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【ゲージ理論】いくらかの公式(1)

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 前の記事: 【ゲージ理論】ゲージ場、曲率、共変微分、共変外微分の定義

 
 ここではゲージ理論における計算に役立ついくらかの公式と証明を述べます。$M$$m$次元多様体、$G$をLie群、$\mathfrak{g}$$G$のLie環、$P=P(M,G)$$M$上の主$G$束とします。$P$の同伴ベクトル束の例として重要なのが次の随伴束です。

随伴束

 $P$随伴束とは$G$の随伴表現$Ad$に関する同伴ベクトル束$\mathfrak{g}_{Ad}:=P\times_{Ad}\mathfrak{g}$のことである。

物理では$\mathfrak{g}_{Ad}$の切断を随伴表現スカラー場などと呼ぶことがあります。

$K\in\Omega^k(\mathfrak{g}_{Ad}),\ L\in\Omega^l(\mathfrak{g}_{Ad}),\ M\in\Omega^m(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して、次が成り立つ。
(1) $[K\wedge L]=(-1)^{kl+1}[L\wedge K]$
(2) $(-1)^{km}[[K\wedge L]\wedge M]+(-1)^{lk}[[L\wedge M]\wedge K]+(-1)^{ml}[[M\wedge K]\wedge L]=0$
(3) $d[K\wedge L]=[dK\wedge L]+(-1)^k[K\wedge dL]$
(4) $d_A[K\wedge L]=[d_AK\wedge L]+(-1)^k[K\wedge d_AL]$

(1)
$\mathfrak{g}$の基底を$\{E_a\}$とし、$K=K^aE_a,K^a\in\Omega^k(M)$などと書く。
$$ \begin{align} [K\wedge L]&=K^a\wedge L^b[E_a,E_b]=-(-1)^{kl}L^b\wedge K^a[E_b,E_a]\\ &=(-1)^{kl+1}[L\wedge K] \end{align} $$

(2)
$$ \begin{align} (-1)^{mk}[[K\wedge L]\wedge M]&=(-1)^{mk}K^a\wedge L^b\wedge M^c[[E_a,E_b],E_c]\\ (-1)^{kl}[[L\wedge M]\wedge K]&=(-1)^{kl}L^b\wedge M^c\wedge K^a[[E_b,E_c],E_a] =(-1)^{kl+k(l+m)}K^a\wedge L^b\wedge M^c[[E_b,E_c],E_a]\\ (-1)^{lm}[[M\wedge K]\wedge L]&=(-1)^{lm}M^c\wedge K^a\wedge L^b[[E_c,E_a],E_b] =(-1)^{lm+m(k+l)}K^a\wedge L^b\wedge M^c[[E_c,E_a],E_b] \end{align} $$
より
$$ \begin{align} &(-1)^{mk}[[K\wedge L]\wedge M]+(-1)^{kl}[[L\wedge M]\wedge K]+(-1)^{lm}[[M\wedge K]\wedge L]\\ &=(-1)^{mk}K^a\wedge L^b\wedge M^c([[E_a,E_b],E_c]+[[E_b,E_c],E_a]+[[E_c,E_a],E_b])=0 \end{align} $$

(3)
$$ \begin{align} d[K\wedge L]&=d(K^a\wedge L^b)[E_a,E_b]=(dK^a)\wedge L^b+(-1)^k K^a\wedge d(L^b)[E_a,E_b]\\ &=[dK\wedge L]+(-1)^k[K\wedge dL] \end{align} $$

$\psi\in\Omega^k(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して、次が成り立つ。
(1) $d_Ad_A\psi=[F\wedge\psi]$ (Ricciの恒等式)
(2) $d_AF=0$ (Bianchiの恒等式)

(1)
$d_A\psi=d\psi+[A\wedge\psi]$より
$$ \begin{align} d_Ad_A\psi&=d(d\psi+[A\wedge\psi])+[A\wedge(d\psi+[A\wedge\psi])]\\ &=d(A\wedge\psi-(-1)^k\psi\wedge A)+A\wedge d\psi-(-1)^{k+1}d\psi\wedge A+[A\wedge[A\wedge\psi]]\\ &=dA\wedge\psi-\psi\wedge dA+A\wedge[A\wedge\psi]-(-1)^{k+1}[A\wedge\psi]\wedge A\\ &=dA\wedge\psi-\psi\wedge dA+A\wedge(A\wedge\psi-(-1)^k\psi\wedge A)-(-1)^{k+1}(A\wedge\psi-(-1)^k\psi\wedge A)\wedge A\\ &=dA\wedge\psi-\psi\wedge dA+A\wedge A\wedge\psi-\psi\wedge A\wedge A\\ &=F\wedge\psi-\psi\wedge F=[F\wedge\psi] \end{align} $$

