二平方定理のとある一般化

　仮定より$\a,\g$は互いに素なので
$$\a\d-\g\b=1$$
の整数解は$\b=\b_0+\a k,\d=\d_0+\g k$($k$は任意の整数)によって尽くされ、これに対して変換
$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\a&\b\\\g&\d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
を考えると、ある整数$m,l$があって
\begin{eqnarray} aX^2+bXY+cY^2 &=&(a\a^2+b\a\g+c\g^2)x^2 \\&&+(2a\a\b+b(\a\d+\b\g)+2c\g\d)xy \\&&+(a\b^2+b\b\d+c\d^2)y^2 \\&=&nx^2+mxy+ly^2 \end{eqnarray}
が成り立つ。
　いま$\b=\b_0+k\a,\d=\d_0+k\g$より
\begin{eqnarray} m&=&2a\a\b+b(\a\d+\b\g)+2c\g\d \\&=&(2a\a\b_0+b(\a\d_0+\b\g_0)+2c\g\d_0)+2k(a\a^2+2b\a\g+c\g^2) \\&=&m_0+2kn \end{eqnarray}
が成り立つので
$$0\leq m<2n$$
となるような$k$および$m$が一意に存在することがわかる。

　定理3による対応$(\a,\g)\mapsto m$の挙動を考える。

$m\mapsto(\a,\g)$について

　$f=[a,b,c]$と$g=[n,m,l]$が同値となるような$m$に対し、その変換$f(X,Y)=g(x,y)$を
$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\a&\b\\\g&\d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
とおくとproperな表現$(\a,\g)$が得られる。またこの変換の取り方は$f$の自己同型の個数だけあるので同じだけの$(\a,\g)$が得られることになる(恒等でない自己同型は$1$を固有値に持たないのでそれぞれが違う表現を定めることもわかる)。

$(\a,\g)\mapsto m$について

　$n$のproperな表現$(\a,\g),(\a',\g')$が同じ$m$を定めるとき、
$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\a&\b\\\g&\d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\a'&\b'\\\g'&\d'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
とおくと$g(x,y)=f(X,Y)=f(X',Y')$なので$(X,Y)$と$(X',Y')$は自己同型の関係にあり、したがって$(\a,\g),(\a',\g')$も自己同型の関係にあることがわかる。

　合同方程式
$$m^2\equiv D\pmod{4n}$$
の$4n$を法とした解の個数が$2\sideset{}{'}\sum_{d\mid n}(D|d)$となることを示せばよい。
　 $\ZZt{p^e}$の構造 とかルジャンドル記号の定義とかHenselの補題とかに注意する。

$D\equiv1\pmod4$のとき

　$4n$の素因数分解における素数$p$の指数を$e$とおくと合同式方程式
$$m^2\equiv D\pmod{p^e}$$
の解の個数は
・$p\geq3$のとき$1+(D|p)$個
・$p=2,e=2$($n$が奇数)のとき$2$個
・$p=2,e\geq3$($n$が偶数)のとき$2(1+(D|p))$個
となるので中国剰余定理から
$$m^2\equiv D\pmod{4n}$$
の解の個数は
$$2\prod_{p\mid n}(1+\l(\frac Dp\r))=2\sideset{}{'}\sum_{d\mid n}\l(\frac Dd\r)$$
と求まる。また$-2n< m<0$なる解と$0< m<2n$なる解の個数は同じであることから主張を得る。

$D\equiv0\pmod4$のとき

　仮定より$n$は奇数となることに注意する。
　$n$の素因数分解における素数$p$の指数を$e$とおくと
$$m^2\equiv D\equiv0\pmod4$$
の解は$m\equiv0,2$の$2$つ、
$$m^2\equiv D\pmod{p^e}$$
の解は$1+(D|p)$個なので
$$2\prod_{p\mid n}(1+\l(\frac Dp\r))=2\sideset{}{'}\sum_{d\mid n}\l(\frac Dd\r)$$
と求まる。

