段論2 - 下段埋め込みと上段構造

略（モノイド環の普遍性を見よ．）

$$A_0 \xrightarrow{\iota_0} A_1 \xrightarrow{\iota_1} \cdots \xrightarrow{\iota_{r - 1}} A_r$$
を下段埋め込みの列とする．このとき，

• $U_0 = A_r$
• $U_i = \im (\iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r - i})$

と定める．$a_1, a_2 \in U_i$とすると上記の定め方からある$b_1, b_2 \in A_{r-i}$が存在して
$$ \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_1) = a_1 $$
$$ \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_2) = a_2 $$
となる．これらを用いて
$$ a_1 *_i a_2 := \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_1 \cdot_{A_{r-i}} b_2) $$
と定める．これは下段埋め込みの単射性からwell-definedである．ここで
$$e_i := \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(1_{A_{r-i}}) $$
とすると,
$$ \begin{align} a_1 *_i e_i &= \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_1 \cdot 1_{A_{r-i}})\\ &= \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_1)\\ &= a_1 \end{align} $$
となる．逆も同様になるので$e_i$は$*_i$の単位元となる．可換性は定義より明らかである.

また，任意の$a_1,a_2 \in U_i$に対して，$b_1, b_2 \in A_{r-i}$ が存在し，単射性から$c_1, c_2 \in A_{r-(i-1)}$が存在して
$$ \begin{array}{ccccc} \cdots \to & A_{r-i} & \to & A_{r-(i-1)} & \to \cdots \to & A_r\\ & b_1 & \mapsto & c_1 & \mapsto \cdots \mapsto & a_1 \\ & b_2 & \mapsto & c_2 & \mapsto \cdots \mapsto & a_2 \\ \end{array} $$
を満たしている．よって$a_1, a_2 \in U_{i-1}$である．これらの$a_1, a_2$について，
$$ \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-(i-1)}(c_1 \cdot c_2) $$
となるが，下段埋め込みの定義から
$$ \begin{align} &\ \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-(i-1)}(c_1 \cdot c_2) \\ =&\ \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-(i-1)}(\iota_{r-i}(b_1)\cdot\iota_{r-i}(b_2))\\ =&\ \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_1 + b_2) \\ =&\ a_1 *_{i-1} a_2 \end{align} $$
となるため，$a_1 *_{i-1} a_2 \in U_i$となる．

次に分配法則が成り立つことを示す．任意の$a_1,a_2,a_3 \in U_i$について
$$ \begin{array}{ccccc} \cdots \to & A_{r-i} & \to & A_{r-(i-1)} & \to \cdots \to & A_r\\ & b_1 & \mapsto & c_1 & \mapsto \cdots \mapsto & a_1 \\ & b_2 & \mapsto & c_2 & \mapsto \cdots \mapsto & a_2 \\ & b_3 & \mapsto & c_3 & \mapsto \cdots \mapsto & a_3 \\ \end{array} $$
となる$b_1, b_2, b_3 \in A_{r-i}$および$c_1, c_2, c_3 \in A_{r-(i-1)}$が取れる．この取り方は埋め込みの単射性から唯一に定まる．$a_2 *_{i-1} a_3 = \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-(i-1)}(c_2 \cdot c_3)$となるが，$\iota_{r-i}$が下段埋め込みであることから$\iota_{r-i}(b_2 + b_3) = c_2\cdot c_3$となる．
$$ \begin{array}{ccccc} \cdots \to & A_{r-i} & \to & A_{r-(i-1)} & \to \cdots \to & A_r\\ & b_1 & \mapsto & c_1 & \mapsto \cdots \mapsto & a_1 \\ & b_2 + b_3& \mapsto & c_2\cdot c_3 & \mapsto \cdots \mapsto & a_2 *_{i-1}a_3\\ \end{array} $$
よって
$$a_1 *_i (a_2 *_{i-1}a_3) = \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_1(b_2 + b_3))$$
となる．
$$ \begin{array}{ccccc} \cdots \to & A_{r-i} & \to & A_{r-(i-1)} & \to \cdots \to & A_r\\ & b_1(b_2 + b_3)& \mapsto & \iota_{r-i}(b_1(b_2 + b_3)) & \mapsto \cdots \mapsto & a_1 *_i(a_2 *_{i-1}a_3)\\ \end{array} $$
一方で，$a_1*_ia_2$および$a_1*_ia_3$は
$$ a_1*_ia_2 = \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i} (b_1 b_2) $$
$$ a_1*_ia_3 = \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i} (b_1 b_3) $$
である．
$$ \begin{array}{ccccc} \cdots \to & A_{r-i} & \to & A_{r-(i-1)} & \to \cdots \to & A_r\\ & b_1 b_2 & \mapsto & \iota_{r-i}(b_1b_2) & \mapsto \cdots \mapsto & a_1 *_i a_2 \\ & b_1 b_3 & \mapsto & \iota_{r-i}(b_1b_3) & \mapsto \cdots \mapsto & a_1 *_i a_3\\ \end{array} $$
これらの和$b_1b_2 + b_1b_3$は下段埋め込み$\iota_{r-i}$で送ると
$$ \iota_{r-i}(b_1b_2 + b_1b_3) = \iota_{r-i}(b_1b_2)\cdot\iota_{r-i}(b_1b_3) $$
となるので，
$$ \begin{align} (a_1 *_i a_2) *_{i-1} (a_1 *_i a_3) &= \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-(i-1)}(\iota_{r-i}(b_1b_2)\cdot\iota_{r-i}(b_1b_3))\\ &= \iota_{r-1} \circ \cdots \circ \iota_{r-i}(b_1b_2 + b_1b_3) \end{align}$$
となる．ここで$A_{r-i}$において$b_1(b_2 + b_3) = b_1b_2 + b_1 b_3$が成り立つことから
$$ a_1 *_i (a_2 *_{i-1}a_3) = (a_1 *_i a_2) *_{i-1} (a_1 *_i a_3) $$
となることが示される．以上より$(U_i, *_i)$は$A_r$の上段構造となる．

