りぼーすさんの研究についての代数的な考察

$${\varphi }^{4l(n)}=(-{\varphi }^2{)}^{2l(n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
より$\mathrm{ord}\varphi \mid 4l(n)$、また
$$(-{\varphi }^2{)}^{2\mathrm{ord}\varphi }={\varphi }^{4\mathrm{ord}\varphi }\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
より$l(n)\mid 2\mathrm{ord}\varphi$なので
$$a=\frac{\mathrm{ord}\varphi }{l(n)}$$
とおくと$2a$および$4/a$は自然数となるので
$$a=\frac{1}{2},1,2,4$$
を得る。

　$n=2$のときは$\mathrm{ord}\varphi =l(2)=3$より$L(2)/l(2)=1$となるので、以下$n\ne 2$とする。ちなみに
${\varphi }^{L(n)}\equiv (-\varphi {)}^{L(n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$
が成り立つので$n\ne 2$においては$2\mid L(n)$が成り立ちます。
　命題2の証明より
$$\frac{l(n)}{\mathrm{ord}\varphi }=2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$$
であることに注意する。

$\mathrm{ord}\varphi =k,2k$のとき

$$(-{\varphi }^2{)}^{2k}={\varphi }^{4k}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
および$n\ne 2$より
$$(-{\varphi }^2{)}^k=-{\varphi }^{2k}\equiv -1\not\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
なので$l(n)=2k$を得る。

$\mathrm{ord}\varphi =4k$のとき

$$(-{\varphi }^2{)}^{2k}={\varphi }^{4k}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
より$l(n)=k,2k$を得る。

$\mathrm{ord}\varphi =8k$のとき

$$(-{\varphi }^2{)}^{4k}={\varphi }^{8k}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
および
$$(-{\varphi }^2{)}^{2k}={\varphi }^{2k}\not\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
なので$l(n)=4k$を得る。

　$(p)=\mathfrak{p}$の場合は命題1に一致するので$(p)={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2$と分解する場合を考えればよい。
　冒頭での議論から
$(-{\varphi }^2{)}^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
と
$(-{\varphi }^2{)}^k\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_1)$
が等価であることと、そのような$k$に対し
${\varphi }^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
と
${\varphi }^k\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_1)$
が等価であることを示せばよい。
　上$\Rightarrow$下は自明なのでその逆を示す。

$(-{\varphi }^2{)}^k\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_1)$のとき

　仮定の式に共役写像$\varphi \mapsto (-\varphi {)}^{-1}$を作用させることで${\mathfrak{p}}_1$は${\mathfrak{p}}_2$に移るので
$(-(-\varphi {)}^{-2}{)}^k=(-{\varphi }^2{)}^{-k}\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_2)$
つまり
$(-{\varphi }^2{)}^k\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_2)$
が成り立つので$(p)={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2$より
$(-{\varphi }^2{)}^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
を得る。

$(-{\varphi }^2{)}^k\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_1)$かつ${\varphi }^k\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_1)$のとき

　これも仮定の式の共役を取ることで
$(-\varphi {)}^{-k}\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_2)$
が成り立ち、これに$(-{\varphi }^2{)}^k\equiv 1$を掛けることで
${\varphi }^k\equiv 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_2)$
つまり
${\varphi }^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
を得る。

　$l(p)=k$、つまり
$(-{\varphi }^2{)}^k=-{\varphi }^{2k}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
を示せばよい。
　$(p)$が素イデアルであるときは$\mathbb{Z}[\varphi ]/p\mathbb{Z}[\varphi ]$は体、特に整域であることからわかる。
　また$(p)={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2$と分解されるとき、整域性から
${\varphi }^{2k}\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_1,{\mathfrak{p}}_2)$
となるが、共役を考えることで
${\varphi }^{2k}\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_1)⟺{\varphi }^{2k}\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{\mathfrak{p}}_2)(複号同順)$
が成り立つので$\mathrm{mod}p$を考えると
${\varphi }^{2k}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$
を得る。
　またこのとき
$$({\varphi }^k+(-\varphi {)}^{-k}{)}^2={\varphi }^{2k}-2+{\varphi }^{-2k}\equiv -4(\mathrm{mod}p)$$
が成り立ち、${\varphi }^k+(-\varphi {)}^{-k}$は整数であるので$-4$および$-1$は平方剰余となる。

　命題3から$\mathrm{ord}\varphi =k,2k$($k$は奇数)、特に
${\varphi }^{2k}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
となる。よって
$$F_k^2={\left(\frac{{\varphi }^k-(-\varphi {)}^{-k}}{\sqrt{5}}\right)}^2\equiv \frac{4}{5}(\mathrm{mod}p)$$
が成り立ち、$F_k$は整数であるので$4/5$および$5$は平方剰余となる。

　$\mathrm{ord}\varphi =8k$から命題6の証明と同様にして
${\varphi }^{4k}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$
が成り立つので命題7と同様にして
$F_{2k}^2\equiv -\frac{4}{5}(\mathrm{mod}p)$
がわかる。よって$-5$は平方剰余となる。

$p\equiv 3(\mathrm{mod}4),p\equiv 1,4(\mathrm{mod}5)$のとき

　補題4から$(p)=p_1{p}_2$と分解でき${\mathrm{ord}}^{\prime }\varphi \mid \mathrm{\#}(\mathbb{Z}[\varphi ]/{\mathfrak{p}}_1{)}^{\times }=p-1$が成り立つので$\mathrm{ord}\varphi =k,2k$($k$は奇数)であり、命題3から$L(p)/l(p)=1$が成り立つ。

$p\equiv 3(\mathrm{mod}4),p\equiv 2,3(\mathrm{mod}5)$のとき

　${\displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right)=\left(\frac{5}{p}\right)=-1}$より命題6,7から$L(p)/l(p)=2$でなければならない。

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4),p\equiv 2,3(\mathrm{mod}5)$のとき

　${\displaystyle \left(\frac{5}{p}\right)=\left(\frac{-5}{p}\right)=-1}$より命題7,8から$L(p)/l(p)=4$でなければならない。

$p\equiv 5(\mathrm{mod}8),p\equiv 1,4(\mathrm{mod}5)$のとき

　一つ目の場合と同様にして${\mathrm{ord}}^{\prime }\varphi$は$8$で割り切れないことがわかるので命題3から$L(p)/l(p)\ne 2$となる。

　$L(p)/l(p)=1$であればある奇数$k$があって
${\varphi }^{2k}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
が成り立つので、これに${\varphi }^{-k}$を掛けることで
${\varphi }^k+(-\varphi {)}^{-k}=L_k\equiv 0(\mathrm{mod}p)$
つまり$p\mid L_k$であり、また$p\mid L_k$であるとき、
$L_k={\varphi }^k+(-\varphi {)}^{-k}={\varphi }^{-k}({\varphi }^{2k}-1)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$
が成り立つので$\mathrm{ord}\varphi \mid 2k$。命題3からこれは$L(p)/l(p)=1$を意味する。
　また$L(p)/l(p)=1$が成り立つとき$\left(\frac{5}{p}\right)=1$であったので$2k\mid \mathrm{\#}(\mathbb{Z}[\varphi ]/{\mathfrak{p}}_1{)}^{\times }=p-1$つまり$k\mid (p-1)/2$の範囲で$k$を見つけることができる。