対数関数と多重対数関数が入った積分

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こんにちは．今回はtria_mathさんの記事，自己紹介の最後に書かれている問題を解き，それの一般化を証明したいと思います．

問題

$$ \int_0^{1} \frac{\textrm{Li}_2(x)\ln^2 x}{x(1-x)} dx~=~? $$

解答
$$\begin{align*} \int_0^{1} \frac{\textrm{Li}_2(x) \ln^2 x}{x(1-x)} dx &= \int_0^1 \frac{\ln^2 x}{x}\left(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i^2}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}x^j \right)dx \\ &= \sum_{\substack{i\geqq 1 \\ j\geqq 0}} \frac{1}{i^2} \int_0^1 x^{i+j-1} \ln^2 x dx\\ &= \sum_{\substack{i\geqq 1 \\ j\geqq 0}} \frac{1}{i^2}\left. \frac{d^2}{dt^2} \int_0^1 x^t dx \right|_{t=i+j-1} \\ &= 2 \sum_{\substack{i\geqq 1 \\ j\geqq 0}} \frac{1}{i^2} \frac{1}{(i+j)^3} \\ &= 2\sum_{\substack{i\geqq 1}}\frac{1}{i^2} \left( \frac{1}{i^3} + \sum_{j \geqq 1}\frac{1}{(i+j)^3}\right)\\ &= 2\zeta(5) + 2\sum_{i,j\geqq 1} \frac{1}{i^2 (i+j)^3}\\ &= 2\zeta(5) + 2\sum_{0 < p < q} \frac{1}{p^2 q^3} \\ &= 2\zeta(5) + 2\zeta(2,3). \end{align*}$$
ここで，
$$ \zeta(2,3) = -\frac{11}{2}\zeta(5) + 3\zeta(2)\zeta(3) $$
より（証明は神鳥奈紗さんの記事，depth2,weight7以下のMZVを求めるを参照して下さい），
$$\begin{align*} 2\zeta(5)+2\zeta(2,3) &= 2\zeta(5) + (-11\zeta(5) + 6\zeta(2)\zeta(3))\\ &=\pi^2\zeta(3) - 9\zeta(5). \end{align*}$$
したがって，
$$ \int_0^{1} \frac{\textrm{Li}_2(x) \ln^2 x}{x(1-x)} dx = \pi^2\zeta(3) - 9\zeta(5). $$

一般化

$$ \int_0^{1} \frac{\textrm{Li}_m(x)\ln^n x}{x(1-x)} dx=(-1)^n n! \left(\zeta(m+n+1) + \zeta(m,n+1)\right) $$

証明
$$\begin{align*} &\int_0^{1} \frac{\textrm{Li}_m(x) \ln^n x}{x(1-x)} dx \\ &= \int_0^1 \frac{\ln^n x}{x}\left(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i^m}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}x^j \right)dx \\ &= \sum_{\substack{i\geqq 1 \\ j\geqq 0}} \frac{1}{i^m} \int_0^1 x^{i+j-1} \ln^n x dx\\ &= \sum_{\substack{i\geqq 1 \\ j\geqq 0}} \frac{1}{i^m}\left. \frac{d^n}{dt^n} \int_0^1 x^t dx \right|_{t=i+j-1} \\ &= \sum_{\substack{i\geqq 1 \\ j\geqq 0}} \frac{1}{i^m} \frac{(-1)^n n!}{(i+j)^{n+1}} \\ &=(-1)^n n! \sum_{\substack{i\geqq 1}}\frac{1}{i^m} \left( \frac{1}{i^{n+1}} + \sum_{j \geqq 1}\frac{1}{(i+j)^{n+1}}\right)\\ &= (-1)^n n!\left(\zeta(m+n+1) + \sum_{i,j\geqq 1} \frac{1}{i^m (i+j)^{n+1}}\right)\\ &= (-1)^n n!\left(\zeta(m+n+1) + \sum_{0 < p < q} \frac{1}{p^m q^{n+1}} \right)\\ &= (-1)^n n!\left(\zeta(m+n+1) + \zeta(m,n+1)\right). \end{align*}$$

投稿日：2020年11月9日

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Re_menal

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