対数関数と多重対数関数が入った積分

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こんにちは．今回はtria_mathさんの記事，自己紹介の最後に書かれている問題を解き，それの一般化を証明したいと思います．

問題

\int_{0}^{1} \frac{{Li}_{2} (x) \ln^{2} x}{x (1 - x)} d x = ?

解答

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{{Li}_{2} (x) \ln^{2} x}{x (1 - x)} d x & = \int_{0}^{1} \frac{\ln^{2} x}{x} (\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{x^{i}}{i^{2}}) (\sum_{j = 0}^{\infty} x^{j}) d x \\ = \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \\ j ≧ 0 \end{array}} \frac{1}{i^{2}} \int_{0}^{1} x^{i + j - 1} \ln^{2} x d x \\ = \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \\ j ≧ 0 \end{array}} \frac{1}{i^{2}} {\frac{d^{2}}{d t^{2}} \int_{0}^{1} x^{t} d x |}_{t = i + j - 1} \\ = 2 \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \\ j ≧ 0 \end{array}} \frac{1}{i^{2}} \frac{1}{(i + j)^{3}} \\ = 2 \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \end{array}} \frac{1}{i^{2}} (\frac{1}{i^{3}} + \sum_{j ≧ 1} \frac{1}{(i + j)^{3}}) \\ = 2 ζ (5) + 2 \sum_{i, j ≧ 1} \frac{1}{i^{2} (i + j)^{3}} \\ = 2 ζ (5) + 2 \sum_{0 < p < q} \frac{1}{p^{2} q^{3}} \\ = 2 ζ (5) + 2 ζ (2, 3) . \end{aligned}

ここで，

ζ (2, 3) = - \frac{11}{2} ζ (5) + 3 ζ (2) ζ (3)

より（証明は神鳥奈紗さんの記事，depth2,weight7以下のMZVを求めるを参照して下さい），

\begin{aligned} 2 ζ (5) + 2 ζ (2, 3) & = 2 ζ (5) + (- 11 ζ (5) + 6 ζ (2) ζ (3)) \\ = π^{2} ζ (3) - 9 ζ (5) . \end{aligned}

したがって，

\int_{0}^{1} \frac{{Li}_{2} (x) \ln^{2} x}{x (1 - x)} d x = π^{2} ζ (3) - 9 ζ (5) .

一般化

\int_{0}^{1} \frac{{Li}_{m} (x) \ln^{n} x}{x (1 - x)} d x = (- 1)^{n} n! (ζ (m + n + 1) + ζ (m, n + 1))

証明

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{{Li}_{m} (x) \ln^{n} x}{x (1 - x)} d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\ln^{n} x}{x} (\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{x^{i}}{i^{m}}) (\sum_{j = 0}^{\infty} x^{j}) d x \\ = \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \\ j ≧ 0 \end{array}} \frac{1}{i^{m}} \int_{0}^{1} x^{i + j - 1} \ln^{n} x d x \\ = \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \\ j ≧ 0 \end{array}} \frac{1}{i^{m}} {\frac{d^{n}}{d t^{n}} \int_{0}^{1} x^{t} d x |}_{t = i + j - 1} \\ = \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \\ j ≧ 0 \end{array}} \frac{1}{i^{m}} \frac{(- 1)^{n} n!}{(i + j)^{n + 1}} \\ = (- 1)^{n} n! \sum_{\begin{array}{c} i ≧ 1 \end{array}} \frac{1}{i^{m}} (\frac{1}{i^{n + 1}} + \sum_{j ≧ 1} \frac{1}{(i + j)^{n + 1}}) \\ = (- 1)^{n} n! (ζ (m + n + 1) + \sum_{i, j ≧ 1} \frac{1}{i^{m} (i + j)^{n + 1}}) \\ = (- 1)^{n} n! (ζ (m + n + 1) + \sum_{0 < p < q} \frac{1}{p^{m} q^{n + 1}}) \\ = (- 1)^{n} n! (ζ (m + n + 1) + ζ (m, n + 1)) . \end{aligned}

投稿日：2020年11月9日

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