [{\tilde{Z}}_3(\gamma {\partial }_{\mu }(\partial \cdot A^a)){\partial }^{\mu }{c}^a-{\tilde{Z}}_3({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a){\partial }^{\mu }(-\frac{b}{2}{f}^{abc}{c}^b{c}^c)\\ & +e\gamma {\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{\partial }_{\mu }(\partial \cdot A^a)A^{b\mu }{c}^c-e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)({\partial }^{\mu }{c}^b+a{f}^{bmn}{A}^{\mu m}{c}^n)c^c\\ & -e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{b\mu }(-\frac{b}{2}{f}^{cmn}{c}^m{c}^n)\\ & +\lambda {\partial }_{\mu }({\partial }^{\mu }{c}^a+a{f}^{abc}{A}^{b\mu }{c}^c)({\partial }_{\nu }{A}^{a\nu })]\end{array}$$

$\delta S_{FF}$の計算

各項に名前をつけておきます：
$$\begin{array}{rl}\delta S_{FF}=\int d^{4}x\omega [& \underset{(O)}{\underset{―}{a{Z}_3{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^b)c^c{F}_0^{a\mu \nu }}}+\underset{(A)}{\underset{―}{a{Z}_3{f}^{abc}{A}_{\nu }^b({\partial }_{\mu }{c}^c)F_0^{a\mu \nu }}}\\ & +\underset{(B)}{\underset{―}{ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^m)c^n{A}^{b\mu }{A}^{c\nu }}}+\underset{(C)}{\underset{―}{ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{amn}{A}_{\nu }^m({\partial }_{\mu }{c}^n)A^{b\mu }{A}^{c\nu }}}\\ & +\underset{(A)}{\underset{―}{e{Z}_1{f}^{abc}{F}_{\mu \nu 0}^a({\partial }^{\mu }{c}^b)A^{c\nu }}}+\underset{(B)}{\underset{―}{ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{bmn}{A}^{m\mu }{c}^n{A}^{c\nu }{F}_{\mu \nu 0}^a}}\\ & +\underset{(C)}{\underset{―}{e^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}({\partial }^{\mu }{c}^b)A^{c\nu }{A}_{\mu }^m{A}_{\nu }^n}}\\ & +\underset{(D)}{\underset{―}{\frac{1}{2}{e}^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}(e{f}^{bde}{A}_{\mu }^d{c}^e{A}_{\nu }^c{A}^{m\mu }{A}^{n\nu }+e{f}^{mde}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c{A}^{d\mu }{c}^e{A}^{n\nu }})}]\end{array}$$

各項を計算していきます。

1. $(O)$はゼロ：
   $$\begin{array}{rl}a{Z}_3{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^b)c^c{F}_0^{a\mu \nu }& =a{Z}_3{f}^{abc}\left(\frac{{\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^b-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^b}{2}\right)c^c{F}_0^{a\mu \nu }\\ & =a{Z}_3{f}^{abc}{c}^c{F}_{\mu \nu 0}^a{F}_0^{b\mu \nu }\\ & =0\end{array}$$

