0

整域の乗法群の有限部分群の総和

32
0
$$\newcommand{aaa}[0]{\mathfrak{a}} \newcommand{Aaa}[0]{\mathfrak{A}} \newcommand{Ann}[0]{\mathop{\mathrm{Ann}}\nolimits} \newcommand{Aut}[0]{\mathop{\mathrm{Aut}}\nolimits} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{chara}[0]{\mathop{\mathrm{char}}\nolimits} \newcommand{End}[0]{\mathop{\mathrm{End}}\nolimits} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{Hom}[0]{\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Image}[0]{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \newcommand{Ker}[0]{\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits} \newcommand{Mat}[0]{\mathop{\mathrm{M}}\nolimits} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Orb}[0]{\mathop{\mathrm{Orb}}\nolimits} \newcommand{pe}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{Pe}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{Qu}[0]{\mathfrak{Q}} \newcommand{qu}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rad}[0]{\mathop{\mathrm{rad}}\nolimits} \newcommand{roi}[0]{\mathcal{o}} \newcommand{Roi}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{Spec}[0]{\mathop{\mathrm{Spec}}\nolimits} \newcommand{Stab}[0]{\mathop{\mathrm{Stab}}\nolimits} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$R$を整域, $G$$R$の乗法群$R^\times$の有限部分群とし, $n=|G|$とおく. このとき, $m\in\Z$に対し,
$$ \sum_{g\in G}g^m= \begin{cases} n & (n\mid m) \\ 0 & (n\nmid m) \end{cases} $$
が成り立つ.

$n\mid m$のとき,
$$ \sum_{g\in G}g^m=\sum_{g\in G}(g^n)^{\frac{m}{n}}=\sum_{g\in G}1=n $$
である.
$n\nmid m$とする. 一般に整域の乗法群の有限部分群が巡回群であることに注意し, $G$の生成元$h\in G$をとる. 写像$G\rightarrow G; g\mapsto hg$が全単射であるから
$$ h^m\sum_{g\in G}g^m=\sum_{g\in G}(hg)^m=\sum_{g\in G}g^m $$
となる. ここで, $n\nmid m$より$h^m\neq 1$であるから, $R$が整域であることとあわせて
$$ \sum_{g\in G}g^m=0 $$
が従う.

例えば, $p$を素数とし, $R=\F_p$, $G=\F_p^\times$の場合を考えると, $m\in\N_0$に対して
$$ \sum_{i=1}^{p-1}i^m\equiv \begin{cases} -1 & (p-1\mid m) \\ 0 & ((p-1)\nmid m) \end{cases} \pmod p $$
が成り立つことがわかる.

投稿日:20231119

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中