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大学数学基礎問題
整域の乗法群の有限部分群の総和
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$$\newcommand{aaa}[0]{\mathfrak{a}}
\newcommand{Aaa}[0]{\mathfrak{A}}
\newcommand{Ann}[0]{\mathop{\mathrm{Ann}}\nolimits}
\newcommand{Aut}[0]{\mathop{\mathrm{Aut}}\nolimits}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{chara}[0]{\mathop{\mathrm{char}}\nolimits}
\newcommand{End}[0]{\mathop{\mathrm{End}}\nolimits}
\newcommand{F}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{Hom}[0]{\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits}
\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}}
\newcommand{Image}[0]{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{Ker}[0]{\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits}
\newcommand{Mat}[0]{\mathop{\mathrm{M}}\nolimits}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Orb}[0]{\mathop{\mathrm{Orb}}\nolimits}
\newcommand{pe}[0]{\mathfrak{p}}
\newcommand{Pe}[0]{\mathfrak{P}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{Qu}[0]{\mathfrak{Q}}
\newcommand{qu}[0]{\mathfrak{q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rad}[0]{\mathop{\mathrm{rad}}\nolimits}
\newcommand{roi}[0]{\mathcal{o}}
\newcommand{Roi}[0]{\mathcal{O}}
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\newcommand{Stab}[0]{\mathop{\mathrm{Stab}}\nolimits}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
$R$を整域, $G$を$R$の乗法群$R^\times$の有限部分群とし, $n=|G|$とおく. このとき, $m\in\Z$に対し,
$$
\sum_{g\in G}g^m=
\begin{cases}
n & (n\mid m) \\
0 & (n\nmid m)
\end{cases}
$$
が成り立つ.
$n\mid m$のとき,
$$
\sum_{g\in G}g^m=\sum_{g\in G}(g^n)^{\frac{m}{n}}=\sum_{g\in G}1=n
$$
である.
$n\nmid m$とする. 一般に整域の乗法群の有限部分群が巡回群であることに注意し, $G$の生成元$h\in G$をとる. 写像$G\rightarrow G; g\mapsto hg$が全単射であるから
$$
h^m\sum_{g\in G}g^m=\sum_{g\in G}(hg)^m=\sum_{g\in G}g^m
$$
となる. ここで, $n\nmid m$より$h^m\neq 1$であるから, $R$が整域であることとあわせて
$$
\sum_{g\in G}g^m=0
$$
が従う.
例えば, $p$を素数とし, $R=\F_p$, $G=\F_p^\times$の場合を考えると, $m\in\N_0$に対して
$$
\sum_{i=1}^{p-1}i^m\equiv
\begin{cases}
-1 & (p-1\mid m) \\
0 & ((p-1)\nmid m)
\end{cases}
\pmod p
$$
が成り立つことがわかる.
投稿日：2023年11月19日
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