【ゲージ理論】いくらかの公式（１）
前の記事: 【ゲージ理論】ゲージ場、曲率、共変微分、共変外微分の定義
ここではゲージ理論における計算に役立ついくらかの公式と証明を述べます。$M$を$m$次元多様体、$G$をLie群、$\mathfrak{g}$を$G$のLie環、$P=P(M,G)$を$M$上の主$G$束とします。$P$の同伴ベクトル束の例として重要なのが次の随伴束です。
$P$の随伴束とは$G$の随伴表現$Ad$に関する同伴ベクトル束$\mathfrak{g}_{Ad}:=P\times_{Ad}\mathfrak{g}$のことである。
物理では$\mathfrak{g}_{Ad}$の切断を随伴表現スカラー場などと呼ぶことがあります。
$K\in\Omega^k(\mathfrak{g}_{Ad}),\ L\in\Omega^l(\mathfrak{g}_{Ad}),\ M\in\Omega^m(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して、次が成り立つ。
(1) $[K\wedge L]=(-1)^{kl+1}[L\wedge K]$
(2) $(-1)^{km}[[K\wedge L]\wedge M]+(-1)^{lk}[[L\wedge M]\wedge K]+(-1)^{ml}[[M\wedge K]\wedge L]=0$
(3) $d[K\wedge L]=[dK\wedge L]+(-1)^k[K\wedge dL]$
(4) $d_A[K\wedge L]=[d_AK\wedge L]+(-1)^k[K\wedge d_AL]$
(1)
$\mathfrak{g}$の基底を$\{E_a\}$とし、$K=K^aE_a,K^a\in\Omega^k(M)$などと書く。
$$
\begin{align}
[K\wedge L]&=K^a\wedge L^b[E_a,E_b]=-(-1)^{kl}L^b\wedge K^a[E_b,E_a]\\
&=(-1)^{kl+1}[L\wedge K]
\end{align}
$$
(2)
$$
\begin{align}
(-1)^{mk}[[K\wedge L]\wedge M]&=(-1)^{mk}K^a\wedge L^b\wedge M^c[[E_a,E_b],E_c]\\
(-1)^{kl}[[L\wedge M]\wedge K]&=(-1)^{kl}L^b\wedge M^c\wedge K^a[[E_b,E_c],E_a]
=(-1)^{kl+k(l+m)}K^a\wedge L^b\wedge M^c[[E_b,E_c],E_a]\\
(-1)^{lm}[[M\wedge K]\wedge L]&=(-1)^{lm}M^c\wedge K^a\wedge L^b[[E_c,E_a],E_b]
=(-1)^{lm+m(k+l)}K^a\wedge L^b\wedge M^c[[E_c,E_a],E_b]
\end{align}
$$
より
$$
\begin{align}
&(-1)^{mk}[[K\wedge L]\wedge M]+(-1)^{kl}[[L\wedge M]\wedge K]+(-1)^{lm}[[M\wedge K]\wedge L]\\
&=(-1)^{mk}K^a\wedge L^b\wedge M^c([[E_a,E_b],E_c]+[[E_b,E_c],E_a]+[[E_c,E_a],E_b])=0
\end{align}
$$
(3)
$$
\begin{align}
d[K\wedge L]&=d(K^a\wedge L^b)[E_a,E_b]=(dK^a)\wedge L^b+(-1)^k K^a\wedge d(L^b)[E_a,E_b]\\
&=[dK\wedge L]+(-1)^k[K\wedge dL]
\end{align}
$$
$\psi\in\Omega^k(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して、次が成り立つ。
(1) $d_Ad_A\psi=[F\wedge\psi]$ (Ricciの恒等式)
(2) $d_AF=0$ (Bianchiの恒等式)
(1)
$d_A\psi=d\psi+[A\wedge\psi]$より
$$
\begin{align}
d_Ad_A\psi&=d(d\psi+[A\wedge\psi])+[A\wedge(d\psi+[A\wedge\psi])]\\
&=d(A\wedge\psi-(-1)^k\psi\wedge A)+A\wedge d\psi-(-1)^{k+1}d\psi\wedge A+[A\wedge[A\wedge\psi]]\\
&=dA\wedge\psi-\psi\wedge dA+A\wedge[A\wedge\psi]-(-1)^{k+1}[A\wedge\psi]\wedge A\\
&=dA\wedge\psi-\psi\wedge dA+A\wedge(A\wedge\psi-(-1)^k\psi\wedge A)-(-1)^{k+1}(A\wedge\psi-(-1)^k\psi\wedge A)\wedge A\\
&=dA\wedge\psi-\psi\wedge dA+A\wedge A\wedge\psi-\psi\wedge A\wedge A\\
&=F\wedge\psi-\psi\wedge F=[F\wedge\psi]
\end{align}
$$
(2)
$$
\begin{align}
d_AF&=dF+[A\wedge F]=d(dA+A\wedge A)+A\wedge F-F\wedge A\\
&=dA\wedge A-A\wedge dA+A\wedge(dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0
\end{align}
$$
$(M,g)$を擬リーマン多様体とします。リーマン接続を$\nabla$で表すとします。$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes A^k(M)$には共変外微分が定義されますが、一般の$\mathfrak{g}$値のテンソル場、すなわち$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes T^{(m,n)}(M)$の切断に対しては共変外微分は定義されません。$T^{(m,n)}(M)$にはリーマン接続から自然に接続が定まりますのでこれも$\nabla$で表すとします。$\mathfrak{g}_{Ad}$の接続$D_A$と$T^{(m,n)}(M)$の接続$\nabla$から$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes T^{(m,n)}(M)$の接続$D^g_A:=D_A\otimes\nabla$が定義されます。$\phi\in \Gamma(\mathfrak{g}_{Ad}\otimes T^{(m,n)}(M))$は局所的には
$$
\phi=\phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}\left(\frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\right)\otimes\cdots\otimes \left(\frac{\partial}{\partial x^{i_m}}\right)\otimes dx^{j_1}\otimes\cdots\otimes dx^{j_n},\\
\phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}\in\Gamma(\mathfrak{g}_{Ad})
$$
と表されるので、
$$
