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大学数学基礎解説
文献あり

ゲージ対称性とは何か(14): Ward-Takahashi恒等式とBRST対称性

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まえおき

★ 本記事は ゲージ対称性とは何か(13): BRST対称性・BRST量子化 の続きです。

修正履歴
  • 16Oct.2022: 「ゲージ結合定数のuniversality」において、「公式1について、いくつかremarkです:」の下にある箇条書きの文章を修正しました

Ward-Takahashi恒等式 (WT id.)

Ward-Takahashi恒等式とは、対称性から導かれる相関関数の間の関係式です。

いま、ある変換の生成子$\hat Q$があり、これは系の対称性であるとします($\hat {}$は演算子を表す)。一般に、ある演算子$\hat{\cal O}$$\hat Q$による変化は
$$ [i\hat Q,\hat{\cal O}]=\delta {\hat {\cal O}} $$
となります。ここで$\hat {\cal O}$が時空点$x_1,x_2,\ldots,x_n$に依存する場合:$\hat {\cal O}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$を考えます。これの$T$積をとったもの$T\hat {\cal O}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$に対して変換を施し、さらに系の真空状態$\langle 0\textbar, |0\rangle$ではさみます。$\hat Q$は系の対称性変換なので、真空は(対称性が自発的に破れなければ)この変換に対して不変です。よって$\hat Q|0\rangle=0$より
$$ \langle 0|[i\hat Q,T\hat{\cal O}(x_1,x_2,\ldots,x_n)]|0\rangle =\langle 0|T\delta {\hat {\cal O}}(x_1,x_2,\ldots,x_n) |0\rangle =0 $$
が成立します。この恒等式がWard-Takahashi恒等式(WT id.)です。

同様の式は、経路積分からも導けます。
$f(\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n))$を、特定の時空点$x_1,x_2,\ldots,x_n$における古典場$\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n)$に依存する関数とします。古典場の期待値を$\langle \cdot \rangle:=\int {\cal D}\phi \cdot e^{iS}$で定義すると、$f$の期待値は
$$ \langle f(\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n))\rangle = \int {\cal D}\phi \ f(\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n))e^{iS} $$
と書けます。
さて、経路積分は場の変数のとりかえ$\phi\to\phi'$に対し不変です:
$$ \int {\cal D}\phi \ f(\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n))e^{iS}=\int {\cal D}\phi' \ f'(\phi'(x_1),\phi'(x_2),\ldots,\phi'(x_n))e^{iS'} $$
$\phi\to\phi'$$S$および積分測度${\cal D}\phi$を不変にする変換とします。このとき
$$ \int {\cal D}\phi \ \left[f'(\phi'(x_1),\phi'(x_2),\ldots,\phi'(x_n))-f(\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n))\right]e^{iS}=0 \leftrightarrow \int {\cal D}\phi \ \delta f(\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n))e^{iS}=0 $$
です。以上より
$$ \langle \delta f(\phi(x_1),\phi(x_2),\ldots,\phi(x_n))\rangle=0 $$
が成立します。

Slavnov-Taylor恒等式 ーYang-Mills理論におけるBRST対称性に関するWT id.ー

Yang-Mills理論(YM理論)のLagrangianは以下です:
\begin{align} {\cal L}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{\mu\nu a}+B^a\partial^\mu A_\mu^a+\frac{1}{2}\alpha B^aB^a+i\bar c^a\partial^\mu D_\mu c^a \end{align}
(詳しくは例えば ゲージ対称性とは何か(13): BRST対称性・BRST量子化 のtotal Lagrangianが書かれている辺りをご参照ください)

YM理論はBRST変換に対して不変です。古典的なacitonがこれに対して不変なのは、BRST変換が、ゲージパラメータ$\theta^a$をghost場$c^a$に置き換えたものなので当然です。また$FF$以外の部分は、$\delta_B(\cdots)$のように、BRST変換の"完全形式"なので(このような微分形式とBRST変換との対応をBRST cohomologyと呼びます)、BRST変換での不変性はやはりあきらかです。ゲージ対称性はゲージ固定項により破れますが、BRST対称性は量子論でも成立しており、くりこみにより破れることもないのは大切です(対称性の自発的破れが起きない限り)。