(2)
$$ \begin{align} d_AF&=dF+[A\wedge F]=d(dA+A\wedge A)+A\wedge F-F\wedge A\\ &=dA\wedge A-A\wedge dA+A\wedge(dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0 \end{align} $$

$(M,g)$を擬リーマン多様体とします。リーマン接続を$\nabla$で表すとします。$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes A^k(M)$には共変外微分が定義されますが、一般の$\mathfrak{g}$値のテンソル場、すなわち$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes T^{(m,n)}(M)$の切断に対しては共変外微分は定義されません。$T^{(m,n)}(M)$にはリーマン接続から自然に接続が定まりますのでこれも$\nabla$で表すとします。$\mathfrak{g}_{Ad}$の接続$D_A$$T^{(m,n)}(M)$の接続$\nabla$から$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes T^{(m,n)}(M)$の接続$D^g_A:=D_A\otimes\nabla$が定義されます。$\phi\in \Gamma(\mathfrak{g}_{Ad}\otimes T^{(m,n)}(M))$は局所的には
$$ \phi=\phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}\left(\frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\right)\otimes\cdots\otimes \left(\frac{\partial}{\partial x^{i_m}}\right)\otimes dx^{j_1}\otimes\cdots\otimes dx^{j_n},\\ \phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}\in\Gamma(\mathfrak{g}_{Ad}) $$
と表されるので、
$$ (D^g_A)_k\phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}=\nabla_k \phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}+[A_k,\phi^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_n}] $$
となります。

 $D^g_A$$\mathfrak{g}_{Ad}\otimes A^k(M)$上にも定義されます。このとき$d_A,D_A,D_A^g$については以下が成り立ちます。

$\psi=\frac{1}{k!}\psi_{i_1\cdots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\in\Omega^k(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して、次が成り立つ。
$$ \begin{align} (1)&\ d_A\psi=\frac{1}{k!}(D^g_A)_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\ (2)&\ [(D_A)_i,(D_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=[F_{ij},\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]\\ (3)&\ [(D^g_A)_i,(D^g_A)_j]\psi_{kl}=[F_{ij},\psi_{kl}]-\sum_{m=1}^kR^t_{\ell_mij}\psi_{\ell_1\cdots\ell_{m-1} t \ell_{m+1}\cdots\ell_k} \end{align} $$

(1)
$$ \begin{align} d_A\psi&=d\psi+[A\wedge \psi]\\ &=\frac{1}{k!}(\partial_{i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\ &=\frac{1}{k!}(\partial_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\ &=\frac{1}{k!}(\nabla_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\ &=\frac{1}{k!}(\nabla_{i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}+[A_{i_1},\psi_{i_2\cdots i_{k+1}}])dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}}\\ &=\frac{1}{k!}(D^g_A)_{[i_1}\psi_{i_2\cdots i_{k+1}]}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{k+1}} \end{align} $$

(2)
$$ (D_A)_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=\partial_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}] $$
より
$$ (D_A)_i(D_A)_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=\partial_i\partial_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[\partial_iA_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_j,\partial_i\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,\partial_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]] $$
であるから
$$ [(D_A)_i,(D_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=[\partial_iA_j-\partial_jA_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]-[A_j,[A_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]] $$
である。ここでLie環のJacobi恒等式
$$ [A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]+[A_j,[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},A_i]]+[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},[A_i,A_j]]=0 $$
を使うと
$$ \begin{align} [(D_A)_i,(D_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}&=[\partial_iA_j-\partial_jA_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}] -[A_j,[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},A_i]]-[\psi_{\ell_1\cdots \ell_k},[A_i,A_j]]-[A_j,[A_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]]\\ &=[\partial_iA_j-\partial_jA_i,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[[A_i,A_j],\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]\\ &=[F_{ij},\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}] \end{align} $$
を得る。

(3)
ほぼ(2)と同様に
$$ (D^g_A)_i(D^g_A)_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=\nabla_i\nabla_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[\nabla_iA_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_j,\nabla_i\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,\nabla_j\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]+[A_i,[A_j,\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}]] $$
となるから、
$$ \begin{align} [(D^g_A)_i,(D^g_A)_j]\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}=(\nabla_i\nabla_j-\nabla_j\nabla_i)\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}+[F_{ij},\psi_{\ell_1\cdots \ell_k}] \end{align} $$
を得る。

投稿日:2022123

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Submersion
Submersion
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20108
専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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