段論2 - 下段埋め込みと上段構造

代数学,段論,下段環

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この記事は前回の続きです．動機や導入は前回の記事を参照してください．

段論1 - 多項式環と準加算

この記事では環といえば単位的可換環を表します．

下段埋め込み

環 $A, B$ とその間の単射 $ι : A \to B$ について

$ι (0_{A}) = 1_{B}$ ,
$ι (a_{1} +_{A} a_{2}) = ι (a_{1}) \cdot_{B} ι (a_{2})$

が成り立つとき， $ι$ は下段埋め込み(low-level immersion)という．

下段埋め込みとは，環をそれぞれ和と積のモノイドとみなしたときの，それらの間の単射モノイド準同型のことである．

任意の環 $A$ に対して
$\begin{array}{cccc} ι : & A & \to & L (A) \\ a & \mapsto & t^{a} \end{array}$
という標準的な下段埋め込みが存在する．

有限体 $F_{2}, F_{3}$ に対して
$\begin{array}{cccc} ι : & F_{2} & \to & F_{3} \\ 0 & \mapsto & 1 \\ 1 & \mapsto & 2 \end{array}$
とすると，これは下段埋め込みになる．実際に

$ι (0 + 0) = 1 = 1 \cdot 1 = ι (0) \cdot ι (0)$
$ι (0 + 1) = 2 = 1 \cdot 2 = ι (0) \cdot ι (1)$
$ι (1 + 1) = 1 = 2 \cdot 2 = ι (1) \cdot ι (1)$

となり条件を満たしている．

環 $A, B$ と下段埋め込み $ι : A \to B$ が与えられたとき，環準同型 $I : L (A) \to B$ が同型を除いてただ一つに定まる．

略（モノイド環の普遍性を見よ．）

上段構造

$A$ を環とする． $A$ の部分集合の列 $U_{1} \supseteq \dots \supseteq U_{r}$ と写像
$\begin{array}{cccc} *_{i} : & U_{i} \times U_{i} & \to & U_{i} \\ (a, b) & \mapsto & a *_{i} b \end{array}$
について，

任意の $a, b, c \in U_{i}$ について, $(a *_{i} b) *_{i} c = a *_{i} (b *_{i} c)$ ,
ある唯一の $e_{i} \in U_{i}$ が存在し，任意の $a \in U_{i}$ に対して $a *_{i} e_{i} = e_{i} *_{i} a = a$ が成り立つ，
任意の $a, b \in U_{i}$ について, $a *_{i} b = b *_{i} a$ ,
任意の $a, b \in U_{i}$ について, $a *_{i - 1} b \in U_{i}$ ,
任意の $a, b, c \in U_{i}$ について， $a *_{i} (b *_{i - 1} c) = (a *_{i} b) *_{i - 1} (a *_{i} c)$
（ただし $U_{0} = A, a *_{0} b = a \cdot b$ (通常の積)とする）

が成り立つとき， $(U_{i}, *_{i})_{i}$ を $A$ の上段構造(upper-level structure)という．

上記の定義の ${U_{i}}$ を特に上段鎖(upper-level chain)という．また，上段鎖の長さ $r$ をその上段構造の階数(rank)という．定義における $e_{i}$ のことを $*_{i}$ の単位元という．

下段埋め込みと上段構造の対応定理

$A_{0} \to A_{1} \to \dots \to A_{r}$
という下段埋め込みの列が存在するとき， $A_{r}$ の上段構造が誘導される．同様に上段構造
$U_{0} \supseteq U_{1} \supseteq \dots \supseteq U_{r}$
が存在するとき，下段埋め込みの列が誘導される．これらの操作は1対1対応する．

$A_{0} \overset{ι_{0}}{\to} A_{1} \overset{ι_{1}}{\to} \dots \overset{ι_{r - 1}}{\to} A_{r}$
を下段埋め込みの列とする．このとき，

$U_{0} = A_{r}$
$U_{i} = Im (ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i})$

と定める． $a_{1}, a_{2} \in U_{i}$ とすると上記の定め方からある $b_{1}, b_{2} \in A_{r - i}$ が存在して
$ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1}) = a_{1}$
$ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{2}) = a_{2}$
となる．これらを用いて
$a_{1} *_{i} a_{2} := ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1} \cdot_{A_{r - i}} b_{2})$
と定める．これは下段埋め込みの単射性からwell-definedである．ここで
$e_{i} := ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (1_{A_{r - i}})$
とすると,
$\begin{aligned} a_{1} *_{i} e_{i} & = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1} \cdot 1_{A_{r - i}}) \\ = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1}) \\ = a_{1} \end{aligned}$
となる．逆も同様になるので $e_{i}$ は $*_{i}$ の単位元となる．可換性は定義より明らかである.

