文献あり

ピーマン分類法を厳密に検証する(2023年共通テスト数ⅡB第3問に関連する話題)

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前提

2023年共通テスト数ⅡB第3問では、次のようなピーマン分類法が出題されました。

(原文より抜粋ここから)

(1) ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし，この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位は $g$ を表す確率変数を $X$ とする。 $m$ と $σ$ を正の実数とし， $X$ は正規分布 $N (m, σ^{2})$ に従うとする。

(中略)

(2) (1)の確率変数 $X$ において， $m = 30.0, σ = 3.6$ とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し，ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際，1袋ずつの重さの分散を小さくするために，次のピーマン分類法を考える。

ピーマン分類法

無作為に抽出したいくつかのピーマンについて，重さが30.0g以下のときをSサイズ，30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして，分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び，ピーマン2個を1組とした袋を作る。

(原文より抜粋ここまで)

実際の問題では、この後は25袋作れる確率が0.95以上となるのに必要なピーマンの個数を求めていました。しかし、私は別のところに引っ掛かりました。それは、分散が実際にどれほど小さくなるかということです。

実はこれは厳密に計算することができるので、計算してみましょう。

問題の定式化

$m, σ$ を正の実数の定数とするとき、確率分布 $N_{+} (m, σ^{2})$ を以下の密度関数を持つ分布として定義する。

$f (x) = {\begin{aligned} \frac{2}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} (x > m) \\ 0 (x \leq m) \end{aligned}$

また、確率分布 $N_{-} (m, σ^{2})$ を以下の密度関数を持つ分布として定義する。

$f (x) = {\begin{aligned} \frac{2}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} (x \leq m) \\ 0 (x > m) \end{aligned}$

$X_{1} \sim N_{+} (m, σ^{2}), X_{2} \sim N_{-} (m, σ^{2})$ のとき、 $V (X_{1} + X_{2})$ を求めよ。

準備

$X = \frac{X_{1} - m}{σ}, Y = - \frac{X_{2} - m}{σ}$ とおくと、

$X, Y \sim N_{+} (0, 1), V (X_{1} + X_{2}) = σ^{2} V (X - Y)$

であることがわかります。

また、任意の連続分布 $S, T$ に対し、

$\begin{aligned} V (S - T) \\ = & V (S) + V (T) - 2 C o v (S, T) \end{aligned}$

が成り立ちますが、今回の場合は $X$ と $Y$ の同時分布がそれぞれの分布の積で与えられ、したがって独立であるため、

$V (X - Y) = V (X) + V (Y)$

が成り立ち、よって

$V (X) = V (Y)$

を求めればよいことがわかります。

計算

$\begin{aligned} E (X) = E (Y) \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{2 π}} x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x \\ = & \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x \\ = & \frac{2}{\sqrt{2 π}} {[- e^{- \frac{x^{2}}{2}}]}_{0}^{\infty} \\ = & \frac{2}{\sqrt{2 π}} \\ = & \sqrt{\frac{2}{π}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} E (X^{2}) = E (Y^{2}) \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{2 π}} x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x \\ = & \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x \end{aligned}$

$\begin{aligned} E (X^{2})^{2} = E (Y^{2})^{2} \\ = & \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x \int_{0}^{\infty} y^{2} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y \\ = & \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{2} y^{2} e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2}} d x d y \\ = & \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\frac{π}{2}} r^{5} \sin^{2} θ \cos^{2} θ e^{- \frac{r^{2}}{2}} d r d θ (x = r \cos θ, y = r \sin θ, d x d y = r d r d θ) \\ = & \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} r \cdot (r^{2})^{2} e^{- \frac{r^{2}}{2}} d r \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} θ \cos^{2} θ d θ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} r \cdot (r^{2})^{2} e^{- \frac{r^{2}}{2}} d r \\ = & \int_{0}^{\infty} 4 t^{2} e^{- t} d t (\frac{r^{2}}{2} = t, r d r = d t) \\ = & [- 4 t^{2} e^{- t}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 8 t e^{- t} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} 8 t e^{- t} d t \\ = & [- 8 t e^{- t}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 8 e^{- t} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} 8 e^{- t} d t \\ = & [- 8 e^{- t}]_{0}^{\infty} \\ = & 8 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} θ \cos^{2} θ d θ \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{\sin 2 θ}{2})}^{2} d θ \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} 2 θ}{4} d θ \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos^{2} 4 θ}{8} d θ \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{8} d θ \\ = & \frac{1}{16} π \end{aligned}$