ゲージ対称性とは何か(14): Ward-Takahashi恒等式とBRST対称性

まず場のBRST変換性を示しておきます：
\begin{align} \begin{cases} \delta A_\mu^a=\omega(\partial_\mu c^a+gf_{abc}A_\mu^b c^c)=D^a_{\mu c}c^c,\\ \delta c^a =-\omega(\frac{1}{2}gf_{abc}c^bc^c),\\ \delta\bar c^a=i\omega B^a,\\ \delta B^a=0 \end{cases} \end{align}
ここで$\omega$はGrassmannの微小パラメータです。　

以下、場やパラメータはすべてくりこまれた量であるとします。

次のWT id.から始めます：
\begin{align} \delta\langle 0|T[\partial^\mu \hat A_\mu^a(x)\hat {\bar c}^b(y)]|0\rangle =0 \end{align}
以下、場が演算子であることを表す$\hat {}$を省略します。

ghost場$c^a$に関する運動方程式は
\begin{align} \partial^\mu\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial^\mu {\bar c}^a)}\right) -\frac{\partial {\cal L}}{\partial {\bar c}^a}=i{\tilde Z}_3\partial^2 c^a-i{\tilde Z_1}gf^{abc} \partial^\mu(c^bA_\mu^c)=0 \end{align}
なので、$\delta(\partial^\mu A_\mu^a)=\omega [{\tilde Z}_3\partial^2 c^a-{\tilde Z_1}gf^{abc} \partial^\mu(c^bA_\mu^c)]=0$です。ゆえに上式は
\begin{align} \delta\langle 0|T[\partial^\mu A_\mu^a(x)\bar c^b(y)]|0\rangle =0 \leftrightarrow \langle 0|T[\partial^\mu A_\mu^a(x) \delta \bar c^b(y)]|0\rangle =0 \end{align}
となります。$B^a$に関する運動方程式から$\delta \bar c^a=i\omega B^a=\omega\frac{i}{\alpha}\partial^\mu A_\mu^a$なので
\begin{align} \langle 0| T[\partial^\mu A^a_\mu(x)\partial^\nu A^b_\nu(y)]|0\rangle=0 \end{align}
です。

次に$\partial^\mu A^a_\mu(x)$の微分を期待値の外に出します。
ここでboson場$\phi$に対し、$T$積の定義は
\begin{align} \langle 0| T\phi(x)\phi(y)|0\rangle:= \theta(x^0-y^0)\langle 0| \phi(x)\phi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle 0| \phi(y)\phi(x)|0\rangle \end{align}
です。これに$x$に関する時間微分$\partial^x_0$が作用すると
\begin{align} \partial^x_0 \langle 0| T\phi(x)\phi(y)|0\rangle= \delta(x^0-y^0)(\langle 0| \phi(x)\phi(y)|0\rangle-\langle 0| \phi(y)\phi(x)|0\rangle) +\langle 0| T\partial^x_0 \phi(x)\phi(y)|0\rangle\\ =\delta(x^0-y^0)[\phi(x),\phi(y)]+\langle 0| T\partial^x_0 \phi(x)\phi(y)|0\rangle \end{align}
となります。よって
\begin{align} \langle 0| T\partial^x_0 \phi(x)\phi(y)|0\rangle=\partial^x_0 \langle 0| T\phi(x)\phi(y)|0\rangle -\delta(x^0-y^0)[\phi(x),\phi(y)] \end{align}
が成立します。すなわち、時間微分を外に出したおつりとして右辺第２項の「(-1)×(時間のデルタ関数)×(交換関係)」が現れます。以上より
\begin{align} \partial^{x\mu}\langle 0|T[A^a_\mu(x)\partial^{y\nu} A_\nu(y)]|\rangle =\delta(x_0-y_0)\langle 0|[A^a_0(x),\partial^{y\nu}A_\nu^b(y)]|0\rangle \end{align}
です。ここで$A_\mu^a$の共役運動量$\Pi^a_\mu$は
\begin{align} \Pi^a_\mu=-F^a_{0\mu}-\frac{1}{\alpha}g_{0\mu}(\partial^\nu A_\nu^a) \end{align}
なので、
\begin{align} \Pi^a_0=-\frac{1}{\alpha}\partial^\nu A_\nu^a \end{align}
これを上の交換関係に入れると、正準交換関係より
\begin{align} \frac{i}{\alpha}\partial_\mu^x\langle 0|T(A^a_\mu(x)\partial^{y\nu} A_\nu^b(y))|0\rangle = \delta_{ab}\delta^4(x-y) \end{align}
を得ます。左辺の$\partial^{y\nu}$は微分の中から出して良いので（$\because \ [A^a_\mu(x),A^b_\nu(y)]=0$）、
\begin{align} \frac{i}{\alpha}\partial^{x\mu}\partial^{y\nu} \langle0|T(A^a_\mu(x)A^b_\mu(y))|0\rangle=\delta_{ab}\delta^4(x-y) \end{align}
以下のFourier変換
\begin{align} i\langle 0|T(A_\mu^a(x)A_\nu^b(y))|0\rangle =\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-ik\cdot(x-y)}{\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}(k) \end{align}
を定義すると上の式は
\begin{align} \frac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu {\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}(k)=\delta_{ab} \end{align}
となります。

