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大学数学基礎解説
文献あり

「1/2^nは0に収束する」を証明する(1/nの部分列であることを使いながら)

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経緯

 以前に書いた記事 「区間縮小法の原理で『2乗して2になる正の実数(√2)』の存在を確認する」 内で行っているlimn12n=0の証明についてTwitterでコメントをいただきました。

 上記の記事内では、以下のステップで示しています。

① 1以上の整数に対し、n<2nが成立することを示す。
② アルキメデスの性質により、limn1n=0を示す。
③ ①より、12n<1nが成り立つので、このことと②からlimn12n=0を示す。

 この証明に対して「{12n}{1n}の部分列であることと②を使えば、①を省略できる」という旨のご指摘いただきました。

 上記事実は当たり前に感じる方も多いと思うのですが、せっかくなので「部分列の定義」に戻りつつ、limn12n=0を証明していきたいと思います。

部分列

集合N1以上の整数全体とし、写像f:NNは順序を保つ単射(m,nNについて、m<nならばf(m)<f(n)を満たす)であるとする。このとき、数列{an}に対して、bn=af(n)としたとき、数列{bn}{an}の部分列という。

※参考:内田伏一「集合と位相」p.143

今回のケースに当てはめてみましょう。写像f:NNf(n)=2nとすれば、m,nNについて、m<nならばf(m)<f(n)を満たします。an=1n (n=1,2,3,)として数列{an}を定め、bn=af(n)とすると、bn=af(n)=1f(n)=12nとなり、{12n}{1n}の部分列であることが確認できました。

収束する数列の部分列は、元の数列と同じ収束値に収束する

数列{bn}は数列{an}の部分列であるとする。{an}αに収束するならば、{bn}αに収束する。

この命題を証明する前に、今回のケースに当てはめてみましょう。{1n}0に収束することを示せれば、上記の命題により、{1n}の部分列である{12n}0に収束することがわかります。

では、 趣味の大学数学「収束する点列の部分列が収束することの証明」 を参考にしながら、まずは以下の補題を示していきます。こちらのサイトでは、一般の距離空間を対象にしていますが、本記事では1次元ユークリッド空間のみを考えていきます。

集合N1以上の整数全体とし、写像f:NNは順序を保つ単射(m,nNについて、m<nならばf(m)<f(n)を満たす)であるとする。このとき、MNについてMf(M)が成り立つ。

数学的帰納法で示す。

f(1)1以上の整数であることから、1f(1)が成立する。

kNについて
kf(k)
が成立すると仮定する。両辺に1を加えると
k+1f(k)+1(1)
となる。

fは順序を保つ単射なのでf(k)<f(k+1)が成り立つ。f(k),f(k+1)1以上の整数なので
f(k+1)f(k)1
であり
f(k+1)f(k)+1(2)
となることがわかる。

(1)(2)より
k+1f(k)+1f(k+1)
となり、k+1f(k+1)が成り立つ。

以上より、すべてのMNについてMf(M)が成り立つことが示された。

この補題を使いながら、命題1を証明していきます。

命題1の証明

{an}αに収束するので、任意の正の実数ϵに対し、ある1以上の整数nϵが存在して、n>nϵならば
|anα|<ϵ(1)
を満たす。

{bn}{an}の部分列なので、ある順序を保つ単射f:NN(集合N1以上の整数全体)が存在して、bn=af(n)とかける。

ここで、補題より
nϵf(nϵ)(2)
である。

また、fは順序を保つ単射なので、nNについて
nϵ<nf(nϵ)<f(n)(3)
が成り立つ。

(2)(3)より、nϵ<nならば
nϵf(nϵ)<f(n)
となるので
nϵ<f(n)
であることがわかる。

したがって、(1)より、nϵ<nならば
|af(n)α|<ϵ
を満たす。

以上より、bn=af(n)であることから、任意の正の実数ϵに対し、ある1以上の整数nϵが存在して、n>nϵならば
|bnα|<ϵ
を満たすことがわかる。

limn12n=0

limn12n=0

ϵを任意の正の実数とする。

アルキメデスの性質より、ある1以上の整数nϵが存在して
(0<)1ϵ<nϵ
を満たす。

よって、n>nϵを満たす、1以上の整数nについて
1ϵ<n
が成り立つ。

したがって
1n<ϵ
となる。

よって、任意の正の実数ϵに対し、ある1以上の整数nϵが存在して、n>nϵならば
|1n|<ϵ
を満たす。

ゆえに、{1n}0に収束する。

{12n}{1n}の部分列であることと、命題1から、{12n}0に収束することがわかる。

感想など

 f(n)=2nとすると、補題は「MNについてM2Mが成り立つ」と主張しているので、本記事の証明では、元の記事における証明ステップ「①1以上の整数に対し、n<2nが成立することを示す」を実質的には省略できていなそうだな、と思いました。もっとシンプルな良いアプローチがあるのかもしれません。

 また、本記事の内容は「自明」で終わらせて良いことなのかもしれませんが、自分の理解のためにも長々と書いてみました。以前に書いた記事 「区間縮小法の原理で『2乗して2になる正の実数(√2)』の存在を確認する」 と同様、「この仮定、使っていいのかな…?」などと思いつつ恐る恐る証明しました。なにかやばそうであれば、ぜひコメントくださいませ(理解できる力量については自信がないですが…)。自然数や実数と仲良くなりたい!

参考文献

投稿日:20221126
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みぽ
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今日もねこがかわいい。

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  1. 経緯
  2. 部分列
  3. 収束する数列の部分列は、元の数列と同じ収束値に収束する
  4. $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0$
  5. 感想など
  6. 参考文献