(D^g_A)_k\phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}=\nabla_k \phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}+[A_k,\phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}]
$$
となります。
$D^g_A$は$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes A^k(M)$上にも定義されます。このとき$d_A,D_A,D_A^g$については以下が成り立ちます。
$\psi=\frac{1}{k!}\psi_{i_1\cdots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\in\Omega^k(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して、次が成り立つ。
$$
\begin{align}
(1)&\ d_A\psi=\frac{1}{k!}(D^g_A)_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\
(2)&\ [(D_A)_i,(D_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=[F_{ij},\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]\\
(3)&\ [(D^g_A)_i,(D^g_A)_j]\psi_{kl}=[F_{ij},\psi_{kl}]-\sum_{m=1}^kR^t_{\ell_mij}\psi_{\ell_1\cdots\ell_{m-1} t \ell_{m+1}\cdots\ell_k}
\end{align}
$$
(1)
$$
\begin{align}
d_A\psi&=d\psi+[A\wedge \psi]\\
&=\frac{1}{k!}(\partial_{i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\
&=\frac{1}{k!}(\partial_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\
&=\frac{1}{k!}(\nabla_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\
&=\frac{1}{k!}(\nabla_{i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\
&=\frac{1}{k!}(D^g_A)_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}
\end{align}
$$
(2)
$$
(D_A)_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=\partial_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]
$$
より
$$
(D_A)_i(D_A)_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=\partial_i\partial_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[\partial_iA_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_j,\partial_i\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,\partial_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]
$$
であるから
$$
[(D_A)_i,(D_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=[\partial_iA_j-\partial_jA_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]-[A_j,[A_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]
$$
である。ここでLie環のJacobi恒等式
$$
[A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]+[A_j,[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},A_i]]+[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},[A_i,A_j]]=0
$$
を使うと
$$
\begin{align}
[(D_A)_i,(D_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}&=[\partial_iA_j-\partial_jA_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]
-[A_j,[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},A_i]]-[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},[A_i,A_j]]-[A_j,[A_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]\\
&=[\partial_iA_j-\partial_jA_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[[A_i,A_j],\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]\\
&=[F_{ij},\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]
\end{align}
$$
を得る。
(3)
ほぼ(2)と同様に
$$
(D^g_A)_i(D^g_A)_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=\nabla_i\nabla_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[\nabla_iA_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_j,\nabla_i\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,\nabla_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]
$$
となるから、
$$
\begin{align}
[(D^g_A)_i,(D^g_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=(\nabla_i\nabla_j-\nabla_j\nabla_i)\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[F_{ij},\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]
\end{align}
$$
を得る。