以上からYM理論の真空はBRST変換で不変です:$Q_B|0\rangle=0$ 。$Q_B$はghost数を変える変換なので、真空はghost数を保存します。
すると、以下の真空期待値はゼロです:
$$ \langle 0|T\{iQ_B,\hat {\cal O}(x_1,x_2,\ldots,x_n)\}|0\rangle=0 \leftrightarrow \langle 0|T(\delta_B \hat {\cal O}(x_1,x_2,\ldots,x_n))|0\rangle=0 $$
$\hat {\cal O}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$を変えることで、さまざまな関係式を得ることができます。
これらをSlavnov-Taylor恒等式と呼びます。

BRST不変性から言えること

以下に2つ、BRST不変性から言える重要な帰結を示します。

  • ゲージ場の縦波成分は摂動論においてくりこみの効果を受けない
  • ゲージ結合定数の普遍性(universality)

以下の議論はRef.[1-3]に基づいています。

ゲージ場の縦波成分は摂動論においてくりこみの効果を受けない

次の事実を示します:

gluonのpropagator${\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}(k)$は任意の摂動の次数で以下の形に書ける:
$$ {\tilde D}^{ab}_{\mu\nu} =\frac{\delta_{ab}}{k^2(1+\Pi(k^2))} \left(g_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\right) +\frac{\delta_{ab}}{k^2}\alpha\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} $$
ここですべての量はくりこまれた量とする。$\alpha$はゲージパラメータ。$\Pi(k^2)$はgluon self energy $\Pi^{ab}_{\mu\nu}(k)$(=gluonの2点1PI頂点関数)と
$$ \Pi^{ab}_{\mu\nu}=\delta_{ab}(g_{\mu\nu}k^2-k_\mu k_\nu)\Pi(k^2) $$
で結びつく量である。

gluonとはYang-Mills理論のゲージ場のことです(ふつうSU(3)のゲージ場のことを指しますが、ここでは一般にSU(N)のゲージ場をgluonと呼びます)。また1PIとはone particle irreducible(一粒子既約)の略で、ファインマン・ダイアグラムの1本を切っても全体が繋がっているようなダイアグラムを指します。

定理1はつまり、gluonのpropagatorは、$k^\mu$を作用させてゼロになる部分のみがくりこみの変更を受け($\Pi(k^2)$の部分が変更を受ける)、ゲージパラメータに依存する部分は変更を受けないということを主張します。

以下これを証明します。

まず場のBRST変換性を示しておきます:
\begin{align} \begin{cases} \delta A_\mu^a=\omega(\partial_\mu c^a+gf_{abc}A_\mu^b c^c)=D^a_{\mu c}c^c,\\ \delta c^a =-\omega(\frac{1}{2}gf_{abc}c^bc^c),\\ \delta\bar c^a=i\omega B^a,\\ \delta B^a=0 \end{cases} \end{align}
ここで$\omega$はGrassmannの微小パラメータです。 

以下、場やパラメータはすべてくりこまれた量であるとします。

次のWT id.から始めます:
\begin{align} \delta\langle 0|T[\partial^\mu \hat A_\mu^a(x)\hat {\bar c}^b(y)]|0\rangle =0 \end{align}
以下、場が演算子であることを表す$\hat {}$を省略します。

ghost場$c^a$に関する運動方程式は
\begin{align} \partial^\mu\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial^\mu {\bar c}^a)}\right) -\frac{\partial {\cal L}}{\partial {\bar c}^a}=i{\tilde Z}_3\partial^2 c^a-i{\tilde Z_1}gf^{abc} \partial^\mu(c^bA_\mu^c)=0 \end{align}
なので、$\delta(\partial^\mu A_\mu^a)=\omega [{\tilde Z}_3\partial^2 c^a-{\tilde Z_1}gf^{abc} \partial^\mu(c^bA_\mu^c)]=0$です。ゆえに上式は
\begin{align} \delta\langle 0|T[\partial^\mu A_\mu^a(x)\bar c^b(y)]|0\rangle =0 \leftrightarrow \langle 0|T[\partial^\mu A_\mu^a(x) \delta \bar c^b(y)]|0\rangle =0 \end{align}
となります。$B^a$に関する運動方程式から$\delta \bar c^a=i\omega B^a=\omega\frac{i}{\alpha}\partial^\mu A_\mu^a$なので
\begin{align} \langle 0| T[\partial^\mu A^a_\mu(x)\partial^\nu A^b_\nu(y)]|0\rangle=0 \end{align}
です。

