分母に2乗がある有理関数の部分分数分解を楽に計算したかった

　みなさんこんにちは。
　突然ですが、部分分数分解って面倒ですよね！ ヘヴィサイドのカバーアップ法 なんてのもありますが、分母に2乗があったりすると、微分が必要だったりして計算が大変です。
　そこで私、閃きました。
$$ \frac {\cdots}{(x-a)^2\cdots}$$
のように分母が2乗になっているところを
$$ \frac {\cdots}{(x-t)(x-a)\cdots}$$
のように新しい変数$t$を用いて書き換え、これを部分分数分解してから $t=a$とすれば良いじゃないか！と。
　いやあ、我ながら天才的な発見をしてしまった。微分なんていらんかったんや！

　早速使ってみるとしましょう！

　まず、$t$を新たな変数として
$$ \frac x{(x-t)(x-1)(x-2)}$$
という関数を考えます。これをヘヴィサイドなり この方法(宣伝) なりで部分分数分解すると
$$ \frac {t}{(t-1)(t-2)(x-t)} - \frac{1}{(1-t)(x-1)} + \frac 2{(2-t)(x-2)}$$
となります。あとはここに$t=1$を代入すれば………
　
　
　　代入できない……だと……?
　
　
このままでは、$t=1$を代入すると分母が0になってしまいます。くっ、ここまでか……。

　いや、ここで諦めるような私ではありません！そう、代入できないなら、極限を考えればいいじゃない！
　ということで、$t \to 1$としてみます。

　さて、
$$ \frac {t}{(t-1)(t-2)(x-t)} - \frac{1}{(1-t)(x-1)} + \frac 2{(2-t)(x-2)}$$
において$t \to 1$とすると、
$$ \lim_{t \to 1} \left\{ \frac {t}{(t-1)(t-2)(x-t)} - \frac{1}{(1-t)(x-1)} + \frac 2{(2-t)(x-2)} \right\}$$
$$ = \lim_{t \to 1} \frac 1{t-1}\left\{ \frac {t}{(t-2)(x-t)} + \frac{1}{x-1} \right\} + \frac 2{x-2}$$
となります。面倒そうな極限が出てきましたね。そのまま代入すると$\frac 10 \cdot 0$で不定形です。愚直に通分しても良いですが、こういう場合に使えるテクニックがあります。そう、微分です！
$$ f(t) = \frac t{(t-2)(x-t)}$$
とおくと、上で現れた極限はちょうど微分係数$f'(1)$の定義式に一致しています！ということで$f'(1)$を求めます。これまた愚直に微分しても良いですが、対数微分なんてのを使うとオシャレですね。
$$ \frac {f'(t)}{f(t)} = \frac 1t - \frac 1{t-2} + \frac 1{x-t} $$
より
$$ f'(1) = f(1) \left( 1 + 1 + \frac 1{x-1} \right) = -\frac 1{x-1}\left(2 + \frac 1{x-1}\right) = - \frac 2{x-1} - \frac 1{(x-1)^2}$$
となります。以上から、求める部分分数分解は
$$ - \frac 2{x-1} - \frac 1{(x-1)^2} + \frac 2{x-2}$$
となります！
　WolframAlpha で検証したところ、結果も正しそうです。めでたしめでたし。

まとめ

• 大して楽じゃ無い
• 結局微分してるやんけ

(´･ω･`)

ではまた。