2. $(D)$はゼロ：
   $$\begin{array}{r}\frac{1}{2}{e}^2{Z}_4{f}^{abc}{f}^{amn}(e{f}^{bde}{A}_{\mu }^d{c}^e{A}_{\nu }^c{A}^{m\mu }{A}^{n\nu }+e{f}^{mde}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c{A}^{d\mu }{c}^e{A}^{n\nu })=0\end{array}$$
   [計算]
   ・初項をJacobi恒等式を使って書き換える：
   $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{e}^3{Z}_4{c}^e{f}^{abc}(f^{amn}{A}^{m\mu }{A}^{n\nu })(f^{bde}{A}_{\mu }^d{A}_{\nu }^c)& =\frac{1}{2}{e}^3{Z}_4{c}^e(f^{abe}{f}^{bdc}-f^{adb}{f}^{ebc})(f^{amn}{A}^{m\mu }{A}^{n\nu })(A_{\mu }^d{A}_{\nu }^c)\\ & =-\frac{1}{2}{e}^3{Z}_4{c}^e{\theta }^e{f}^{adb}{f}^{ebc}(f^{amn}{A}^{m\mu }{A}^{n\nu })(A_{\mu }^d{A}_{\nu }^c)\end{array}$$
   ・第2項：
   $$\begin{array}{r}\frac{1}{2}{e}^3{Z}_4{c}^e{f}^{amn}(f^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c)(f^{mde}{A}^{d\mu }{A}^{n\nu })\end{array}$$
   ダミー変数を入れ替え変形する：
   $$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{2}{e}^3{Z}_4{c}^e{f}^{abd}{f}^{bce}(f^{amn}{A}_{\mu }^m{A}_{\nu }^n)(A^{c\nu }{A}^{d\nu })\\ & =-\frac{1}{2}{e}^3{Z}_4{c}^e{f}^{abd}{f}^{bce}(f^{amn}{A}_{\nu }^m{A}_{\mu }^n)(A^{c\mu }{A}^{d\nu })\\ & =\frac{1}{2}{e}^3{Z}_4{c}^e{f}^{adb}{f}^{ebc}(f^{amn}{A}_{\mu }^m{A}_{\nu }^n)(A^{d\mu }{A}^{c\nu })\end{array}$$
   よって(D)はゼロ

3. (A)に関して：
   $$\begin{array}{r}a{Z}_3{f}^{abc}{A}_{\nu }^b({\partial }_{\mu }{c}^c)F_0^{a\mu \nu }+e{Z}_1{f}^{abc}{A}_{\nu }^c({\partial }_{\mu }{c}^b)F_0^{a\mu \nu }=(a{Z}_3-e{Z}_1)f^{abc}{A}_{\nu }^b({\partial }_{\mu }{c}^c)F^{a\mu \nu }\end{array}$$

4. (B)はゼロ：
   $$\begin{array}{r}ae{Z}_1(f^{abc}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^m)c^n{A}^{b\mu }{A}^{c\nu }+f^{abc}{f}^{bmn}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a)c^n{A}^{m\mu }{A}^{c\nu })\\ =ae{Z}_1(f^{abc}{f}^{amn}+f^{amc}{f}^{anb}-f^{amb}{f}^{anc})({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^m)c^n{A}^{b\mu }{A}^{c\nu }\end{array}$$
   Jacobi id.より$=0$。

5. (C)に関して：
   $$\begin{array}{r}ae{Z}_1{f}^{abc}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{c}^n)A_{\nu }^m{A}^{b\mu }{A}^{c\nu }+e^2{Z}_4{f}^{abe}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{c}^b)A_{\nu }^e{A}^{m\mu }{A}^{n\nu }\\ =(e^2{Z}_4-ae{Z}_1)f^{abc}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{c}^b)A_{\nu }^c{A}^{m\mu }{A}^{n\nu }\end{array}$$

以上より
$$\begin{array}{r}\delta S_{FF}=(a{Z}_3-e{Z}_1)f^{abc}{A}_{\nu }^b({\partial }_{\mu }{c}^c)F_0^{a\mu \nu }+(e^2{Z}_4-ae{Z}_1)f^{abc}{f}^{amn}({\partial }_{\mu }{c}^b)A_{\nu }^c{A}^{m\mu }{A}^{n\nu }\end{array}$$

