数論の備忘録②　剰余環

　こんにちは。2本目の記事になります。1本目は こちら 。
　
　さて、前回は整域が云々の話で終わりました。まずは、環$R$において、元$a$が乗法に関して逆元$a^{-1}$を持つ時、つまり

$ab=1$

なる$b\in \mathbb{R}$が存在するとき、$a$は可逆であると言い、$b=a^{-1}$です。そして、$R$が可換環で、かつ零元0以外の任意の元が可逆であるとき、$R$は体であると言います。例えば

• 有理数の集合$\mathbb{Q}$
• 実数の集合$\mathbb{R}$
• 複素数の集合$\mathbb{C}$

は体で、それぞれ「有理数体」、「実数体」、「複素数体」と言います。

　体$K$の元の個数を$K$の位数と言います。位数有限の体を有限体といいます。また、素数$p$に対する剰余環$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は位数が$p$の有限体です。
　前の記事で同じようなことを書いたと思います。それに加えて$p$が素数だから、体であるという仮定を満たしているんでしょうね。きっと。

　可換環$R$から可換環$R^{\prime }$への写像$f:R⟼R^{\prime }$が次の条件

$f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),f(1)=1$

を満たすとき、$f$を準同型写像と言います。可換環の準同型写像が全単射であるとき、$f$を同型写像と言って、その関係を同型と言い、$R\cong R^{\prime }$と表すそうです(友達が教えてくれました)。
　準同型写像$f$に対して、$0\in R^{\prime }$の逆像

$kerf=\{a\in R|f(a)=0\}$

を$f$の核またはカーネルと言います。要は、$f$に入れて0が返ってくるような元のことです。$kerf$は$R$のイデアルです。
　剰余環$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$と同様に、可換環$R$のイデアル$I$に対して剰余環$R/I$を定めます。拡張みたいなものです。$a,b\in R$について

$a\equiv b(modm)⟺a-b\in I$

そして、この時$aとb$はイデアル$I$に関して合同と言います。さらに、合同であるということは同値関係です。つまり、次の3つを満たします。

1. (反射律)$a\equiv a(modm)$
2. (対象律)$a\equiv b(modm)⟺b\equiv a(modm)$
3. (推移律)$a\equiv b(modm),b\equiv c(modm)⟺a\equiv c(modm)$

$a$と合同な元全体の集合$\overline{a}$を、$I$に関する剰余類と言います。これは次のように表せます。

$\overline{a}=\{b\in R|a\equiv b(modm)\}=a+I$

剰余類に関しては次が成り立ちます。

1. $R={\displaystyle \bigcup _{a\in R}\overline{a}}$
2. $\overline{a}\cap \overline{b}\ne \varphi ⟺\overline{a}=\overline{b}$

剰余類の意味を考えれば理解できると思います。

　各剰余類から代表元をただ1つ選んで、それらの集合を$\{a_{\nu }|\nu \in \mathbb{N}\}$とします。この集合を$I$に関する完全代表系と言います。この時

1. $R/I=\{\overline{a_{\nu }}|\nu \in \mathbb{N}\}$
2. $\mu =\nu (\mu ,\nu \in \mathbb{N})⟺\overline{a_{\mu }}=\overline{a_{\nu }}$

これも明らかですね。
　また、この剰余類における和や積も同様に定められるので、$R/I$は可換環になります。

　2つの環$R$と$R^{\prime }$の直積集合

$R\times R^{\prime }=\{(a,a^{\prime })|a\in R,a^{\prime }\in R^{\prime }\}$

の2元$(a,a^{\prime }),(b,b^{\prime })$について、和と積を

$(a,a^{\prime })+(b,b^{\prime })=(a+b,a^{\prime }+b^{\prime })$
$(a,a^{\prime })(b,b^{\prime })=(ab,a^{\prime }{b}^{\prime })$

と定義します。すると$R\times R^{\prime }$は環となります。
　例えば、$(m,n)=1$の時

$f:\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}⟼\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

を$a+(mn)⟼(a+(m),a+(n))$と定義すると

1. $f$は環の準同型写像である
2. $f$は全射である
3. $kerf=(mn)=mn\mathbb{Z}$

が成り立ちます。環の準同型定理より

$\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

これにより、次の命題を得ます。

今日はここまでです。読んでくださってありがとうございました。