複素関数を微分方程式にして解いたらレムニスケートとその友達が現れた

$f$の積分曲線$(x,y)について$
$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$とおく
このとき$x^{\prime }=r^{\prime }\cos \theta -r{\theta }^{\prime }\sin \theta ,y^{\prime }=r^{\prime }\sin \theta +r{\theta }^{\prime }\cos \theta$
$(x+yi{)}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$より

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{r}^{\prime }\cos \theta -r{\theta }^{\prime }\sin \theta =r^n\cos n\theta \\ r^{\prime }\sin \theta +r{\theta }^{\prime }\cos \theta =r^n\sin n\theta \end{array}\end{array}$$

$$⟺\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{r}^{\prime }{\cos }^2\theta -r{\theta }^{\prime }\sin \theta \cos \theta =r^n\cos n\theta \cos \theta \\ r^{\prime }{\sin }^2\theta +r{\theta }^{\prime }\cos \theta \sin \theta =r^n\sin n\theta \sin \theta \\ r^{\prime }\sin \theta \cos \theta +r{\theta }^{\prime }{\cos }^2\theta =r^n\sin n\theta \cos \theta \\ r^{\prime }\sin \theta \cos \theta -r{\theta }^{\prime }{\sin }^2\theta =r^n\cos n\theta \sin \theta \end{array}\end{array}$$

$$⟺\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{r}^{\prime }=r^n\cos (n-1)\theta \cdots (1)\\ r{\theta }^{\prime }=r^n\sin (n-1)\theta \cdots (2)\end{array}\end{array}$$

$$⟹(r^{n-1}{)}^{\prime }\sin (n-1)\theta =r^{n-1}(\sin (n-1)\theta {)}^{\prime }$$
$$⟹r^{n-1}=C\sin (n-1)\theta (Cは任意の実数),\sin (n-1)\theta =0$$
これらはそれぞれ、$r^{n-1}=C\sin ((n-1)\theta )(Cは任意の実数)と表せる曲線$偏角が$\frac{2\pi }{n-1}$の整数倍の直線を表している

補題から$r^n=a\sin n\theta$と表せる曲線が$ある実数a(\ne 0)が存在して、aiのn乗根からの距離の総積がaとなる曲線$であることを示せば十分
$ai$の$n$乗根のうち偏角が最小なものを${\zeta }_n$とおく
このとき$ある実数a(\ne 0)が存在して、aiのn乗根からの距離の総積がaとなる曲線$は
$$\prod _{k=0}^{n-1}|z-{\zeta }_n^k|=a$$
を満たす$z$の集合であるといえる
左辺は$z$について$ai$の$n$乗根を全て根にもつモニック多項式であるから
$|z^n-ai|=a$
$(z^n-ai)({\overline{z}}^n+ai)=a^2$
$z^n{\overline{z}}^n-ai(z^n-{\overline{z}}^n)=0$
$z=r{e}^{i\theta }$とおくと(極形式表示)
$r^{2n}=2a{r}^n\sin n\theta$
$r=0$(原点)または$r^n=a\sin n\theta$(求めたかった曲線)$◼$