次に，環$B$とその上段構造$(W_i, *_i)_{1\leq i \leq r}$が存在すると仮定する．$B_1 = W_1$とすると，これは環をなす．実際に，$b_1, b_2 \in B_1$に対して
$$ \begin{align} b_1 +_{B_1} b_2 &:= b_1 \cdot_B b_2\\ b_1 \cdot_{B_1} b_2 &:= b_1 *_1 b_2\\ \end{align} $$
と定義すると，これらの演算は閉じており，分配法則も満たす．$0_{B_1} = 1_B, 1_{B_1} = e_1$となり，$B_1$は環となる．$\iota_1:B_1 \to B$を包含写像とするとこれは下段埋め込みとなる．以下，帰納的に$B_i = W_i$と定義し，
$$ \begin{align} x +_{B_i} y &:= x \cdot_{B_{i-1}} y\\ x \cdot_{B_1} y &:= x *_i y\\ 0_{B_i} &:= 1_{B_{i-1}}\\ 1_{B_i} &:= e_i \end{align} $$
とすると環となり，$\iota_i: B_i \to B_{i-1}$を包含写像とするとこれは下段埋め込みとなる．これらにより
$$ B_r \to B_{r-1} \to \cdots \to B_1 \to B $$
という下段埋め込みの列を得る．

次に対応性を示す．$(A_i, \iota_i)$を下段埋め込みの列，$(U_i, *_i)$を$(A_i)$から得られた$A_r$の上段構造とする．上記と同様に$B_i$を構成すると，
$$ \begin{align} B_1 &= U_1\\ &= \im\iota_{r-1}\\ \end{align} $$
となる．ここで，$\varphi: A_{r-1} \to B_1$を$\varphi(x) = \iota_{r-i}(x)$とするとこれはwell-definedに定まる．明らかに$\varphi(x) \in \im \iota_{r-1}$である．また$\varphi(1_{A_r}) = e_1$は$B_1$の単位元である．$x,y \in A_{r-1}$に対して
$$ \begin{align} \varphi(x + y) &= \iota_{r-i}(x) \cdot_B \iota_{r-i}(y)\\ &= \varphi(x) +_{B_1} \varphi(y)\\ \varphi(xy) &= \iota_{r-i}(xy)\\ &= \varphi(x)*_1\varphi(y)\\ &= \varphi(x)\cdot_{b_1}\varphi(y) \end{align} $$
となるので$\varphi$は環準同型となる．$\iota_{r-1}$は単射であるので$\varphi$もまた単射となる．さらに$B_1 \subseteq \im \iota_{r-1}$であるので全射でもある．よって$A_{r-1} \cong B_1$が成り立つ．以下同様に$A_{r-i} \cong B_i$が示せる．
逆に上段構造が与えられた時に構成された下段埋め込みの列から再び上段構造を構成する時ももとと同じものが得られることが同様に示せる．以上よりこれらの操作は1対1対応している．$\square$

$(\Rightarrow)$ 下段埋め込みの単射性から$A\cong \im \iota$となるが, 定義から$\im \iota \subseteq B^\times$となる.
$(\Leftarrow)$$A \xrightarrow{\sim} G \hookrightarrow B^\times \hookrightarrow B$が下段埋め込みとなることから成り立つ．

$\ff_q$の単元群$\ff_q^\times$は巡回群$\zz/(q-1)\zz$と同型である．$q = mp + 1$であるとき$p | q - 1$となることから$\ff_p = \zz/p\zz$は$\zz/(q-1)\zz$の部分群になる．この部分群の入射を$\iota: \zz/p\zz \hookrightarrow \zz/(q-1)\zz$とすると，これは自然に下段埋め込み$\iota: \ff_p \to \ff_q$を誘導する．$\square$