次に$\partial^\mu A^a_\mu(x)$の微分を期待値の外に出します。
ここでboson場$\phi$に対し、$T$積の定義は
\begin{align} \langle 0| T\phi(x)\phi(y)|0\rangle:= \theta(x^0-y^0)\langle 0| \phi(x)\phi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle 0| \phi(y)\phi(x)|0\rangle \end{align}
です。これに$x$に関する時間微分$\partial^x_0$が作用すると
\begin{align} \partial^x_0 \langle 0| T\phi(x)\phi(y)|0\rangle= \delta(x^0-y^0)(\langle 0| \phi(x)\phi(y)|0\rangle-\langle 0| \phi(y)\phi(x)|0\rangle) +\langle 0| T\partial^x_0 \phi(x)\phi(y)|0\rangle\\ =\delta(x^0-y^0)[\phi(x),\phi(y)]+\langle 0| T\partial^x_0 \phi(x)\phi(y)|0\rangle \end{align}
となります。よって
\begin{align} \langle 0| T\partial^x_0 \phi(x)\phi(y)|0\rangle=\partial^x_0 \langle 0| T\phi(x)\phi(y)|0\rangle -\delta(x^0-y^0)[\phi(x),\phi(y)] \end{align}
が成立します。すなわち、時間微分を外に出したおつりとして右辺第2項の「(-1)×(時間のデルタ関数)×(交換関係)」が現れます。以上より
\begin{align} \partial^{x\mu}\langle 0|T[A^a_\mu(x)\partial^{y\nu} A_\nu(y)]|\rangle =\delta(x_0-y_0)\langle 0|[A^a_0(x),\partial^{y\nu}A_\nu^b(y)]|0\rangle \end{align}
です。ここで$A_\mu^a$の共役運動量$\Pi^a_\mu$
\begin{align} \Pi^a_\mu=-F^a_{0\mu}-\frac{1}{\alpha}g_{0\mu}(\partial^\nu A_\nu^a) \end{align}
なので、
\begin{align} \Pi^a_0=-\frac{1}{\alpha}\partial^\nu A_\nu^a \end{align}
これを上の交換関係に入れると、正準交換関係より
\begin{align} \frac{i}{\alpha}\partial_\mu^x\langle 0|T(A^a_\mu(x)\partial^{y\nu} A_\nu^b(y))|0\rangle = \delta_{ab}\delta^4(x-y) \end{align}
を得ます。左辺の$\partial^{y\nu}$は微分の中から出して良いので($\because \ [A^a_\mu(x),A^b_\nu(y)]=0$)、
\begin{align} \frac{i}{\alpha}\partial^{x\mu}\partial^{y\nu} \langle0|T(A^a_\mu(x)A^b_\mu(y))|0\rangle=\delta_{ab}\delta^4(x-y) \end{align}
以下のFourier変換
\begin{align} i\langle 0|T(A_\mu^a(x)A_\nu^b(y))|0\rangle =\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-ik\cdot(x-y)}{\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}(k) \end{align}
を定義すると上の式は
\begin{align} \frac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu {\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}(k)=\delta_{ab} \end{align}
となります。

