便利の記事の積分を級数にする

[便利の記事]( https://mathlog.info/articles/3299#Weight 3)で出てきた積分を級数に直します（求めるとは言ってない）。積分は全く分からないので、Wolfram Alpha先生を酷使してズルします。

記事に書いてる積分を変形したらこうなる。
$$ \ba 　S(2,1)&=\int_{0< x< y< z}\frac{2}{(x+1)(y+2)(z+1)(z+3)}dxdydz\\ &=\int_{1< x< y< z}\frac{2}{x(y+1)z(z+2)}dxdydz\\ &=\int_{0< z< y< x<1}\frac{2}{(1+2z)y(1+y)x}dxdydz\\ &=\int_{0< y< x<1}\frac{dxdy}{y(1+y)x}\int_0^y\frac{2}{1+2z}dz\\ &=\int_{0< y< x<1}\frac{1}{y(1+y)x}\ln(1+2y)dxdy\\ &=\int_{0< y< x<1}\frac{\ln(1+y)}{y(1+y)x}dxdy +\int_{0< y< x<1}\frac{\ln\l(1+\frac{y}{1+y}\r)}{y(1+y)x}dxdy \ea $$
最後は対数をバラしただけ。
第一項を$I_1$、第二項を$I_2$とする。
$$ \ba 　I_1&=\int_{0< x< y<1}\frac{\ln(1+x)}{x(1+x)y}dxdy\\ &=-\int_{0< x< y<1}\frac{1}{xy}\sum_{0< m}\frac{(-x)^m}{m}\sum_{0\leq n}(-x)^ndxdy\\ &=-\sum_{0< m\\0\leq n}\frac{(-1)^{m+n}}{m(m+n)}\int_{0< y<1}y^{m+n-1}dy\\ &=\sum_{0< m\\0\leq n}\frac{(-1)^{m+n}}{m(m+n)^2}\\ &=\zeta^\star(1,\bar2)\\ &=\frac{5}{8}\zeta(3) \ea $$
続いて$I_2$を計算していく。Wolfram Alpha先生の力を借りた部分は色で示したが、積分erなら簡単に証明できるんだろう。
$$ \ba 　I_2&=\int_{0< x< y<1}\frac{\ln\l(1+\frac{x}{1+x}\r)}{x(1+x)y}dxdy\\ &=-\int_{0< x< y<1}\frac{1}{x(1+x)y}\sum_{0< m}\frac{1}{m}\l(-\frac{x}{1+x}\r)^mdxdy\\ &=-\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{m}\textcolor{red}{\int}_{\textcolor{red}{0< x< y}<1}\frac{1}{y}\textcolor{red}{\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+1}}dx}dy\\ &=-\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{m}\int_{0< y<1}\frac{1}{y}\textcolor{red}{\frac{y^m}{m(1+y)^m}}dy\\ &=-\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{m^2}\textcolor{blue}{\int_{0< y<1}\frac{y^{m-1}}{(1+y)^m}dy}\\ &=-\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{m^2}\textcolor{blue}{\sum_{m\leq n}\frac{1}{n2^n}}\\ &=-\sum_{0< m\leq n}\frac{(-1)^m}{m^2n2^n} \ea $$
ということで、結局
$$　S(2,1)=\frac{5}{8}\zeta(3)-\sum_{0< m\leq n}\frac{(-1)^m}{m^2n2^n}$$
なので、後はこの級数が求まれば嬉しいんだが……

$$ \ \\ 分かりません\\ \ \\ $$

どうやって求めるの？これ。
ちなみに、$\displaystyle S(2,1)=\frac{7}{6}\zeta(3)$だから、下のようになる。この証明は読者の課題とする。

$$\ $$
〈 追記 〉
さっき級数を求めていたら、
$$　\sum_{0< m\leq n}\frac{1}{m^2n2^n}=\frac{5}{8}\zeta(3)$$
となるらしい。偶然か必然か。
他のMSVにもこういう綺麗な表示があるのかはまだ分からないが、興味がある人はやってみると面白いかもしれない。