ここでgluonのself energy: $\Pi^{ab}_{\mu\nu}(k)$を定義します。これはgluonの2点1PI頂点関数のことです。これとfull gluon propagator $\tilde D^{ab}_{\mu\nu}$との関係は
\begin{align} {\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}= {\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu} +{\tilde D}^{ac}_{0\mu\lambda}\Pi^{cd,\lambda\rho}{\tilde D}^{cb}_{0\rho\nu}+\cdots \end{align}
です。ここで${\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu}=\dfrac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)$はfree gluon propagatorです。この式は「任意のpropagatorは、1つ線を切っても切れない部分と、1つの線だけでできているfree gluon propagatorの部分に排他的に分けることができる」ことを示しています。上式を$\dfrac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu{\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}(k)=\delta_{ab}$に代入すると
\begin{align} \frac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu \left( {\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu}(k) +{\tilde D}^{ac}_{0\mu\lambda}\Pi^{cd,\lambda\rho}{\tilde D}^{db}_{\lambda\nu}+\cdots \right)=\delta_{ab} \end{align}
ですが、$\frac{1}{\alpha}k^\mu k^\nu {\tilde D}^{ab}_{0\mu\nu}=\delta_{ab}$なので、カッコの中の第２項以降はゼロです。任意の$\Pi$でゼロになるから、各項でゼロにならなければなりません。よって
\begin{align} k^\mu k^\nu\left({\tilde D}^{ab}_{0\mu\lambda}\Pi^{cd,\lambda\rho}{\tilde D}^{db}_{0\rho\nu}\right) =\frac{1}{(k^2)^2}k_\lambda k_\rho \Pi^{ab,\lambda\rho}=0 \end{align}
すなわち
\begin{align} k_\lambda k_\rho \Pi^{ab,\lambda\rho}=0 \end{align}
です。$a,b$の足に関しては、globalなゲージ変換によるactionの不変性より$\delta_{ab}$に比例し（カラー荷の保存と呼ばれたりします）、また$k_\lambda k_\rho$をかけてゼロになるので
\begin{align} (k^\lambda k^\rho-g^{\lambda \rho}k^2) \end{align}
に比例します。ゆえに一般に
\begin{align} \Pi^{ab}_{\mu\nu}=\delta^{ab}(k_\mu k_\nu-g_{\mu \nu}k^2)\Pi(k^2) \end{align}
と書けます。左辺の$\Pi^{ab}_{\mu\nu}$を$\hat \Pi$と表記し、$D_0$とのテンソルの足の縮約を省略して書けば
\begin{align} \left((D_0{\hat\Pi} D_0)^n\right)^{ab}_{\mu\nu} =(-)^n\delta_{ab}\frac{1}{k^2} \left( g_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \right) (\Pi(k^2))^n \end{align}
なので、${\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}$を$\Pi(k^2)$で書くと
\begin{align} {\tilde D}^{ab}_{\mu\nu}&=\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2) -\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)\Pi(k^2) +\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)\Pi(k^2)^2 \cdots\\ &=\frac{\delta_{ab}}{k^2}(g_{\mu\nu}-(1-\alpha)k_\mu k_\nu/k^2)(1-\Pi+\Pi^2-\cdots) +\frac{\delta_{ab}}{k^2}\alpha\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \\ &=\frac{\delta_{ab}}{k^2(1+\Pi(k^2))} \left(g_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\right) +\frac{\delta_{ab}}{k^2}\alpha\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \end{align}
となります。
　
これはすなわち
gluonのpropagatorにおいてくりこみにより変更を受けるのは、横波成分のみ
ということです。縦波成分はfreeなものと変わりません。${}_\blacksquare$