ここでgluonのself energy: $\Pi^{ab}_{\mu\nu}(k)$を定義します。これはgluonの2点1PI頂点関数のことです。これとfull gluon propagator $\tilde D^{ab}_{\mu\nu}$との関係は
\begin{align} {\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}= {\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu} +{\tilde D}^{ac}_{0\mu\lambda}\Pi^{cd,\lambda\rho}{\tilde D}^{cb}_{0\rho\nu}+\cdots \end{align}
です。ここで${\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu}=\dfrac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)$はfree gluon propagatorです。この式は「任意のpropagatorは、1つ線を切っても切れない部分と、1つの線だけでできているfree gluon propagatorの部分に排他的に分けることができる」ことを示しています。上式を$\dfrac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu{\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}(k)=\delta_{ab}$に代入すると
\begin{align} \frac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu \left( {\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu}(k) +{\tilde D}^{ac}_{0\mu\lambda}\Pi^{cd,\lambda\rho}{\tilde D}^{db}_{\lambda\nu}+\cdots \right)=\delta_{ab} \end{align}
ですが、$\frac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu {\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu}=\delta_{ab}$なので、カッコの中の第2項以降はゼロです。任意の$\Pi$でゼロになるから、各項でゼロにならなければなりません。よって
\begin{align} k^\mu k^\nu\left({\tilde D}^{ab}_{0\mu\lambda}\Pi^{cd,\lambda\rho}{\tilde D}^{db}_{0\rho\nu}\right) =\frac{1}{(k^2)^2}k_\lambda k_\rho \Pi^{ab,\lambda\rho}=0 \end{align}
すなわち
\begin{align} k_\lambda k_\rho \Pi^{ab,\lambda\rho}=0 \end{align}
です。$a,b$の足に関しては、globalなゲージ変換によるactionの不変性より$\delta_{ab}$に比例し(カラー荷の保存と呼ばれたりします)、また$k_\lambda k_\rho$をかけてゼロになるので
\begin{align} (k^\lambda k^\rho-g^{\lambda \rho}k^2) \end{align}
に比例します。ゆえに一般に
\begin{align} \Pi^{ab}_{\mu\nu}=\delta^{ab}(k_\mu k_\nu-g_{\mu \nu}k^2)\Pi(k^2) \end{align}
と書けます。左辺の$\Pi^{ab}_{\mu\nu}$$\hat \Pi$と表記し、$D_0$とのテンソルの足の縮約を省略して書けば
\begin{align} \left((D_0{\hat\Pi} D_0)^n\right)^{ab}_{\mu\nu} =(-)^n\delta_{ab}\frac{1}{k^2} \left( g_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \right) (\Pi(k^2))^n \end{align}
なので、${\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}$$\Pi(k^2)$で書くと
\begin{align} {\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}&=\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2) -\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)\Pi(k^2) +\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)\Pi(k^2)^2 \cdots\\ &=\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)(1-\Pi+\Pi^2-\cdots) +\frac{\delta_{ab}}{k^2}\alpha\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \\ &=\frac{\delta_{ab}}{k^2(1+\Pi(k^2))} \left(g_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\right) +\frac{\delta_{ab}}{k^2}\alpha\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \end{align}
となります。
 
これはすなわち
gluonのpropagatorにおいてくりこみにより変更を受けるのは、横波成分のみ
ということです。縦波成分はfreeなものと変わりません。${}_\blacksquare$

ゲージ結合定数のuniversality

次に、以下の事実を証明します。

gluonの3点相互作用項、gluonの4点相互作用項、ghostとgluonの相互作用項、quarkとgluonとの相互作用項の結合定数のくりこみ定数は任意の摂動の次数で等しい。

古典的な場合、上記の相互作用項の結合定数の値はすべて等しいです。これはゲージ不変性によります。一方量子化を行うとゲージ固定をしなければならず、ゲージ不変性は破れます。量子効果を取り込むと、それぞれの項のoperatorは違うので、一般的にはこれら結合定数は違うくりこみを受け、それぞれ値がずれても良い気がします。しかし、ゲージ固定の後でも存在するBRST対称性により、量子効果を取り入れてもそれぞれの項の結合定数が等しいことが示せます。

まず以下を示します:

QCD actionのくりこみ定数を、以下のように設定する:
\begin{align} S=\int d^4x \bigg[ \frac{Z_3}{4}(\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a)(\partial^\mu A^{a\nu}-\partial^\nu A^{a\mu})\\ +\frac{e}{2}Z_1f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a)A^{b\mu}A^{c\nu}\\ +e^2\frac{Z_4}{4}f^{abc}f^{amn}A^{b\mu}A^{c\nu}A^{m}_\mu A^{n}_\nu\\ +\tilde Z_3\partial_\mu\bar c^a\partial^\mu c^a\\ +e\tilde Z_1f^{abc}\partial_\mu\bar c^aA^{b\mu}c^c\\ +\frac{\lambda}{2}(\partial\cdot A^a)^2 \bigg] \tag{1} \end{align}
またBRST変換を以下のように設定する:
\begin{align} \delta_B A_\mu^a&=\omega (\partial_\mu c^a+af^{abc}A_\mu^b c^c),\\ \delta_B c^a&=\omega\big(-\frac{b}{2}f^{abc}c^bc^c\big),\\ \delta_B \bar c^a&=\omega\gamma\partial\cdot A^a \end{align}
ここで$\omega$はGrassman oddの定数パラメータであり、ghost・anti-ghost場と反可換。$a, b, \gamma$は定数。

このとき、BRST変換によるEq.(1)の変化は以下:

  • \begin{align} \delta S_{FF}=\int d^4 x \ \omega \left[ (aZ_3-eZ_1)f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F^{a\mu\nu}_0+(e^2Z_4-aeZ_1)f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} \right] \end{align}