また，任意の $a_{1}, a_{2} \in U_{i}$ に対して， $b_{1}, b_{2} \in A_{r - i}$ が存在し，単射性から $c_{1}, c_{2} \in A_{r - (i - 1)}$ が存在して
$\begin{array}{ccccc} \dots \to & A_{r - i} & \to & A_{r - (i - 1)} & \to \dots \to & A_{r} \\ b_{1} & \mapsto & c_{1} & \mapsto \dots \mapsto & a_{1} \\ b_{2} & \mapsto & c_{2} & \mapsto \dots \mapsto & a_{2} \end{array}$
を満たしている．よって $a_{1}, a_{2} \in U_{i - 1}$ である．これらの $a_{1}, a_{2}$ について，
$ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - (i - 1)} (c_{1} \cdot c_{2})$
となるが，下段埋め込みの定義から
$\begin{aligned} ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - (i - 1)} (c_{1} \cdot c_{2}) \\ = & ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - (i - 1)} (ι_{r - i} (b_{1}) \cdot ι_{r - i} (b_{2})) \\ = & ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1} + b_{2}) \\ = & a_{1} *_{i - 1} a_{2} \end{aligned}$
となるため， $a_{1} *_{i - 1} a_{2} \in U_{i}$ となる．

次に分配法則が成り立つことを示す．任意の $a_{1}, a_{2}, a_{3} \in U_{i}$ について
$\begin{array}{ccccc} \dots \to & A_{r - i} & \to & A_{r - (i - 1)} & \to \dots \to & A_{r} \\ b_{1} & \mapsto & c_{1} & \mapsto \dots \mapsto & a_{1} \\ b_{2} & \mapsto & c_{2} & \mapsto \dots \mapsto & a_{2} \\ b_{3} & \mapsto & c_{3} & \mapsto \dots \mapsto & a_{3} \end{array}$
となる $b_{1}, b_{2}, b_{3} \in A_{r - i}$ および $c_{1}, c_{2}, c_{3} \in A_{r - (i - 1)}$ が取れる．この取り方は埋め込みの単射性から唯一に定まる． $a_{2} *_{i - 1} a_{3} = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - (i - 1)} (c_{2} \cdot c_{3})$ となるが， $ι_{r - i}$ が下段埋め込みであることから $ι_{r - i} (b_{2} + b_{3}) = c_{2} \cdot c_{3}$ となる．
$\begin{array}{ccccc} \dots \to & A_{r - i} & \to & A_{r - (i - 1)} & \to \dots \to & A_{r} \\ b_{1} & \mapsto & c_{1} & \mapsto \dots \mapsto & a_{1} \\ b_{2} + b_{3} & \mapsto & c_{2} \cdot c_{3} & \mapsto \dots \mapsto & a_{2} *_{i - 1} a_{3} \end{array}$
よって
$a_{1} *_{i} (a_{2} *_{i - 1} a_{3}) = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1} (b_{2} + b_{3}))$
となる．
$\begin{array}{ccccc} \dots \to & A_{r - i} & \to & A_{r - (i - 1)} & \to \dots \to & A_{r} \\ b_{1} (b_{2} + b_{3}) & \mapsto & ι_{r - i} (b_{1} (b_{2} + b_{3})) & \mapsto \dots \mapsto & a_{1} *_{i} (a_{2} *_{i - 1} a_{3}) \end{array}$
一方で， $a_{1} *_{i} a_{2}$ および $a_{1} *_{i} a_{3}$ は
$a_{1} *_{i} a_{2} = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1} b_{2})$
$a_{1} *_{i} a_{3} = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1} b_{3})$
である．
$\begin{array}{ccccc} \dots \to & A_{r - i} & \to & A_{r - (i - 1)} & \to \dots \to & A_{r} \\ b_{1} b_{2} & \mapsto & ι_{r - i} (b_{1} b_{2}) & \mapsto \dots \mapsto & a_{1} *_{i} a_{2} \\ b_{1} b_{3} & \mapsto & ι_{r - i} (b_{1} b_{3}) & \mapsto \dots \mapsto & a_{1} *_{i} a_{3} \end{array}$
これらの和 $b_{1} b_{2} + b_{1} b_{3}$ は下段埋め込み $ι_{r - i}$ で送ると
$ι_{r - i} (b_{1} b_{2} + b_{1} b_{3}) = ι_{r - i} (b_{1} b_{2}) \cdot ι_{r - i} (b_{1} b_{3})$
となるので，
$\begin{aligned} (a_{1} *_{i} a_{2}) *_{i - 1} (a_{1} *_{i} a_{3}) & = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - (i - 1)} (ι_{r - i} (b_{1} b_{2}) \cdot ι_{r - i} (b_{1} b_{3})) \\ = ι_{r - 1} \circ \dots \circ ι_{r - i} (b_{1} b_{2} + b_{1} b_{3}) \end{aligned}$
となる．ここで $A_{r - i}$ において $b_{1} (b_{2} + b_{3}) = b_{1} b_{2} + b_{1} b_{3}$ が成り立つことから
$a_{1} *_{i} (a_{2} *_{i - 1} a_{3}) = (a_{1} *_{i} a_{2}) *_{i - 1} (a_{1} *_{i} a_{3})$
となることが示される．以上より $(U_{i}, *_{i})$ は $A_{r}$ の上段構造となる．