　合同方程式
$$m^2\equiv D\pmod{4n}$$
の$0\leq m<2n$なる解に対し$m^2=D+4nl$より$n,m$は互いに素、特に$[n,m,l]$は原始的となるのでこれはある$f_k$と同値となる。よって定理5から各$m$に対し$n$のproperな表現$f_k(\a,\g)$が$w_D$個得られる。また定理6より$m$の取り方は
$$\sideset{}{'}\sum_{d|n}\l(\frac Dd\r)$$
通りであるので$n$のproperな表現の個数は
$$w_D\sideset{}{'}\sum_{d|n}\l(\frac Dd\r)$$
となる。
　いま$n$の表現$f_k(\a,\g)\;(\gcd(\a,\g)=g)$と$n/g^2$のproperな表現$f_k(\a/g,\g/g)$は一対一に対応するので$n$の表現$f_k(\a,\g)$の総数は
\begin{eqnarray} w_D\sum_{g^2\mid n}\sideset{}{'}\sum_{h|(n/g^2)}\l(\frac Dh\r) &=&w_D\sum_{g^2\mid n}\sideset{}{'}\sum_{h|(n/g^2)}\l(\frac D{g^2h}\r) &\quad&(\because(D|g)\neq0) \\&=&w_D\sum_{d\mid n}\l(\frac Dd\r)&\quad&(d=g^2h) \end{eqnarray}
と計算できる。
　また
$$\sideset{}{'}\sum_{h|(n/g^2)}\l(\frac Dh\r)\neq0 \Rightarrow\l(\frac D{n/g^2}\r)=\l(\frac Dn\r)=1$$
であったことから主張を得る。

　 二次形式の記事 の定理4より$n=f(x,y),m=f(z,w)$に対してある$X,Y$が存在して
$$nm=X^2-D'Y^2$$
が成り立つ。

　いま$n,m$は$D$と互いに素とすると$D'$の素因数$p\geq3$に対し
$$nm\equiv X^2\pmod p$$
が成り立つので
$$\l(\frac{nm}p\r)=1$$
つまり
$$\l(\frac np\r)=\l(\frac mp\r)$$
を得る。
　ここで$(n|p)$が不変であるためには$n$が$p$、特に$D'$と互いに素であれば十分であることを留意しておきましょう。

　以下奇数$N$に対し
\begin{eqnarray} \l(\frac{-1}N\r)&=&(-1)^{\frac{N-1}2} &=&\l\{\begin{array}{cl}1&N\equiv1\phantom{-{}}\pmod4\\-1&N\equiv-1\pmod4\end{array}\r. \\\l(\frac2N\r)&=&(-1)^{\frac{N^2-1}8} &=&\l\{\begin{array}{cl}1&N\equiv\pm1\pmod8\\-1&N\equiv\pm3\pmod8\end{array}\r. \\\l(\frac{-2}N\r)&=&\l(\frac{-1}N\r)\l(\frac2N\r) &=&\l\{\begin{array}{cl}1&N\equiv1,3\phantom{--}\pmod8\\-1&N\equiv-1,-3\pmod8\end{array}\r. \end{eqnarray}
が成り立つことに注意して$D'$の剰余に応じて
$$\l(\frac a{nm}\r)=1\quad(a=-1,2,-2)$$
となることを示す。

• $D'\equiv3\pmod4$のとき
  $n,m$は$D$と互いに素、特に奇数であったので$X,Y$の一方は奇数でもう一方は偶数となる。よって
  $$nm\equiv X^2+Y^2\equiv1\pmod4$$
  を得る。
• $D'\equiv2\pmod8$のとき
  同様に$n,m$は奇数であったので$X$も奇数であり、$Y$の偶奇によって
  $$nm\equiv 1-2Y^2\equiv\pm1\pmod 8$$
  を得る。
• $D'\equiv6\pmod8$のとき
  同様に$Y$の偶奇によって
  $$nm\equiv1+2Y^2\equiv1,3\pmod8$$
  を得る。
• $D'\equiv0\pmod{4,8}$のとき
  $X$は奇数なので
  $$nm\equiv X^2\equiv1\pmod{4,8}$$
  を得る。