Eq.(1)の$S$に対してBRST対称性を課します。BRST変換を施し、$\omega$の1次をとってきます。$F_0^{a\mu\nu}:=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a$とすると、以下のように変形できます：

\begin{align} \delta S\simeq \int d^4x &\bigg[\frac{Z_3}{2} (\delta F^{a\mu\nu}_0) F^a_{\mu\nu 0} \\ &+\frac{e}{2}Z_1f^{abc} \left\{ (\delta F^{a\mu\nu}_0) A^{b\mu}A^{c\nu} +2F^a_{\mu\nu 0} (\delta A^{b\mu}) A^{c\nu} \right\} \\ &+\frac{1}{2}e^2 Z_4f^{abc}f^{amn} \left\{ (\delta A^{b\mu})A^{c\nu}A^{m}_\mu A^{n}_\nu +A^{b\mu}A^{c\nu}(\delta A^m_{\mu})A^n_{\nu} \right\} \\ &+{\tilde Z_3}(\delta \partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu c^a +{\tilde Z_3}(\partial_\mu \bar c^a)(\delta \partial^\mu c^a) \\ &+e{\tilde Z_1}f^{abc}(\delta \partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}c^c +e{\tilde Z_1}f^{abc}\partial_\mu \bar c^a (\delta A^{b\mu})c^c +e{\tilde Z_1}f^{abc}\partial_\mu {\bar c}^aA^{b\mu}(\delta c^c) \\ &+\lambda (\delta \partial_\mu A^{a\mu})\partial_\nu A^{a\nu} \bigg] \\ =\int d^4 x \ \omega &\bigg[ aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu} +aZ_3f^{abc}A_\nu^b(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu} \\ &+aeZ_1f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{amn}A_\nu^m (\partial_\mu c^n) A^{b\mu}A^{c\nu} \\ &+eZ_1f^{abc}F^a_{\mu\nu 0}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{bmn}A^{m\mu}c^n A^{c\nu}F^a_{\mu\nu 0} \\ &+e^2Z_4 f^{abc}f^{amn}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}A^m_\mu A^n_\nu \\ &+\frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu}) \\ &+\tilde Z_3(\gamma\partial_\mu (\partial\cdot A^a))\partial^\mu c^a -\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu\left(-\frac{b}{2}f^{abc}c^b c^c\right) \\ &+e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}\partial_\mu(\partial\cdot A^a)A^{b\mu}c^c -e{\tilde Z}_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a) \partial^\mu c^b+af^{bmn}A^{\mu m}c^n)c^c \\ &-e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right) \\ &+\lambda\partial_\mu(\partial^\mu c^a+af^{abc}A^{b\mu}c^c)(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \end{align}
上記を、field strength part $\delta S_{FF}$とghost+gauge fixing part $\delta S_{GS+GF}$にわけ、以下の量を定義します：
\begin{align} \delta S_{FF}:= \int d^4 x \ \omega &\bigg[ aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu} +aZ_3f^{abc}A_\nu^b(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu} \\ &+aeZ_1f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{amn}A_\nu^m (\partial_\mu c^n) A^{b\mu}A^{c\nu} \\ &+eZ_1f^{abc}F^a_{\mu\nu 0}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu} +aeZ_1f^{abc}f^{bmn}A^{m\mu}c^n A^{c\nu}F^a_{\mu\nu 0} \\ &+e^2Z_4 f^{abc}f^{amn}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}A^m_\mu A^n_\nu \\ &+\frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu}) \bigg], \\ {} {} \\ \delta S_{GS+GF}:=\int d^4x \ \omega &\bigg[ \tilde Z_3(\gamma\partial_\mu (\partial\cdot A^a))\partial^\mu c^a -\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu\left(-\frac{b}{2}f^{abc}c^b c^c\right) \\ &+e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}\partial_\mu(\partial\cdot A^a)A^{b\mu}c^c -e\tilde Z_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a)(\partial^\mu c^b +af^{bmn}A^{\mu m}c^n)c^c \\ &-e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right) \\ &+\lambda\partial_\mu(\partial^\mu c^a+af^{abc}A^{b\mu}c^c)(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \end{align}

