Baileyの6ψ6和公式から得られる両側Bailey対2

前回の記事において, Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式から得られる両側Bailey対をいくつか導出した. 両側Bailey対も Bailey対の場合と同様に以下が成り立つ.

Berkovich-McCoy-Schilling(1996)

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する両側Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} (b, c; q)_{n} {(\frac{a q}{b c})}^{n} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

前回の記事の定理1の両側Bailey対に適用すると以下を得る. 以下, $x = q^{n}$ となる正整数 $n$ があるとき, $x$ は $q$ のべきであるということにする.

$a, a q / b, a q / c, a q / d$ のいずれかが $q$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(b, c, d, e, f; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f; q)_{n}} {(- \frac{a^{3} q^{2}}{b c d e f})}^{n} q^{\frac{1}{2} n (n - 1)} \\ = \frac{(q / a, a q / b c, a q / b d, a q / c d, a q, a q / e f; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, a^{2} q / b c d, a q / e, a q / f; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(e, f, a^{2} q / b c d; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d; q)_{n}} {(\frac{a q}{e f})}^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

前回の記事の定理2の両側Bailey対に定理1を適用すると,

$a$ が $q$ のべきであるか, $a q^{2} / b, a q^{2} / c$ のいずれかが $q^{2}$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{1 - a q^{4 n}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{n}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{n}} \frac{(d, e; q)_{2 n}}{(a q / d, a q / e; q)_{2 n}} {(\frac{a^{4} q^{2}}{b c d^{2} e^{2}})}^{n} q^{2 n^{2}} \\ = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty} (a q, a q / d e; q)_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty} (a q / d, a q / e; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(d, e; q)_{n} (a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} {(\frac{a q}{d e})}^{n} \end{aligned}$

前回の記事の定理3の両側Bailey対に定理1を適用すると, 以下を得る.

$a$ が $q$ のべきであるか, $a q^{3} / b$ が $q^{3}$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{1 - a q^{6 n}}{1 - a} \frac{(b; q^{3})_{n} (c, d; q)_{3 n}}{(a q^{3} / b; q^{3})_{n} (a q / c, a q / d; q)_{3 n}} {(- \frac{a^{5} q^{3}}{b c^{3} d^{3}})}^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n - 1)} \\ = \frac{(a, q^{3} / a, a q / b, a^{2} q / b; q^{3})_{\infty} (a q, a q / c d; q)_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3} / b, a^{2} / b; q^{3})_{\infty} (a q / c, a q / d; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(c, d; q)_{n} (a^{2} / b; q^{3})_{n}}{(a q / b; q)_{n} (a; q)_{2 n}} {(\frac{a q}{c d})}^{n} \end{aligned}$

前回の記事の定理4の両側Bailey対に定理1を適用すると, 以下を得る.

$a$ が $q$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{1 - a q^{8 n}}{1 - a} \frac{(b, c; q)_{4 n}}{(a q / b, a q / c; q)_{4 n}} {(\frac{a}{b c})}^{4 n} q^{8 n^{2}} a^{2 n} \\ = \frac{(q^{4} / a, a / q, a, a q; q^{4})_{\infty} (a q, a q / b c; q)_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3}, a^{2} / q^{2}; q^{4})_{\infty} (a q / b, a q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(b, c; q)_{n} (- a / q; q^{2})_{n}}{(a; q)_{2 n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \end{aligned}$