　定理$5$より二次形式の像が$G$に含まれることがわかるので、あとは任意の$n\in G$に対してある$n'\equiv n\pmod D$がある表現を持つことを示せばよい。それはディリクレの算術級数定理より$p\equiv n\pmod D$なる素数$p$が存在することと定理5系よりわかる。
　また準同型
$$(D|\;\cdot\;):\ZZt D\to\{\pm1\}$$
に対して準同型定理を考えることで$|\ZZt D/G|=|\{\pm1\}|=2$がわかる。
　$H$が$G$の部分群をなすことは$I(1,0)=1\in H$と$I(x,y)I(z,w)=I(X,Y)$が成り立つ(cf. 二次形式の記事 の定理4)ことからわかる($\ZZt D$の元は有限位数なので積について閉じていることが言えれば逆元の存在もわかる)。
　そして 二次形式の記事 の補題5,6から$D$と互いに素なある整数$a$を取って$f=[a,2b,c]$とおくと
$$af(x,y)=(ax+by)^2-D'y^2\in H$$
つまり$f(x,y)\in a^{-1}H$がわかる。
　逆に$n\in a^{-1}H$ならばある$z,w$が存在して
$$an\equiv z^2-D'w^2\pmod D$$
が成り立つので$x=a^{-1}(z-bw),y=w$とおくと
$$n\equiv f(x,y)\pmod D$$
となることがわかる。

　$\{\pm1\}^\mu$の各元に対し中国剰余定理からある$n\in\ZZt D$を構成することで$\psi$は全射であることがわかる。したがって準同型定理より
$$\ZZt D/\Ker\psi\simeq\{\pm1\}^\mu$$
が成り立つ。
　また$I(1,0)=1$より定理6から$H\subset\Ker\psi$がわかる。
　いま$n\in\Ker\psi$について、$D=4D'$の素因数分解における$p\geq3$の指数を$e$とおくと$(n|p)=1$よりある整数$x_p$が存在して
$$I(x_p,0)=x_p^2\equiv n\pmod{p^e}$$
が成り立つ。また定理6における$\d,\ve,\d\ve$の不変性の証明を逆に辿り、また必要に応じてHenselすることで$p=2$のときもある整数$x_2,y_2$があって
$$I(x_2,y_2)\equiv n\pmod{2^e}$$
が成り立つことがわかる。
　したがって中国剰余定理よりある$x,y$が存在して
$$I(x,y)\equiv n\pmod D$$
が成り立つ、つまり$\Ker\psi\subset H$が成り立つので$H=\ker\psi$となり主張を得る。

　$N$が$8$で割り切れないとき指標の個数$\mu$は高々$r+1$個であり、指標は一つ無視しても種は上手く定まるということだったので$r$個の指標$(n|p)$の値によって$n$がどの二次形式によって表現されるかが決定できる。特に$I=x^2+Ny^2$によって表現されるためには$(n|p)=1$であることが必要十分であったので
$$\frac1{2^r}\prod_{3\leq p|N}(1+\l(\frac np\r)) =\l\{\begin{array}{cl}1&\forall p,(n|p)=1\\0&\exists p,(p|n)=-1\end{array}\r.$$
に注意すると定理5より主張を得る。

　そのような個数を$r(n)$とおく。
　このとき$N$の素因数$p$に対し$r(p^2n)=r(n)$が成り立つ。実際$N$が無平方であることに注意すると$p\mid N$のとき
$$p^2n=x^2+Ny^2$$
であれば$x,y$はともに$p$で割り切れなければならないことからわかる。

　また$N\equiv1\pmod4$かつ$n$が偶数のとき、$4\nmid n$であれば合同方程式
$$m^2\equiv -4N\equiv 4\pmod8$$
の解の個数は$m\equiv\pm2\pmod8$の$2=2(1+(-4N|2))$個であるので定理4,5と同様にして$n$の判別式$D=-4N$の二次形式による表現の個数は
$$w_D\sum_{d|n}\l(\frac{-4N}d\r)$$
となることがわかる。$4\mid n$のときは
$$m^2\equiv -4N\equiv -4\pmod{16}$$
となるような$m$は存在しないため結局
$$w_D\sum_{d|n}\l(\frac{-4N}d\r)$$
となることがわかる。
　そして定理6の証明において言及したように$n$が$N$と互いに素であれば指標$(n|p)$は不変なので$n$が偶数のときも$n$がどの二次形式で表現されるかは$(n|p)$の値によって決まることに注意する。

