Bellの不等式(1/2): "同担拒否モデル"によるBellの不等式の導出
はじめに： "同担拒否型"Bellの不等式および量子計算機による検証
「Bellの不等式」は今年度ノーベル物理学賞の対象となった研究であり(Ref.[1])、量子力学と古典力学の本質的な差異を浮き彫りにする不等式です。「ゆる学徒ハウス別館」というYouTubeチャンネル(Ref.[2])においてこの不等式を説明する際、エンタングルした全スピン0の電子のペア（後述します）を「同担拒否」に例えていました。同担拒否とは、自分が好きなキャラクター・アイドル・VTuber等に関し、同じ対象を好きな者を拒絶する態度を指します。以下「好きな対象」を「推し」と称します。例えば好きなアイドルグループのコンサートを２人で見にいくとき、同担拒否の２人の推しはかぶりません。
本記事では「同担拒否」の２人に関する推しの統計分布によりBellの不等式を構成します。Bellの不等式にはいくつか違うバージョンがあるのですが、ここで扱うのはJJ.Sakurai「現代の量子力学(上)」(Ref.[3])に記載されている不等式です。不等式の構成法は（同担拒否という概念を用いていること以外）この教科書と同じです。
次の記事では、実際にIBMの量子計算機において計算を実行し(Refs.[4][5])、本記事の形のBellの不等式の破れを実機で確認します。 ちょっと前までは信じられないことだったのですが、いまや量子コンピュータは簡単に使えます。Bellの不等式の破れの確認実験に関する、量子計算の古典計算機におけるシミュレーション、および実際の量子計算機による検証結果を示します。
（次の記事： Bellの不等式(2/2): 量子計算機によるBellの不等式の破れの検証 ）
Bellの不等式の同担拒否モデル
ある3人組のアイドルグループがあります。この３人を$a,b,c$と呼ぶことにします。このグループのコンサートに来ている2人組に、誰が推しかアンケートをとります。ただし2人組は、みな「同担拒否」とします。これは、2人組のうち1人が$i \ (=a \text{ or }b\text{ or }c)$を推すなら、もうひとりは$i$を推さないという反相関が成立しているということです。
同担拒否の２人の図。下の表のP3のパターンに対応する。
このような条件のもとでは、可能な推しの組み合わせは下の表のようになります。ここで、メンバー$i \ (i=a,b,c)$を推している場合$i+$、推していない場合$i-$と表すことにします。また2人組のひとりをA、もうひとりをBと呼ぶことにします。
| パターン | Aの推し | Bの推し | 組の数 |
|---|---|---|---|
| P1 | $(a+,b+,c+)$ | $(a-,b-,c-)$ | $N_1$ |
| P2 | $(a+,b+,c-)$ | $(a-,b-,c+)$ | $N_2$ |
| P3 | $(a+,b-,c+)$ | $(a-,b+,c-)$ | $N_3$ |
| P4 | $(a+,b-,c-)$ | $(a-,b+,c+)$ | $N_4$ |
| P5 | $(a-,b+,c+)$ | $(a+,b-,c-)$ | $N_5$ |
| P6 | $(a-,b+,c-)$ | $(a+,b-,c+)$ | $N_6$ |
| P7 | $(a-,b-,c+)$ | $(a+,b+,c-)$ | $N_7$ |
| P8 | $(a-,b-,c-)$ | $(a+,b+,c+)$ | $N_8$ |
表の一番右の列は、それぞれのパターンに当てはまる組の数です。
ここで、以下の数を定義します：
\begin{align}
N(i_A f_A; i_B f_B)
\end{align}
これは、$A$がメンバー$i_A (=a \text{ or } b \text{ or } c)$に関し態度（=推しか否か）が$f_A (=+ \text{ or } -)$であり、かつ$B$がメンバー$i_B$に関し態度が$f_B$であるような組の数とします。すると
\begin{align}
N(a+;b+)\le N(a+;c+)+N(c+;b+)
\end{align}
が成立します。なぜなら、$N(af^a_A,bf^b_A,cf^c_A; af^a_B,bf^b_B,cf^c_B)$を「$i (=A \text{ or } B)$がメンバー$j (=a \text{ or } b \text{ or } c)$に関して態度$f^j_i (=+ \text{ or } -)$であるような組の数」とすると、態度が指定されていないメンバーに関する場合分けにより
\begin{align}
N(a+;b+)&=\underset{(\alpha)}{\underline{N(a+,b-,{\color{red} c+};a-,b+,{\color{red} c-})}}
+ \underset{(\beta)}{\underline{N(a+,b-,{\color{red} c-};a-,b+,{\color{red} c+})}}\\
&\le \left(N(a+,{\color{red} b+},c-;a-,{\color{red} b-},c+)
+\underset{(\beta)}{\underline{N(a+,{\color{red} b-},c-;a-,{\color{red} b+},c+)}}\right)\\