${\delta }_B{S}_{GS+GF}$の計算

まず部分積分等により変形しておきます：
$$\begin{array}{rl}\delta S_{GS+GF}& :=\int d^{4}x\omega [{\tilde{Z}}_3(\gamma {\partial }_{\mu }(\partial \cdot A^a)){\partial }^{\mu }{c}^a-{\tilde{Z}}_3({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a){\partial }^{\mu }(-\frac{b}{2}{f}^{abc}{c}^b{c}^c)\\ & +e\gamma {\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{\partial }_{\mu }(\partial \cdot A^a)A^{b\mu }{c}^c-e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)({\partial }^{\mu }{c}^b+a{f}^{bmn}{A}^{\mu m}{c}^n)c^c\\ & -e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{b\mu }(-\frac{b}{2}{f}^{cmn}{c}^m{c}^n)\\ & +\lambda {\partial }_{\mu }({\partial }^{\mu }{c}^a+a{f}^{abc}{A}^{b\mu }{c}^c)({\partial }_{\nu }{A}^{a\nu })]\\ & =\int d^{4}x\omega [\underset{(E)}{\underset{―}{-{\tilde{Z}}_3(\gamma (\partial \cdot A^a)){\partial }^2{c}^a}}\\ & +\underset{(F)}{\underset{―}{b{f}^{abc}{\tilde{Z}}_3({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)({\partial }^{\mu }{c}^b)c^c}}\\ & -\underset{(G)}{\underset{―}{e\gamma {\tilde{Z}}_1{f}^{abc}(\partial \cdot A^a)((\partial \cdot A^b)c^c+A^{b\mu }({\partial }_{\mu }{c}^c))}}\\ & -e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)(\underset{(F)}{\underset{―}{{\partial }^{\mu }{c}^b}}+\underset{(I)}{\underset{―}{a{f}^{bmn}{A}^{m\mu }{c}^n}})c^c\\ & -\underset{(I)}{\underset{―}{e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{b\mu }(-\frac{b}{2}{f}^{cmn}{c}^m{c}^n)}}\\ & +\lambda \{\underset{(E)}{\underset{―}{{\partial }^2{c}^a}}+\underset{(G)}{\underset{―}{a{f}^{abc}((\partial \cdot A^b)c^c+A^{b\mu }({\partial }_{\mu }{c}^c))}}\}({\partial }_{\nu }{A}^{a\nu })]\end{array}$$
同じ記号の項をまとめると以下を得ます：
$$\begin{array}{rl}=& (-\gamma {\tilde{Z}}_3+\lambda )(\partial \cdot A^a)({\partial }^2{c}^a)\\ & +(a\lambda -\gamma e{\tilde{Z}}_1)(\partial \cdot A^a)((\partial \cdot A^b)c^c+A^{b\mu }({\partial }_{\mu }{c}^c))\\ & -(e{\tilde{Z}}_1-b{\tilde{Z}}_3)f^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)({\partial }^{\mu }{c}^b)c^c\\ & -ae{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{f}^{bmn}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{m\mu }{c}^n{c}^c+\frac{b}{2}e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{f}^{cmn}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{b\mu }{c}^m{c}^n\end{array}$$
ここで最後の2項をJacobi id.とghostの反可換性を使って変形し、まとめると
$$\begin{array}{r}-ae{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{f}^{bmn}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{m\mu }{c}^n{c}^c+\frac{b}{2}e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{f}^{cmn}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{b\mu }{c}^m{c}^n\\ =(b-a)e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{f}^{bmn}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{m\mu }{c}^n{c}^c\end{array}$$
となります。最終的に
$$\begin{array}{rl}\delta S_{GS+GF}& =(-\gamma {\tilde{Z}}_3+\lambda )(\partial \cdot A^a)({\partial }^2{c}^a)\\ & +(a\lambda -\gamma e{\tilde{Z}}_1)(\partial \cdot A^a)((\partial \cdot A^b)c^c+A^{b\mu }({\partial }_{\mu }{c}^c))\\ & -(e{\tilde{Z}}_1-b{\tilde{Z}}_3)f^{abc}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)({\partial }^{\mu }{c}^b)c^c\\ & +(b-a)e{\tilde{Z}}_1{f}^{abc}{f}^{bmn}({\partial }_{\mu }{\overline{c}}^a)A^{m\mu }{c}^n{c}^c\end{array}$$
を得ます。${}_{◼}$