　いま$N$のどの素因数$p$に対しても$n$が$p^2$で割り切れない場合を考える。
　このとき$\gcd(N,n)=g,\;h=N/g,\;n'=n/g$とおくと
$$n=X^2+NX^2$$
であれば$X$は$g$で割り切れなければならないので$(X,Y)=(gx,y)$とおくと
$$n'=gx^2+hy^2$$
が成り立つ。
　$N$は無平方なので$g$と$h$は互いに素であり、$n'$は$N$と互いに素であるので$f=[g,0,h]$の定める指標の値は
$$\l(\frac{n'}p\r)=\l\{\begin{array}{rl}(g|p)&p\mid h\\(h|p)&p\mid g\end{array}\r.$$
となることがわかる。したがって$n'$の$f$による表現の個数は定理10と同様にして
\begin{eqnarray} &&\farc{w_D}{2^r}\prod_{2\nmid p\mid h}(1+\l(\frac gp\r)\l(\frac{n'}p\r)) \prod_{2\nmid p\mid g}(1+\l(\frac hp\r)\l(\frac{n'}p\r))\sum_{d|n'}\l(\frac{-4N}d\r) \\&=&\farc{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d'|N}\sum_{d|n'} \bigg(\frac g{a'}\bigg)\bigg(\frac ha\bigg)\l(\frac{n'}{d'}\r)\l(\frac{-4N}d\r) \end{eqnarray}
と表せる。ただし$a=\gcd(g,d')=\gcd(n,d'),a'=d'/a$とした。
　これをクロネッカー記号の相互法則(後述)に注意して変形すると
\begin{eqnarray} \bigg(\frac g{a'}\bigg)&=&\l(\frac g{d'/a}\r) \\\bigg(\frac ha\bigg)&=&\l(\frac{N/g}a\r) \\&=&\l(\frac{\mp4N/d'}a\r)\l(\frac{\mp d'/a}a\r)\l(\frac{g/a}{a}\r) \\&=&\l(\frac{\mp4N/d'}a\r)\l(\frac a{d'/a}\r)\l(\frac{g/a}{a}\r) \qquad(\because a\not\equiv\mp d'/a\pmod4) \\\l(\frac{n'}{d'}\r)&=&\l(\frac{n/g}{d'}\r) \\&=&\l(\frac{n/a}{d'}\r)\l(\frac{g/a}{d'}\r) \\&=&\l(\frac{\pm d'}{n/a}\r)\l(\frac{g/a}{d'}\r) \\\l(\frac{-4N}d\r)&=&\l(\frac{\mp4N/d'}d\r)\l(\frac{\pm d'}d\r) \end{eqnarray}
つまり
\begin{eqnarray} \bigg(\frac g{a'}\bigg)\bigg(\frac ha\bigg)\l(\frac{n'}{d'}\r)\l(\frac{-4N}d\r) &=&\bigg(\frac{\pm d'}{n/ad}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d'}{ad}\r)\l(\frac{g/a}{d'/a}\r)^2 \\&=&\bigg(\frac{\pm d'}{n/ad}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d'}{ad}\r) \end{eqnarray}
が成り立ち、$ad\;(ad\mid n)$を再び$d$とおくと$\gcd(g,d)\neq\gcd(g,d')$のとき
$$\bigg(\frac{\pm d'}{n/d}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d'}d\r)=0$$
が成り立つことと合わせて
$$r(n)=\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d'|N}\sum_{d|n}\bigg(\frac{\pm d'}{n/d}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d'}d\r)$$
を得る。
　また$N$の素因数$p$に対して$d\mid p^2n$かつ$d\nmid n$のとき
・$p\nmid d'$のとき$\dis\l(\farc{\mp4N/d'}d\r)=0$
・$p\mid d'$かつ$d\mid pn$のとき$\dis\bigg(\frac{\pm d'}{p^2n/d}\bigg)=0$
・$p\mid d'$かつ$d\nmid pn$のとき$\dis\l(\farc{\mp4N/d'}d\r)=0$
が成り立つので上の式は$n\mapsto p^2n$において不変であり、一般の$n$に対して
$$r(n)=\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d'|N}\sum_{d|n}\bigg(\frac{\pm d'}{n/d}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d'}d\r)$$
を得る。

　奇数$x,y$に対して
$$(x-1)+(y-1)\equiv xy-1\pmod4$$
が成り立つことに注意すると求める式の両辺は$m,n$について完全乗法的である。したがって$m,n$が素数または$\pm1$の場合を確かめればよい。
　この記事ではクロネッカー記号$(a|n)$を$n\leq0$の場合は定義していないので$n>0$ということにする。
・$m=\pm1$または$n=1$のときは自明
・$m=2$または$n=2$のとき
$$\l(\frac2a\r)=\bigg(\frac a2\bigg)=(-1)^{\frac{a^2-1}8}$$
よりわかる。
・$m,n$が奇素数のときは平方剰余の相互法則である。