& \ + \left(\underset{(\alpha)}{\underline{N({\color{red} a+},b-,c+;{\color{red} a-},b+,c-)}}+N({\color{red} a-},b-,c+;{\color{red} a+},b+,c-)\right)\\
&=N(a+;c+)+N(c+;b+)
\end{align}
が成立するからです。ここで場合分けに使用したメンバーを赤文字で強調しました。表にある「組の数」を用いるとこの不等式はもっと簡単に導けます。不等式に現れる数を「組の数」で表すと
\begin{align}
N(a+;b+)&=N_3+N_4,\\
N(a+;c+)&=N_2+N_4,\\
N(c+;b+)&=N_3+N_7
\end{align}
なので、$N(a+;b+)\le N(a+;c+)+N(c+;b+)$が成立します。
この不等式をすべての組の数でnormalizeし、対応する確率を$P$で表すと、Bellの不等式
\begin{align} \ P(a+;b+)\le P(a+;c+)+P(c+;b+) \end{align}
を得ます。
量子力学におけるBellの不等式の破れ
以下、「同担拒否モデル」と似た状況を量子力学において設定し、対応する確率の計算を行います。
Bornの規則
まず、Bornの規則と呼ばれる、量子力学の観測に関わる原理を記しておきます：
量子状態はヒルベルト空間の元である。これを$|w\rangle$とする。
$|w\rangle$に対し物理量$S$を観測することを考える。量子力学では物理量はエルミート演算子であり、演算子は$|w\rangle$に作用する。このとき測定される可能な物理量の値は$S$の固有値である。$S$はエルミート演算子なので、固有値は実数であり、また固有ベクトルは互いに直交する（ここでは固有値の縮退はないものとする）。$S$の固有値の集合を$\{\alpha\}$, 固有ベクトルの集合を$\{|v\rangle\}$とすると（離散スペクトルを仮定）、固有値$\alpha_i$を観測する確率は、量子状態$|w\rangle$を
\begin{align}
|w\rangle=\sum_i |v_i\rangle\langle v_i|w\rangle
\end{align}
と展開した際の係数$|\langle v_i|w\rangle|^2$に比例する。$|w\rangle, |v_i\rangle$がどちらも規格化されているならば、この確率は
\begin{align}
P(\alpha_i)=|\langle v_i|w\rangle|^2/\sum_j |\langle v_j|w\rangle|^2=|\langle v_i|w\rangle|^2
\end{align}
である。
次のようにも言える。$\hat P_i=|v_i\rangle\langle v_i\rangle$とすると、測定値$\alpha_i$が得られる確率$P(\alpha_i)$は
\begin{align}
P(\alpha_i)=\langle w|\hat P_i|w\rangle = \langle w |v_i\rangle\langle v_i|w\rangle
=|\langle v_i|w\rangle|^2
\end{align}
である。
Bornの規則を具体的な例で説明します。ここではスピンを観測することを考えます。スピンとは、粒子の自転、また磁石性に対応する自由度です。電子の場合スピンは2つの状態しかとりません。これは矢印のようなもので、ある方向に対し上か下かの2つを取るものだと思えばいいです。数学的には、次に導入する、2行2列の複素行列で表現されるスピン演算子（観測する方向によって異なる）の固有状態です。
以下、z方向のスピンの固有状態を$(1,0)^T,(0,1)^T$とする基底で考えます。このとき、x,y,z方向のスピン演算子およびそれらの固有値・固有ベクトルは以下のように表せます：
★ スピン演算子$S_x,S_y,S_z$の具体的な表示:
\begin{align}
\sigma_x=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
,
\sigma_y=
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
,
\sigma_z=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
\end{align}
として
\begin{align}
S_x=\frac{\hbar}{2}\sigma_x=
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
, \
S_y=\frac{\hbar}{2}\sigma_y=
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
, \
S_z=\frac{\hbar}{2}\sigma_z=
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
\end{align}
★ $S_x, S_y, S_z$の固有値$\alpha$と固有ベクトル$v$:
\begin{align}
S_x:& \ \alpha^x_\pm=\pm\frac{\hbar}{2}, \ v^x_+=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