  • \begin{align} \delta S_{GS+GF}&=\int d^4 x \ \omega \bigg[ (-\gamma{\tilde Z}_3+\lambda)(\partial\cdot A^a)(\partial^2c^a) \\ &+(a\lambda-\gamma e{\tilde Z}_1)(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c)) \\ &-(e{\tilde Z}_1-b{\tilde Z}_3)f^{abc}(\partial_\mu {\bar c}^a)(\partial^\mu c^b)c^c \\ &+(b-a)e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c \bigg] \end{align}

公式1について、いくつかremarkです:

  • Eq.(1)ではゲージ固定として$\partial\cdot A^a=0$を採用し、またゲージパラメータを$\alpha=1$としています。
  • 通常、場・coupling・mass等のくりこみ定数をそれぞれ設定しますが、Eq.(1)ではそれらをまとめ、各項に1つのくりこみ定数を設定しています。ここでくりこみ定数は、$S$に含まれる$Z$らを1とおいた作用を$S_c$とし、$S=S_c+(S-S_c)$の形に変形しておいて、$S_c$でダイアグラムを計算したときに生じる無限大が$S-S_c$によって打ち消される条件で決定されます。
  • BRST変換に含まれる$a, b, \gamma$は定数です。$a, b$は最終的には$a=b$となります。そして$a(=b)$が結合定数となります。ここではそれらをアプリオリにせず、actionのBRST不変性を課すことにより決定します。

以下公式1を示します。

Eq.(1)の$S$に対してBRST対称性を課します。BRST変換を施し、$\omega$の1次をとってきます。$F_0^{a\mu\nu}:=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a$とすると、以下のように変形できます:

\begin{align} \delta S\simeq \int d^4x &\bigg[\frac{Z_3}{2} (\delta F^{a\mu\nu}_0) F^a_{\mu\nu 0} \\ &+\frac{e}{2}Z_1f^{abc} \left\{ (\delta F^{a\mu\nu}_0) A^{b\mu}A^{c\nu} +2F^a_{\mu\nu 0} (\delta A^{b\mu}) A^{c\nu} \right\} \\ &+\frac{1}{2}e^2 Z_4f^{abc}f^{amn} \left\{ (\delta A^{b\mu})A^{c\nu}A^{m}_\mu A^{n}_\nu +A^{b\mu}A^{c\nu}(\delta A^m_{\mu})A^n_{\nu} \right\} \\ &+{\tilde Z_3}(\delta \partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu c^a +{\tilde Z_3}(\partial_\mu \bar c^a)(\delta \partial^\mu c^a) \\ &+e{\tilde Z_1}f^{abc}(\delta \partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}c^c +e{\tilde Z_1}f^{abc}\partial_\mu \bar c^a (\delta A^{b\mu})c^c +e{\tilde Z_1}f^{abc}\partial_\mu {\bar c}^aA^{b\mu}(\delta c^c) \\ &+\lambda (\delta \partial_\mu A^{a\mu})\partial_\nu A^{a\nu} \bigg] \\ =\int d^4 x \ \omega &\bigg[ aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu} +aZ_3f^{abc}A_\nu^b(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu} \\ &+aeZ_1f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{amn}A_\nu^m (\partial_\mu c^n) A^{b\mu}A^{c\nu} \\ &+eZ_1f^{abc}F^a_{\mu\nu 0}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{bmn}A^{m\mu}c^n A^{c\nu}F^a_{\mu\nu 0} \\ &+e^2Z_4 f^{abc}f^{amn}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}A^m_\mu A^n_\nu \\ &+\frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu}) \\ &+\tilde Z_3(\gamma\partial_\mu (\partial\cdot A^a))\partial^\mu c^a -\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu\left(-\frac{b}{2}f^{abc}c^b c^c\right) \\ &+e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}\partial_\mu(\partial\cdot A^a)A^{b\mu}c^c -e{\tilde Z}_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a) \partial^\mu c^b+af^{bmn}A^{\mu m}c^n)c^c \\ &-e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right) \\ &+\lambda\partial_\mu(\partial^\mu c^a+af^{abc}A^{b\mu}c^c)(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \end{align}
上記を、field strength part $\delta S_{FF}$とghost+gauge fixing part $\delta S_{GS+GF}$にわけ、以下の量を定義します:
\begin{align} \delta S_{FF}:= \int d^4 x \ \omega &\bigg[ aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu} +aZ_3f^{abc}A_\nu^b(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu} \\ &+aeZ_1f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{amn}A_\nu^m (\partial_\mu c^n) A^{b\mu}A^{c\nu} \\ &+eZ_1f^{abc}F^a_{\mu\nu 0}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{bmn}A^{m\mu}c^n A^{c\nu}F^a_{\mu\nu 0} \\ &+e^2Z_4 f^{abc}f^{amn}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}A^m_\mu A^n_\nu \\ &+\frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu}) \bigg], \\ {} {} \\ \delta S_{GS+GF}:=\int d^4x \ \omega &\bigg[ \tilde Z_3(\gamma\partial_\mu (\partial\cdot A^a))\partial^\mu c^a -\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu\left(-\frac{b}{2}f^{abc}c^b c^c\right) \\ &+e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}\partial_\mu(\partial\cdot A^a)A^{b\mu}c^c -e\tilde Z_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a)(\partial^\mu c^b +af^{bmn}A^{\mu m}c^n)c^c \\ &-e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right) \\ &+\lambda\partial_\mu(\partial^\mu c^a+af^{abc}A^{b\mu}c^c)(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \end{align}

