Bellの不等式(2/2): 量子計算機によるBellの不等式の破れの検証

前回の記事では、Bellの不等式
\begin{align} P(a+;b+)\le P(a+;c+)+P(c+;b+) \end{align}
を、同担拒否の2人組への推しに関するアンケート結果から構成した。これはJJ.Sakuraiの教科書(Ref.[1])に記載されている形のBellの不等式である。次に、対応する量子力学的なBellの不等式を、3つの方向$\hat a, \hat b, \hat c$に対するスピンの測定により構成した。その結果
\begin{align} P(a+;b+)=\frac{1}{2}\sin^2\theta, \ \ \ P(a+;c+)=P(c+;b+)=\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{align}
を得た。よって上記のBellの不等式は量子論において
\begin{align} \frac{1}{2}\sin^2\theta \le \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{align}
となる。この式は$0\le \theta < \pi/2$で破れる。

1. 量子ビットと古典ビット

   上の2本の線が量子ビット(qubit)です。今回は2 qubit（$q_0,q_1$）の計算を行います。
   cと書いてある下の2重線は、古典的なビット(bit)です。2と書いてあるのは2bit用意してあることを意味します。これはqubitを計測して書き込むためのbitであり、量子計算には基本的に関係しません。よって上2本の線のみに注目すればよいです。

2. 初期状態

   初期状態を$q_0,q_1$ともに$|0\rangle$（z方向のスピンのプラス固有値の固有状態）にセットします。

3. スピン演算子

   x,y,z方向のスピン演算子は、前回の記事の$S_x,S_y,S_z$から$\hbar$を除いたものとします:
   \begin{align} &\sigma_x= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \ \sigma_x= \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} , \ \sigma_x= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ & S_x=\sigma_x/2, \ S_y=\sigma_y/2, \ S_z=\sigma_z/2 \end{align}
   $S_x$の$+1/2$の固有値の固有状態を$|+\rangle$、$-1/2$の固有値の固有状態を$|-\rangle$と呼びます。このとき
   \begin{align} |+\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} ,\\ |-\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)\leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \end{align}
   です。（ちなみに以下では出てきませんが、$S_y$の固有状態を$|\circlearrowleft\rangle,|\circlearrowright\rangle$と書きます）

4. H: Hadamardゲート

   HはHadamardゲートと呼ばれます。これは1qubitに対する操作で、
   \begin{align} H|0\rangle&=|+\rangle,\\ H|1\rangle&=|-\rangle,\\ \end{align}
   のように基底を変換するunitary演算子です。

5. Controlled NOT (CNOT)ゲート

   $q_0$と$q_1$をつなぐ青い線の端に青小丸と十字の入った大きい丸がついているのは、Controlled NOT (CNOT) ゲートです。これは、青小丸がついてる方のqubit(制御qubit)が$|1\rangle$のとき、十字つきの丸がついているqubitを反転します。そうでないときは何もしません。すなわち、制御qubitにcをつけると
   \begin{align} &|1\rangle_c|0\rangle\rightarrow |1\rangle_c|1\rangle,\\ &|1\rangle_c|1\rangle\rightarrow |1\rangle_c|0\rangle,\\ &|0\rangle_c|0\rangleと|0\rangle_c|1\rangleは不変\\ \end{align}
   という変換です。

6. Z: Zゲート

   Zは1 qubitに対するゲートで$\sigma_z$です。これは
   \begin{align} |0\rangle&\rightarrow |0\rangle,\\ |1\rangle&\rightarrow -|1\rangle, \end{align}
   という変換です。よって$|i\rangle \ (i=0,1)$を$(-1)^i|i\rangle$に変換します。このように状態のラベルに対応するphase（位相）を返すことを"phase kickback"と言います。

7. X: NOTゲート

   Xは1 qubitに対するゲートでNOTゲートです。これは
   \begin{align} |0\rangle&\rightarrow |1\rangle,\\ |1\rangle&\rightarrow |0\rangle, \end{align}
   という変換です。

8. y軸まわりの回転

   $R_y$は、qubitをy軸のまわりに回転させる演算です。
   具体的には
   \begin{align} R_y(\theta)=\exp\left(-\frac{i\theta}{2}\sigma_y\right)= \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{align}
   です。図1の$R_y$の下に示されている数字が回転角です。図では特別な値が代入されていますが、実際には様々に変化させて計算を行います。

9. 測定

   回路の右端には、計測器のような記号があります。これはそのとおり観測をする部分です。観測は$|0\rangle, |1\rangle$の基底で行われます。qubit$q_0,q_1$の観測結果（$|0\rangle$なら0、$|1\rangle$なら1）をclassical bit 1,2に書き込みます。

• ①0: $|0\rangle$, ①1: $|0\rangle$
• ②0: $|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$, ②1: $|0\rangle$
• ③: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|0\rangle+|1\rangle|1\rangle)$ ...CNOTゲートによりエンタングルした状態
• ④: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle-|1\rangle|0\rangle)$ ...全スピン0の2粒子状態
• ⑤: $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(R_y(\theta_0)|0\rangle R_y(\theta_1)|1\rangle-R_y(\theta_0)|1\rangle R_y(\theta_1)|0\rangle\right)$

④における全スピン0の状態：$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle-|1\rangle|0\rangle)$に対して

1. 「$q_0$に対し$\hat a$方向、$q_1$に対し$\hat b$方向の測定を行う」=「$q_0$の$R_y$の角度を$0$、$q_1$の$R_y$の角度を$2\theta$として観測する」 $\rightarrow P(a+,b+)$を得る
2. 「$q_0$に対し$\hat a$方向、$q_1$に対し$\hat c$方向に測定を行う」=「$q_0$の$R_y$の角度を$0$、$q_1$の$R_y$の角度を$\theta$として観測する」 $\rightarrow P(a+,c+)$を得る
3. 「$q_0$に対し$\hat c$方向、$q_1$に対し$\hat b$方向に測定を行う」= 「$q_0$の$R_y$の角度を$\theta$、$q_1$の$R_y$の角度を$2\theta$として観測する」 $\rightarrow P(c+,b+)$を得る

ここで$\hat a, \hat b, \hat c$は$x$-$z$平面上図3のように設定しています：

$\hat a, \hat b, \hat c$の方向。どれもx-z平面上に存在している。