Baileyの6ψ6和公式から得られる両側Bailey対3
前回の記事 において, 両側Bailey対を用いて様々な両側和の等式を示した. 前回の記事の定理3において, $a=q$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-q^{4n+1}}{1-q}\frac{(b,c;q^2)_n}{(q^3/b,q^3/c;q^2)_n}\frac{(d,e;q)_{2n}}{(q^2/b,q^2/e;q)_{2n}}\left(\frac{q^6}{bcd^2e^2}\right)^nq^{2n^2}\\ &=\frac{(q^2,q^2/de;q)_{\infty}}{(q^2/d,q^2/e;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e;q)_n(q^3/bc;q^2)_n}{(q^2/b,q^2/c;q)_n(q^2;q^2)_n}\left(\frac{q^2}{de}\right)^n \end{align}
これらの恒等式において, $c,d,e\to \infty, b=-q^{\frac 12},-q^{\frac 32}$を代入することによって, Rogers-Selberg恒等式 のうちの2つの等式を示すことができる. しかし, 1つ目の恒等式がここから出てくることは期待できなさそうである.
前回の記事 の定理4において, $a=q,q^2$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-q^{6n+1}}{1-q}\frac{(b;q^3)_n(c,d;q)_{3n}}{(q^4/b;q^3)_n(q^2/c,q^2/d;q)_{3n}}\left(-\frac{q^8}{bc^3d^3}\right)^nq^{\frac 32n(3n-1)}\\ &=\frac{(q^2,q^2/cd;q)_{\infty}}{(q^2/c,q^2/d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c,d;q)_n(q^2/b;q^3)_n}{(q^2/b;q)_n(q;q)_{2n}}\left(\frac{q^2}{cd}\right)^n\\ &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-q^{6n+2}}{1-q^2}\frac{(b;q^3)_n(c,d;q)_{3n}}{(q^5/b;q^3)_n(q^3/c,q^3/d;q)_{3n}}\left(-\frac{q^{13}}{bc^3d^3}\right)^nq^{\frac 32n(3n-1)}\\ &=\frac{(q^3,q^3/cd;q)_{\infty}}{(q^3/c,q^3/d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c,d;q)_n(q^4/b;q^3)_n}{(q^3/b;q)_n(q^2;q)_{2n}}\left(\frac{q^3}{cd}\right)^n\\ \end{align}
前回の記事 の定理5において, $a=q,q^2,q^3$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-q^{8n+1}}{1-q}\frac{(b,c;q)_{4n}}{(q^2/b,q^2/c;q)_{4n}}\left(\frac{q}{bc}\right)^{4n}q^{8n^2+2n}\\ &=\frac{(q^2,q^2/bc;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n(-q^2;q^2)_{n-1}}{(q;q)_{2n}}\left(\frac{q^2}{bc}\right)^n\\ &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-q^{8n+2}}{1-q^2}\frac{(b,c;q)_{4n}}{(q^3/b,q^3/c;q)_{4n}}\left(\frac{q^2}{bc}\right)^{4n}q^{8n^2+4n}\\ &=\frac{(q^3,q^3/bc;q)_{\infty}}{(q^3/b,q^3/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n(-q;q^2)_n}{(q^2;q)_{2n}}\left(\frac{q^3}{bc}\right)^n\\ &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-q^{8n+3}}{1-q^3}\frac{(b,c;q)_{4n}}{(q^4/b,q^4/c;q)_{4n}}\left(\frac{q^3}{bc}\right)^{4n}q^{8n^2+6n}\\ &=\frac{(q^4,q^4/bc;q)_{\infty}}{(q^4/b,q^4/c;q)_{\infty}}\sum_{-1\leq n}\frac{(b,c;q)_n(-q^2;q^2)_n}{(q^3;q)_{2n}}\left(\frac{q^4}{bc}\right)^n \end{align}
これらの恒等式から, 多くのRogers-Ramanujan型の恒等式を得ることができる. 前の記事 の両側Bailey対に対して, 両側Bailey格子を応用することによってさらに多くの公式を示すことができると思われる.
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