$\delta S_{FF}$の計算

各項に名前をつけておきます:
\begin{align} \delta S_{FF}= \int d^4 x \ \omega \bigg[ &\underset{(O)}{\underline{aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu}}} +\underset{(A)}{\underline{aZ_3f^{abc}A_\nu^b(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu}}}\\ &+\underset{(B)}{\underline{aeZ_1f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu}}} +\underset{(C)}{\underline{aeZ_1f^{abc}f^{amn}A_\nu^m (\partial_\mu c^n) A^{b\mu}A^{c\nu}}} \\ &+\underset{(A)}{\underline{eZ_1f^{abc}F^a_{\mu\nu 0}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}}} +\underset{(B)}{\underline{aeZ_1f^{abc}f^{bmn}A^{m\mu}c^n A^{c\nu}F^a_{\mu\nu 0}}} \\ &+\underset{(C)}{\underline{e^2Z_4 f^{abc}f^{amn}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}A^m_\mu A^n_\nu}}\\ &+\underset{(D)}{\underline{\frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu}})} \bigg] \end{align}

各項を計算していきます。

  1. $(O)$はゼロ:
    \begin{align} aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu} &= aZ_3f^{abc} \left(\frac{\partial_\mu A_\nu^b-\partial_\nu A_\mu^b}{2}\right) c^c F_0^{a\mu\nu} \\ &=aZ_3f^{abc}c^cF_{\mu\nu 0}^aF^{b\mu\nu}_0 \\ &=0 \end{align}

  2. $(D)$はゼロ:
    \begin{align} \frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu})=0 \end{align}
    [計算]
    ・初項をJacobi恒等式を使って書き換える:
    \begin{align} \frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{abc}(f^{amn}A^{m\mu}A^{n\nu})(f^{bde}A^d_\mu A^c_\nu) &=\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e (f^{abe}f^{bdc}-f^{adb}f^{ebc}) (f^{amn}A^{m\mu}A^{n\nu}) (A_\mu^d A_\nu^c) \\ &=-\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e\theta^ef^{adb}f^{ebc}(f^{amn}A^{m\mu}A^{n\nu})(A^d_\mu A^c_\nu) \end{align}
    ・第2項:
    \begin{align} \frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{amn}(f^{abc}A^{b}_\mu A^{c}_\nu)(f^{mde}A^{d\mu} A^{n\nu}) \end{align}
    ダミー変数を入れ替え変形する:
    \begin{align} &=\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{abd}f^{bce}(f^{amn}A^m_\mu A^n_\nu)(A^{c\nu}A^{d\nu}) \\ &=-\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{abd}f^{bce}(f^{amn}A^m_\nu A^n_\mu)(A^{c\mu}A^{d\nu}) \\ &=\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{adb}f^{ebc}(f^{amn}A^m_\mu A^n_\nu)(A^{d\mu}A^{c\nu}) \end{align}
    よって(D)はゼロ

  3. (A)に関して:
    \begin{align} aZ_3f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu} +eZ_1f^{abc}A^c_\nu(\partial_\mu c^b)F_0^{a\mu\nu} =(aZ_3-eZ_1)f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F^{a\mu\nu} \end{align}

  4. (B)はゼロ:
    \begin{align} aeZ_1(f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu}+f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A^a_\mu)c^nA^{m\mu}A^{c\nu}) \\ =aeZ_1(f^{abc}f^{amn}+f^{amc}f^{anb}-f^{amb}f^{anc})(\partial_\mu A^m_\nu)c^n A^{b\mu}A^{c\nu} \end{align}
    Jacobi id.より$=0$。