次に，環 $B$ とその上段構造 $(W_{i}, *_{i})_{1 \leq i \leq r}$ が存在すると仮定する． $B_{1} = W_{1}$ とすると，これは環をなす．実際に， $b_{1}, b_{2} \in B_{1}$ に対して
$\begin{aligned} b_{1} +_{B_{1}} b_{2} & := b_{1} \cdot_{B} b_{2} \\ b_{1} \cdot_{B_{1}} b_{2} & := b_{1} *_{1} b_{2} \end{aligned}$
と定義すると，これらの演算は閉じており，分配法則も満たす． $0_{B_{1}} = 1_{B}, 1_{B_{1}} = e_{1}$ となり， $B_{1}$ は環となる． $ι_{1} : B_{1} \to B$ を包含写像とするとこれは下段埋め込みとなる．以下，帰納的に $B_{i} = W_{i}$ と定義し，
$\begin{aligned} x +_{B_{i}} y & := x \cdot_{B_{i - 1}} y \\ x \cdot_{B_{1}} y & := x *_{i} y \\ 0_{B_{i}} & := 1_{B_{i - 1}} \\ 1_{B_{i}} & := e_{i} \end{aligned}$
とすると環となり， $ι_{i} : B_{i} \to B_{i - 1}$ を包含写像とするとこれは下段埋め込みとなる．これらにより
$B_{r} \to B_{r - 1} \to \dots \to B_{1} \to B$
という下段埋め込みの列を得る．

次に対応性を示す． $(A_{i}, ι_{i})$ を下段埋め込みの列， $(U_{i}, *_{i})$ を $(A_{i})$ から得られた $A_{r}$ の上段構造とする．上記と同様に $B_{i}$ を構成すると，
$\begin{aligned} B_{1} & = U_{1} \\ = Im ι_{r - 1} \end{aligned}$
となる．ここで， $φ : A_{r - 1} \to B_{1}$ を $φ (x) = ι_{r - i} (x)$ とするとこれはwell-definedに定まる．明らかに $φ (x) \in Im ι_{r - 1}$ である．また $φ (1_{A_{r}}) = e_{1}$ は $B_{1}$ の単位元である． $x, y \in A_{r - 1}$ に対して
$\begin{aligned} φ (x + y) & = ι_{r - i} (x) \cdot_{B} ι_{r - i} (y) \\ = φ (x) +_{B_{1}} φ (y) \\ φ (x y) & = ι_{r - i} (x y) \\ = φ (x) *_{1} φ (y) \\ = φ (x) \cdot_{b_{1}} φ (y) \end{aligned}$
となるので $φ$ は環準同型となる． $ι_{r - 1}$ は単射であるので $φ$ もまた単射となる．さらに $B_{1} \subseteq Im ι_{r - 1}$ であるので全射でもある．よって $A_{r - 1} ≅ B_{1}$ が成り立つ．以下同様に $A_{r - i} ≅ B_{i}$ が示せる．
逆に上段構造が与えられた時に構成された下段埋め込みの列から再び上段構造を構成する時ももとと同じものが得られることが同様に示せる．以上よりこれらの操作は1対1対応している． $◻$