,
v^x_-=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1\\
-1
\end{pmatrix}
,
\\
S_y:& \ \alpha^x_\pm=\pm\frac{\hbar}{2}, \ v^y_+=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
i\\
-i
\end{pmatrix}
,
v^y_-=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
i\\
i
\end{pmatrix}
,
\\
S_z:& \ \alpha^z_\pm=\pm\frac{\hbar}{2}, \ v^z_+=
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
,
v^z_-=
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
\end{align}
以下では$\pm\hbar/2$の固有値をそれぞれ「+,-」や「プラス、マイナス」と呼ぶことがあります。
また、$i(=x,y,z)$軸まわりにスピンを回転させる演算子は以下のように表せます：
★ $i$軸まわりの角度$\theta$の回転行列:
\begin{align}
{\mathscr D}_i(\theta)=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\theta S_i\right)
\end{align}
これで準備は完了です。
電子のスピンを例にとります。z方向のスピンを測定することにしましょう。
たとえばスピン量子状態が
\begin{align}
w=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1\\i
\end{pmatrix}
\end{align}
とします($|w|^2=1$となるように規格化しています)。これを$S_z$の固有ベクトルで展開すると
\begin{align}
w=\frac{1}{\sqrt{2}}(v^z_++iv^z_-)
\end{align}
のように一意的に表せます。$w,v$どちらも規格化されているので、Bornの規則より、$w$に関してz方向のスピンを観測すると
$\ \ \ |1/\sqrt{2}|^2=1/2$の確率で固有値$\hbar/2$、$|i/\sqrt{2}|^2=1/2$の確率で固有値$-\hbar/2$
を得ます。
そして、物理量$S$を観測して固有値$\alpha_i$を得ると、量子状態$w$は
\begin{align}
w\rightarrow v_i
\end{align}
に変化します。これが波束の収縮と呼ばれる現象です。
まとめると、量子状態$|w\rangle$が与えられたとき、物理量$S$（$|w\rangle$に作用するエルミート演算子）を測る際に得られる物理量の値とその確率は以下のように与えられます：
- $S$の固有値と固有ベクトルを求める。これらの集合を$\{\alpha\},\{|v\rangle\}$とする
- 得られる物理量の値は$S$の固有値のどれかである。$S$の固有値$\alpha_i$を得る確率は($w,v$が規格化されているならば)$|\langle v_i|w\rangle|^2$である
- ある固有値$\alpha_i$が得られたら、状態は$|w\rangle$から$|v_i\rangle$に変化する
2粒子状態とエンタングルメント
2粒子の状態は、それぞれの粒子が属するヒルベルト空間における状態を指定することで記述されます。$|0\rangle,|1\rangle$をそれぞれz方向のスピンの固有値が$+,-$の状態とします。このとき、粒子Aが$|0\rangle$、粒子Bが$|1\rangle$で記述される状態は
\begin{align}
|w\rangle_{2\text{ particles}}=|0\rangle \otimes |1\rangle
\end{align}
のように表わされます。$\otimes$の左側に記述した状態が粒子Aの状態、右側に記述した状態が粒子Bの状態とします。この状態はそれぞれの粒子の状態の直積で書かれます。以下では上式の$"2\text{ particles}"$及び$\otimes$は書かないことにします。
ところが、このような直積の形では書けないことがあります。例えば
\begin{align}
|w\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle-|1\rangle |0\rangle)
\end{align}
がその例です。このような状態を「エンタングルした状態」と呼びます。上記の状態は、粒子Aがz方向のスピン+なら粒子Bはz方向のスピン-であり、粒子Aがスピン-ならBはスピン+である反相関が成立しています:
\begin{align}
\ \ \langle w|0\rangle|0\rangle\langle0|\langle0|w\rangle=0, \
\langle w|0\rangle|1\rangle\langle1|\langle0|w\rangle=1/2, \
