便利の記事の積分を級数にする

[便利の記事]( https://mathlog.info/articles/3299#Weight 3)で出てきた積分を級数に直します（求めるとは言ってない）。積分は全く分からないので、Wolfram Alpha先生を酷使してズルします。

記事に書いてる積分を変形したらこうなる。
$$\begin{array}{rl} S(2,1)& ={\int }_{0<x<y<z}\frac{2}{(x+1)(y+2)(z+1)(z+3)}dxdydz\\ & ={\int }_{1<x<y<z}\frac{2}{x(y+1)z(z+2)}dxdydz\\ & ={\int }_{0<z<y<x<1}\frac{2}{(1+2z)y(1+y)x}dxdydz\\ & ={\int }_{0<y<x<1}\frac{dxdy}{y(1+y)x}{\int }_0^y\frac{2}{1+2z}dz\\ & ={\int }_{0<y<x<1}\frac{1}{y(1+y)x}\ln (1+2y)dxdy\\ & ={\int }_{0<y<x<1}\frac{\ln (1+y)}{y(1+y)x}dxdy+{\int }_{0<y<x<1}\frac{\ln (1+\frac{y}{1+y})}{y(1+y)x}dxdy\end{array}$$
最後は対数をバラしただけ。
第一項を$I_1$、第二項を$I_2$とする。
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl} I_1& ={\int }_{0<x<y<1}\frac{\ln (1+x)}{x(1+x)y}dxdy\\ & =-{\int }_{0<x<y<1}\frac{1}{xy}\sum _{0<m}\frac{(-x{)}^m}{m}\sum _{0\le n}(-x{)}^{n}dxdy\\ & =-\sum _{0<m \\ 0\le n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{m(m+n)}{\int }_{0<y<1}{y}^{m+n-1}dy\\ & =\sum _{0<m \\ 0\le n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{m(m+n{)}^2}\\ & ={\zeta }^{\star }(1,\overline{2})\\ & =\frac{5}{8}\zeta (3)\end{array} \end{gathered}$$
続いて$I_2$を計算していく。Wolfram Alpha先生の力を借りた部分は色で示したが、積分erなら簡単に証明できるんだろう。
$$\begin{array}{rl} I_2& ={\int }_{0<x<y<1}\frac{\ln (1+\frac{x}{1+x})}{x(1+x)y}dxdy\\ & =-{\int }_{0<x<y<1}\frac{1}{x(1+x)y}\sum _{0<m}\frac{1}{m}{(-\frac{x}{1+x})}^{m}dxdy\\ & =-\sum _{0<m}\frac{(-1{)}^m}{m}{\int }_{0<x<y<1}\frac{1}{y}\frac{x^{m-1}}{(1+x{)}^{m+1}}dxdy\\ & =-\sum _{0<m}\frac{(-1{)}^m}{m}{\int }_{0<y<1}\frac{1}{y}\frac{y^m}{m(1+y{)}^m}dy\\ & =-\sum _{0<m}\frac{(-1{)}^m}{m^2}{\int }_{0<y<1}\frac{y^{m-1}}{(1+y{)}^m}dy\\ & =-\sum _{0<m}\frac{(-1{)}^m}{m^2}\sum _{m\le n}\frac{1}{n{2}^n}\\ & =-\sum _{0<m\le n}\frac{(-1{)}^m}{m^{2}n{2}^n}\end{array}$$
ということで、結局
$$S(2,1)=\frac{5}{8}\zeta (3)-\sum _{0<m\le n}\frac{(-1{)}^m}{m^{2}n{2}^n}$$
なので、後はこの級数が求まれば嬉しいんだが……

$$分かりません$$

どうやって求めるの？これ。
ちなみに、${\displaystyle S(2,1)=\frac{7}{6}\zeta (3)}$だから、下のようになる。この証明は読者の課題とする。

$$$$
〈 追記 〉
さっき級数を求めていたら、
$$\sum _{0<m\le n}\frac{1}{m^{2}n{2}^n}=\frac{5}{8}\zeta (3)$$
となるらしい。偶然か必然か。
他のMSVにもこういう綺麗な表示があるのかはまだ分からないが、興味がある人はやってみると面白いかもしれない。