複素関数を微分方程式にして解いたらレムニスケートとその友達が現れた

$f$の積分曲線$(x,y)について$
$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$とおく
このとき$x'=r'\cos\theta-r\theta'\sin\theta, y'=r'\sin\theta+r\theta'\cos\theta$
$(x+yi)^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$より

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} r'\cos\theta-r\theta'\sin\theta = r^n\cos n\theta\\ r'\sin\theta+r\theta'\cos\theta = r^n\sin n\theta \end{array} \right. \end{eqnarray}

$$ \iff\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} r'\cos^2\theta-r\theta'\sin\theta\cos\theta = r^n\cos n\theta\cos\theta\\ r'\sin^2\theta+r\theta'\cos\theta\sin\theta = r^n\sin n\theta\sin\theta\\ r'\sin\theta\cos\theta+r\theta'\cos^2\theta = r^n\sin n\theta\cos\theta\\ r'\sin\theta\cos\theta-r\theta'\sin^2\theta = r^n\cos n\theta\sin\theta\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

$$ \iff\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} r'= r^n\cos (n-1)\theta\cdots(1)\\ r\theta' = r^n\sin (n-1)\theta\cdots(2)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

$$\Longrightarrow (r^{n-1})'\sin (n-1)\theta=r^{n-1}(\sin (n-1)\theta)'$$
$$\Longrightarrow r^{n-1}=C\sin (n-1)\theta \ (Cは任意の実数), \ \sin (n-1)\theta=0$$
これらはそれぞれ、$r^{n-1}=C\sin((n-1)\theta) \ (Cは任意の実数)と表せる曲線$偏角が$\frac{2\pi}{n-1}$の整数倍の直線を表している

補題から$r^n=a\sin n\theta$と表せる曲線が$ある実数a(\neq0)が存在して、aiのn乗根からの距離の総積がaとなる曲線$であることを示せば十分
$ai$の$n$乗根のうち偏角が最小なものを$\zeta_n$とおく
このとき$ある実数a(\neq0)が存在して、aiのn乗根からの距離の総積がaとなる曲線$は
$$\prod_{k=0}^{n-1}|z-\zeta_n^k|=a$$
を満たす$z$の集合であるといえる
左辺は$z$について$ai$の$n$乗根を全て根にもつモニック多項式であるから
$|z^n-ai|=a$
$(z^n-ai)(\bar{z}^n+ai)=a^2$
$z^n\bar{z}^n-ai(z^n-\bar{z}^n)=0$
$z=re^{i\theta}$とおくと(極形式表示)
$r^{2n}=2ar^n\sin n\theta$
$r=0$(原点)または$r^n=a\sin n\theta$(求めたかった曲線)$\blacksquare$