\langle w|1\rangle|0\rangle\langle0|\langle1|w\rangle=1/2, \
\langle w|1\rangle|1\rangle\langle1|\langle1|w\rangle=0
\end{align}
この状態は全スピンが0の状態です（= SU(2)群において、2つのスピン1/2表現の直積を既約分解したもののうち反対称な表現）。この状態は回転に対して共変的であり、任意の方向に対するスピンの測定において反相関性が保たれます。これは以下のようにしてわかります。y軸回りに$|0\rangle, |1\rangle$を$\theta$だけ回転した状態を$|\tilde 0\rangle, |\tilde 1\rangle$と書くことにします。このとき
\begin{align}
|\tilde 0\rangle & = {\mathscr D}_y(\theta)|0\rangle
=
\begin{pmatrix}
c & -s\\
s & c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c\\
s
\end{pmatrix}
\ \ \ \ (c:=\cos(\theta/2), s:=\sin(\theta/2)),\\
|\tilde 1\rangle &= {\mathscr D}_y(\theta)|1\rangle
=
\begin{pmatrix}
c & -s\\
s & c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-s\\
c
\end{pmatrix}
\end{align}
です。これを用いて上記$|w\rangle$を$|\tilde 0\rangle,|\tilde 1\rangle$で書き直すと
\begin{align}
|w\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle-|1\rangle|0\rangle)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\tilde 0\rangle|\tilde 1\rangle-|\tilde 1\rangle|\tilde 0\rangle)
\end{align}
となります。よって、どんな角度$\theta$でスピンを観測しても、回転したスピン演算子の固有状態$|\tilde 0\rangle,|\tilde 1\rangle$に対し反相関が成立します。また、回転したz方向のスピン演算子${\mathscr D}_y(\theta)S_z {\mathscr D}^\dagger_y(\theta)$の固有値は、回転しないときと変わらず常に$\pm\hbar/2$であることも簡単にわかります。
以下ではこのエンタングルした状態が重要です。
「同担拒否モデル」に対応する量子力学的セットアップ
以上の準備をもとに、量子論において$P(a+;b+), P(a+;c+), P(c+;b+)$を計算します。
前章で議論したBellの不等式に対応する量子論的な式を、スピンの測定において構成します。
そのために以下のセットアップを用意します:
- 同担拒否の2人組の推しを、2粒子のスピン状態に対応させます。
- 観測対象は全スピンが0の状態とします:
\begin{align} |w\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle-|1\rangle|0\rangle) \end{align}
先述した通り、この状態に対しどの方向のスピンを観測しても、1/2の確率でプラス、1/2の確率でマイナスの固有値を得ます。 - $a,b,c$をそれぞれ$x$-$z$2次元平面上の$\hat a, \hat b, \hat c$方向のスピンの値とします（図2参照）。ここで$\hat a$方向は$z$軸に、$\hat b$方向は$z$軸から$2\theta$だけ回転した方向に、$\hat c$方向はその真ん中、すなわち$x$軸から$\theta$だけ回転した方向とします
![!FORMULA[142][-148884171][0]の方向](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2F20221127121942.jpg?alt=media)
$\hat a, \hat b, \hat c$の方向
- $P(i_Af_A;i_Bf_B) \ \ (i=a,b,c,\ \ f=\pm)$は、粒子Aの$i_A$方向のスピンの固有値として$f_A$を観測し、かつ粒子Bの$i_B$方向のスピンの固有値として$f_B$を観測する確率を表すことにします。例えば$P(a+;b+)$は、Aに対し$\hat a$方向のスピンを観測したときプラスかつBに対し$\hat b$方向のスピンを観測したときプラスである確率とします。
確率の計算
$P(a+;b+)$の計算
セットアップで述べたように、初期状態は
\begin{align}
|w\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle-|1\rangle|0\rangle)
\end{align}