$\delta S_{FF}$の計算

各項に名前をつけておきます：
\begin{align} \delta S_{FF}= \int d^4 x \ \omega \bigg[ &\underset{(O)}{\underline{aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu}}} +\underset{(A)}{\underline{aZ_3f^{abc}A_\nu^b(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu}}}\\ &+\underset{(B)}{\underline{aeZ_1f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu}}} +\underset{(C)}{\underline{aeZ_1f^{abc}f^{amn}A_\nu^m (\partial_\mu c^n) A^{b\mu}A^{c\nu}}} \\ &+\underset{(A)}{\underline{eZ_1f^{abc}F^a_{\mu\nu 0}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}}} +\underset{(B)}{\underline{aeZ_1f^{abc}f^{bmn}A^{m\mu}c^n A^{c\nu}F^a_{\mu\nu 0}}} \\ &+\underset{(C)}{\underline{e^2Z_4 f^{abc}f^{amn}(\partial^\mu c^b)A^{c\nu}A^m_\mu A^n_\nu}}\\ &+\underset{(D)}{\underline{\frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu}})} \bigg] \end{align}

各項を計算していきます。

1. $(O)$はゼロ：
   \begin{align} aZ_3f^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)c^c F_0^{a\mu\nu} &= aZ_3f^{abc} \left(\frac{\partial_\mu A_\nu^b-\partial_\nu A_\mu^b}{2}\right) c^c F_0^{a\mu\nu} \\ &=aZ_3f^{abc}c^cF_{\mu\nu 0}^aF^{b\mu\nu}_0 \\ &=0 \end{align}

2. $(D)$はゼロ：
   \begin{align} \frac{1}{2}e^2Z_4 f^{abc}f^{amn} (ef^{bde}A^d_\mu c^e A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} +ef^{mde}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}c^e A^{n\nu})=0 \end{align}
   [計算]
   ・初項をJacobi恒等式を使って書き換える：
   \begin{align} \frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{abc}(f^{amn}A^{m\mu}A^{n\nu})(f^{bde}A^d_\mu A^c_\nu) &=\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e (f^{abe}f^{bdc}-f^{adb}f^{ebc}) (f^{amn}A^{m\mu}A^{n\nu}) (A_\mu^d A_\nu^c) \\ &=-\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e\theta^ef^{adb}f^{ebc}(f^{amn}A^{m\mu}A^{n\nu})(A^d_\mu A^c_\nu) \end{align}
   ・第2項：
   \begin{align} \frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{amn}(f^{abc}A^{b}_\mu A^{c}_\nu)(f^{mde}A^{d\mu} A^{n\nu}) \end{align}
   ダミー変数を入れ替え変形する：
   \begin{align} &=\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{abd}f^{bce}(f^{amn}A^m_\mu A^n_\nu)(A^{c\nu}A^{d\nu}) \\ &=-\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{abd}f^{bce}(f^{amn}A^m_\nu A^n_\mu)(A^{c\mu}A^{d\nu}) \\ &=\frac{1}{2}e^3 Z_4 c^e f^{adb}f^{ebc}(f^{amn}A^m_\mu A^n_\nu)(A^{d\mu}A^{c\nu}) \end{align}
   よって(D)はゼロ

3. (A)に関して：
   \begin{align} aZ_3f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F_0^{a\mu\nu} +eZ_1f^{abc}A^c_\nu(\partial_\mu c^b)F_0^{a\mu\nu} =(aZ_3-eZ_1)f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F^{a\mu\nu} \end{align}

4. (B)はゼロ：
   \begin{align} aeZ_1(f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu A_\nu^m)c^nA^{b\mu}A^{c\nu}+f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A^a_\mu)c^nA^{m\mu}A^{c\nu}) \\ =aeZ_1(f^{abc}f^{amn}+f^{amc}f^{anb}-f^{amb}f^{anc})(\partial_\mu A^m_\nu)c^n A^{b\mu}A^{c\nu} \end{align}
   Jacobi id.より$=0$。