ガロア理論においては体の拡大における中間体とガロア群の部分群が逆向きに対応していることが主要なステートメントとなっていたが，この対応は段論における基本的な定理の一つと言える．

下段埋め込みの列
$\begin{array}{ccccc} 0 & \to & Z & \to & Q \\ 0 & \mapsto & 1 \\ n & \mapsto & 2^{n} \end{array}$
から $Q$ 上に上段構造を構成する．まず，
$U_{1} := {2^{n} ∣ n \in Z}, 2^{m} *_{1} 2^{n} = 2^{m n},$
とすると，
$\begin{aligned} 2^{m} *_{1} (2^{n} \cdot 2^{l}) & = 2^{m} *_{1} 2^{n + l} \\ = 2^{m (n + l)} \\ = 2^{m n + m l} \\ = 2^{m n} \cdot 2^{m l} \\ = (2^{m} *_{1} 2^{n}) \cdot (2^{m} *_{1} 2^{l}) \end{aligned}$
となり，分配法則を満たす．
$U_{2} = {2}, 2 *_{2} 2 = 2,$
とすると，
$\begin{aligned} 2 *_{2} (2 *_{1} 2) & = 2 *_{2} 2 = 2 \\ (2 *_{2} 2) *_{1} (2 *_{2} 2) & = 2 *_{1} 2 = 2 \end{aligned}$
となるので分配法則を満たす．以上より $(U_{i}, *_{i})_{1, 2}$ は $Q$ 上の上段構造である．

有限体の下段埋め込み

環 $A, B$ に対して，下段埋め込み $ι : A \to B$ が存在することと， $B^{\times}$ が $A$ （と同型な群）を部分群として持つことは同値である．

$(\Rightarrow)$ 下段埋め込みの単射性から $A ≅ Im ι$ となるが, 定義から $Im ι \subseteq B^{\times}$ となる.
$(\Leftarrow)$ $A \tilde{\to} G ↪ B^{\times} ↪ B$ が下段埋め込みとなることから成り立つ．

素数および素数べき $p, q$ （ただし $p < q$ とする）と有限体 $F_{p}, F_{q}$ について，ある正整数 $m$ が存在して $q = m p + 1$ となるとき，下段埋め込み $ι : F_{p} \to F_{q}$ が存在する．

$F_{q}$ の単元群 $F_{q}^{\times}$ は巡回群 $Z / (q - 1) Z$ と同型である． $q = m p + 1$ であるとき $p | q - 1$ となることから $F_{p} = Z / p Z$ は $Z / (q - 1) Z$ の部分群になる．この部分群の入射を $ι : Z / p Z ↪ Z / (q - 1) Z$ とすると，これは自然に下段埋め込み $ι : F_{p} \to F_{q}$ を誘導する． $◻$

任意の奇素数は $p = 2 n + 1$ と表せるので下段埋め込み $ι : F_{2} \to F_{p}$ が存在する．これは具体的には
$\begin{array}{cccc} ι : & F_{2} & \to & F_{p} \\ 0 & \mapsto & 1 \\ 1 & \mapsto & p - 1 \end{array}$
と表される．

$7 = 3 \cdot 2 + 1$ であるので下段埋め込み $ι : F_{3} \to F_{7}$ が存在する．具体的に
$\begin{array}{cccc} ι : & F_{3} & \to & F_{7} \\ 0 & \mapsto & 1 \\ 1 & \mapsto & 2 \\ 2 & \mapsto & 4 \end{array}$
と表される． $Im ι ≃ Z / 3 Z$ は $F_{7}^{\times} ≃ Z / 6 Z$ の部分群であることに注意せよ．

ここで，素数および素数べき $q$ について $d (q)$ を以下のように定める:

$d (2) = 0$ ,
$d (q) = max {d (p_{i}) | q - 1 = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}} + 1$ ．

これはちょうど $F_{2}$ から $F_{q}$ に至るまでの下段埋め込みの列の長さの最大値と対応している．例えば，
$\begin{aligned} 58 & = 2 \cdot 29 \\ 28 & = 2^{2} \cdot 7 \\ 6 & = 2 \cdot 3 \end{aligned}$
となるので $d (59) = 3 + 1 = 4$ となる．これはちょうど
$F_{2} \to F_{3} \to F_{7} \to F_{29} \to F_{59}$
という下段埋め込みの列と対応している．この列を用いて階数4の上段構造を $F_{59}$ に導入できる．