です。$\hat a$はz方向、$\hat b$は$\hat a$と角度$2\theta$をなすので、Bornの規則より$\hat P(a+;b+)=|0\rangle R_y(2\theta)|0\rangle \langle 0|R_y^\dagger(2\theta)\langle 0|$として$P(a+;b+)=\langle w|\hat P(a+;b+)|w\rangle$になります。計算すると
\begin{align}
P(a+;b+)&=\frac{1}{2}(\langle 1|\langle 0|-\langle 0|\langle 1|)
|0\rangle R_y(2\theta)|0\rangle \langle 0|R_y^\dagger\langle0|(2\theta)
(|0\rangle|1\rangle-|1\rangle|0\rangle)\\
&=\frac{1}{2}|\langle 1|R_y(2\theta)|0\rangle|^2
\end{align}
ここで
\begin{align}
R_y(2\theta)=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\end{align}
なので
\begin{align}
P(a+;b+)&=\frac{1}{2}
\left|
\begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
\right|^2\\
&=\frac{1}{2}\sin^2\theta
\end{align}
となります。
$P(a+;c+), P(c+;b+)$は観測量であり回転不変な量であることから、2つのベクトルのなす角の関数なので、上式の$\theta$を$\theta/2$に変更して
\begin{align}
P(a+;c+)=P(c+;b+)=\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)
\end{align}
を得ます。きちんと計算してももちろん同じ答えを得ます。
以上から、本セットアップにおけるBellの不等式は
\begin{align} P(a+;b+)\le P(a+;c+)+P(c+;b+) \ \leftrightarrow \ \frac{1}{2}\sin^2\theta\le \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\tag{1} \end{align}
となります。しかしこれは$0<\theta<\pi/2$で成立しません。
よって、本セットアップで実際に量子実験を行い、不等式が成立するか否かを検証すれば、量子力学が古典的統計系と本質的に違うか否かを検証することができます。そして次の記事で示すとおり、Bellの不等式は量子力学では破れます。
ちなみにEq.(1)の右辺は$\theta\rightarrow \theta+2\pi$に対して不変ではありません（$\hat a, \hat b$のなす角度を$2\theta$としているので、左辺で対応する回転は$\theta\rightarrow \theta+\pi$）。これはスピノル表現の性質であり、$4\pi$回転で不変になります。
まとめ
今回は、エンタングルした電子を同担拒否に例え、Ref.[3]に記載されている形のBellの不等式を構成しました。
最後に、Bellの不等式が量子力学で破れる理由とその意味を少し考察します。
同担拒否ペアにより構成したBellの不等式で本質的なのは、どの２人組も潜在的には各メンバー$a,b,c$に対して態度（推す or 推さない）が定まっていることです。インタビューするまでそれがわかっていないだけです。そして、$a$と$b$を推す2人組を、$c$に対する態度により場合分けすることで、Bellの不等式を構成しました。ところが、量子力学では、このような場合分けができません。つまり、潜在的に$\hat a, \hat b, \hat c$方向のスピンが確定していて、観測したときにそれがわかると考えてはいけないのです。観測される物理量の値は、それが観測される前から定まっているという性質を実在性と言いますが、量子論ではこの実在性が成立していません。
また、エンタングルしている2粒子は、それらがどんなに離れても相関を持ちます。しかしながら、この相関はそれらが相互作用している（=力を及ぼし合っている）ことでもたらされるわけではありません。相互作用による相関は、光の速度を超えて伝わることはありませんが、エンタングルしたペアは光速を超えて相関していることが実験的にわかっています(Ref.[6])。そして、この相関で遠方に情報を伝えることはできません。粒子のペアで情報を伝えるためには、何かがある粒子に影響を及ぼし、その影響が遠方の粒子に伝わり、それを観測できなければなりません。しかしスピンの観測はコントロールできるものではなく、ただ確率的に観測されるものです。よってこれにより情報を伝えることはできず、ゆえに相対論には矛盾しません。
情報や相関が光より早く伝わることはないという性質を局所性と言います。量子論は、相関が光速を超えて存在しているという意味で局所性を破ります。以上から、量子論は、局所性及び実在性を備える理論、つまり局所実在論では記述できないことになります。
次の記事において、実際の量子計算機によりBellの不等式の破れを確認します:
Bellの不等式(2/2): 量子計算機によるBellの不等式の破れの検証
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