5. (C)に関して：
   \begin{align} aeZ_1 f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^n)A_\nu^m A^{b\mu} A^{c\nu} +e^2Z_4 f^{abe}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A_\nu^e A^{m\mu} A^{n\nu}\\ =(e^2Z_4-aeZ_1)f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} \end{align}

以上より
\begin{align} \delta S_{FF}=(aZ_3-eZ_1)f^{abc}A^b_\nu(\partial_\mu c^c)F^{a\mu\nu}_0+(e^2Z_4-aeZ_1)f^{abc}f^{amn}(\partial_\mu c^b)A^c_\nu A^{m\mu}A^{n\nu} \end{align}

$\delta_B S_{GS+GF}$の計算

まず部分積分等により変形しておきます：
\begin{align} \delta S_{GS+GF}&:=\int d^4x \ \omega \bigg[ \tilde Z_3(\gamma\partial_\mu (\partial\cdot A^a))\partial^\mu c^a -\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)\partial^\mu\left(-\frac{b}{2}f^{abc}c^b c^c\right) \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}\partial_\mu(\partial\cdot A^a)A^{b\mu}c^c -e\tilde Z_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a)(\partial^\mu c^b +af^{bmn}A^{\mu m}c^n)c^c \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right) \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +\lambda\partial_\mu(\partial^\mu c^a+af^{abc}A^{b\mu}c^c)(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \\ &=\int d^4x \ \omega \bigg[ \underset{(E)}{\underline{-\tilde Z_3(\gamma(\partial\cdot A^a))\partial^2 c^a}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +\underset{(F)}{\underline{bf^{abc}\tilde Z_3(\partial_\mu \bar c^a)(\partial^\mu c^b) c^c}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -\underset{(G)}{\underline{e\gamma\tilde Z_1 f^{abc}(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c))}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -e\tilde Z_1 f^{abc}(\partial_\mu\bar c^a)(\underset{(F)}{\underline{\partial^\mu c^b}}+\underset{(I)}{\underline{af^{bmn}A^{m\mu}c^n}})c^c \\ &\quad \quad \quad \quad \quad -\underset{(I)}{\underline{e\tilde Z_1f^{abc}(\partial_\mu \bar c^a)A^{b\mu}\left(-\frac{b}{2}f^{cmn}c^m c^n\right)}} \\ &\quad \quad \quad \quad \quad +\lambda\left\{\underset{(E)}{\underline{\partial^2 c^a}}+\underset{(G)}{\underline{af^{abc}((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c))}} \right\}(\partial_\nu A^{a\nu}) \bigg] \end{align}
同じ記号の項をまとめると以下を得ます：
\begin{align} \quad =& (-\gamma{\tilde Z}_3+\lambda)(\partial\cdot A^a)(\partial^2c^a) \\ &+(a\lambda-\gamma e{\tilde Z}_1)(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c)) \\ &-(e{\tilde Z}_1-b{\tilde Z}_3)f^{abc}(\partial_\mu {\bar c}^a)(\partial^\mu c^b)c^c \\ &-ae{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c +\frac{b}{2}e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{cmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{b\mu}c^m c^n \end{align}
ここで最後の2項をJacobi id.とghostの反可換性を使って変形し、まとめると
\begin{align} \quad -ae{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c +\frac{b}{2}e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{cmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{b\mu}c^m c^n\\ =(b-a)e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c \end{align}
となります。最終的に
\begin{align} \delta S_{GS+GF}&= (-\gamma{\tilde Z}_3+\lambda)(\partial\cdot A^a)(\partial^2c^a) \\ &+(a\lambda-\gamma e{\tilde Z}_1)(\partial\cdot A^a)((\partial\cdot A^b)c^c+A^{b\mu}(\partial_\mu c^c)) \\ &-(e{\tilde Z}_1-b{\tilde Z}_3)f^{abc}(\partial_\mu {\bar c}^a)(\partial^\mu c^b)c^c \\ &+(b-a)e{\tilde Z}_1f^{abc}f^{bmn}(\partial_\mu{\bar c}^a)A^{m\mu}c^n c^c \end{align}
を得ます。${}_\blacksquare$