  5. (C)に関して:
    \begin{align} aeZ_1 f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^n)A_\nu^m A^{b\mu} A^{c\nu} +e^2Z_4 f^{abe}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A_\nu^e A^{m\mu} A^{n\nu}\\ =(e^2Z_4-aeZ_1)f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} \end{align}

以上より
\begin{align} \delta S_{FF}=(aZ_3-eZ_1)f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F^{a\mu\nu}_0+(e^2Z_4-aeZ_1)f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} \end{align}

$\delta_B S_{GS+GF}$の計算

まず部分積分等により変形しておきます:
\begin{align} \delta S_{GS+GF}&:=\int d^4x \ \omega \bigg[ \tilde Z_3(\gamma\partial_\mu (\partial\cdot A^a))\partial^\mu c^a -\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu\left(-\frac{b}{2}f^{abc}c^b c^c\right) \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}\partial_\mu(\partial\cdot A^a)A^{b\mu}c^c -e\tilde Z_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a)(\partial^\mu c^b +af^{bmn}A^{\mu m}c^n)c^c \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right) \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +\lambda\partial_\mu(\partial^\mu c^a+af^{abc}A^{b\mu}c^c)(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \\ &=\int d^4x \ \omega \bigg[ \underset{(E)}{\underline{-\tilde Z_3(\gamma(\partial\cdot A^a))\partial^2 c^a}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +\underset{(F)}{\underline{bf^{abc}\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)(\partial^\mu c^b) c^c}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -\underset{(G)}{\underline{e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c))}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -e\tilde Z_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a)(\underset{(F)}{\underline{\partial^\mu c^b}}+\underset{(I)}{\underline{af^{bmn}A^{m\mu}c^n}})c^c \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -\underset{(I)}{\underline{e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right)}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +\lambda\left\{\underset{(E)}{\underline{\partial^2 c^a}}+\underset{(G)}{\underline{af^{abc}((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c))}} \right\}(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \end{align}
同じ記号の項をまとめると以下を得ます:
\begin{align} \quad =& (-\gamma{\tilde Z}_3+\lambda)(\partial\cdot A^a)(\partial^2c^a) \\ &+(a\lambda-\gamma e{\tilde Z}_1)(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c)) \\ &-(e{\tilde Z}_1-b{\tilde Z}_3)f^{abc}(\partial_\mu {\bar c}^a)(\partial^\mu c^b)c^c \\ &-ae{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c +\frac{b}{2}e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{cmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{b\mu}c^m c^n \end{align}
ここで最後の2項をJacobi id.とghostの反可換性を使って変形し、まとめると
\begin{align} \quad -ae{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c +\frac{b}{2}e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{cmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{b\mu}c^m c^n\\ =(b-a)e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c \end{align}
となります。最終的に
\begin{align} \delta S_{GS+GF}&= (-\gamma{\tilde Z}_3+\lambda)(\partial\cdot A^a)(\partial^2c^a) \\ &+(a\lambda-\gamma e{\tilde Z}_1)(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c)) \\ &-(e{\tilde Z}_1-b{\tilde Z}_3)f^{abc}(\partial_\mu {\bar c}^a)(\partial^\mu c^b)c^c \\ &+(b-a)e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c \end{align}
を得ます。${}_\blacksquare$

結果を今一度まとめると

BRST変換によるEq.(1)の変換性:

  • \begin{align} \delta S_{FF}=\int d^4 x \ \omega \left[ (aZ_3-eZ_1)f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F^{a\mu\nu}_0+(e^2Z_4-aeZ_1)f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} \right] \end{align}

  • \begin{align} \delta S_{GS+GF}=\int d^4 x \ \omega &\bigg[ (-\gamma{\tilde Z}_3+\lambda)(\partial\cdot A^a)(\partial^2c^a) \\ &+(a\lambda-\gamma e{\tilde Z}_1)(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c)) \\ &-(e{\tilde Z}_1-b{\tilde Z}_3)f^{abc}(\partial_\mu {\bar c}^a)(\partial^\mu c^b)c^c \\ &+(b-a)e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c \bigg] \end{align}

よって、BRST変換のもとでactionが不変なら
\begin{align} &aZ_3=eZ_1, e^2Z_4=aeZ_1,\\ &\gamma {\tilde Z}_3=\lambda, \ a\lambda=\gamma e{\tilde Z}_1, \ e{\tilde Z}_1=b{\tilde Z}_3, \ a=b \\ & \frac{e}{a}=\frac{Z_3}{Z_1}=\frac{Z_1}{Z_4}=\frac{\tilde Z_3}{\tilde Z_1}=\frac{\lambda}{\gamma \tilde Z_1} \end{align}
です。これらの関係式は、狭い意味でSlavnov-Taylor恒等式と呼ばれることがあります。これらはBRST対称性に基づくWard-Takahashi恒等式(つまりは一般に言うSlavnov-Taylor恒等式)から導くこともできますが、今回はより基本的な方法で導きました。

これらの関係式はgauge couplingのuniversalityを示しています。
本来上記operatorは違うくりこみを受けるので、量子効果でそれぞれのcouplingのくりこみ定数は違っていてもおかしくありません。つまり、量子効果でそれぞれのcouplingはずれうるはずです。
しかし上記の関係式から同じrenormalization constantでくりこめることが示せます。今、gauge coupling $g$のくりこみ定数を、それぞれのoperatorごとに変えます。$A^a_\mu$のくりこみ定数を$\sqrt{Z_3}$$c,\bar c$のくりこみ定数を$\sqrt{\tilde Z_3}$$A$の3乗項の係数の$e$のくりこみ定数を$Z_g$$A$の4乗項の係数の$e$のくりこみ定数を$Z_{g2}$$\partial_\mu\bar c^a A^{b\mu} c^c$の項の係数の$e$のくりこみ定数を$Z_{g3}$とします。Eq.(1)の$Z_1, Z_4, \tilde Z_1$はこれらのくりこみ係数から構成されるとすると
$$ Z_1=Z_g Z_3^{3/2}, Z_4=Z_{g2}^2 Z_3^2, {\tilde Z}_1=Z_{g3} {\tilde Z}_3 Z_3^{1/2} $$
が成立します。ここで上で導いた関係式を使うと
$$ Z_{g3}=Z_g, \ Z_{g2}=Z_{g} $$
が示せます。よって、couplingのくりこみ定数はどの項も等しく、couplingのuniversalityが示されました。

ここでは計算しませんが、Fermionとgluonのcoupling constantのくりこみ定数も同様にして等しいことが示せます。

まとめ

今回は、対称性から導かれる関係式であるWard-Takahashi恒等式を簡単に紹介したのち、BRST不変性から導かれる2つの重要な帰結:

  1. ゲージ場の縦波成分は摂動論においてくりこみの効果を受けない
  2. ゲージ結合定数の普遍性(universality)

について説明しました。1.2.共に物理的に重要ですが、1.はWard-Takahashi恒等式の応用例としても重要です。

ここで「量子アノマリー」という大切な概念について述べておきます。Ward-Takahashi恒等式やSlavnov-Taylor恒等式を導く際、actionが対称性をもつだけでなく、対称性を保つ正則化が存在しなければなりません。古典的には存在する対称性が、それを保つ正則化が存在しないために量子論において破れる現象を「量子アノマリー」と呼びます。Quantum ChromoDynamics (SU(3)のYang-Mills理論, 強い相互作用の理論)では、古典的には存在する大域的なベクトル対称性と軸性ベクトル対称性の両方を保つ正則化が存在しないことにより、軸性ベクトル対称性が破れる現象がおきます(ABJ anomalyと呼ばれる)。これは中性パイオンが2つのフォトンに崩壊する現象を説明します。

一方、局所的な対称性(ゲージ対称性)が量子アノマリーにより破れると、理論のユニタリティー(場の量子論における"確率の保存"に対応する概念)のような非常に重要な性質が失われるので、量子アノマリーが消えるように理論が構成されている必要があります。弱い相互作用では、ゲージ対称性に関する量子アノマリーがうまく打ち消し合うようになっています。

量子アノマリー関連のお話はまたの機会に。
おしまい。${}_\blacksquare$

参考文献

[1]
T. Muta, Foundation of Quantum Chromodynamics (Third edition), World Scientific Lecture Notes in Physics, World Scientific, 2009
[2]
V.P.ナイア著(阿部泰裕/磯暁訳), 現代的な視点からの 場の量子論(基礎編), Springer Japan, 2009
[3]
藤川和男, ゲージ場の理論, 現代物理学叢書, 岩波書店, 2001
投稿日:20221015

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