Baileyの6ψ6和公式から得られる両側Bailey対2

$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関する両側Bailey対であるとき,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n&=\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(b,c;q)_n\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\beta_n \end{align}
が成り立つ.

$a,aq/b,aq/c,aq/d$のいずれかが$q$のべきであるとき,
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(b,c,d,e,f;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(-\frac{a^3q^2}{bcdef}\right)^nq^{\frac 12n(n-1)}\\ &=\frac{(q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd,aq,aq/ef;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,a^2q/bcd,aq/e,aq/f;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(e,f,a^2q/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{ef}\right)^n \end{align}
が成り立つ.

$a$が$q$のべきであるか, $aq^2/b,aq^2/c$のいずれかが$q^2$のべきであるとき,
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-aq^{4n}}{1-a}\frac{(b,c;q^2)_n}{(aq^2/b,aq^2/c;q^2)_n}\frac{(d,e;q)_{2n}}{(aq/d,aq/e;q)_{2n}}\left(\frac{a^4q^2}{bcd^2e^2}\right)^nq^{2n^2}\\ &=\frac{(q^2/a,aq^2/bc,aq/b,aq/c;q^2)_{\infty}(aq,aq/de;q)_{\infty}}{(q,q^2/b,q^2/c,a^2q/bc;q^2)_{\infty}(aq/d,aq/e;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(d,e;q)_n(a^2q/bc;q^2)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n(aq;q^2)_n}\left(\frac{aq}{de}\right)^n \end{align}

$a$が$q$のべきであるか, $aq^3/b$が$q^3$のべきであるとき,
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-aq^{6n}}{1-a}\frac{(b;q^3)_n(c,d;q)_{3n}}{(aq^3/b;q^3)_n(aq/c,aq/d;q)_{3n}}\left(-\frac{a^5q^3}{bc^3d^3}\right)^nq^{\frac 32n(3n-1)}\\ &=\frac{(a,q^3/a,aq/b,a^2q/b;q^3)_{\infty}(aq,aq/cd;q)_{\infty}}{(q,q^2,q^3/b,a^2/b;q^3)_{\infty}(aq/c,aq/d;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(c,d;q)_n(a^2/b;q^3)_n}{(aq/b;q)_n(a;q)_{2n}}\left(\frac{aq}{cd}\right)^n \end{align}

$a$が$q$のべきであるとき,
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-aq^{8n}}{1-a}\frac{(b,c;q)_{4n}}{(aq/b,aq/c;q)_{4n}}\left(\frac{a}{bc}\right)^{4n}q^{8n^2}a^{2n}\\ &=\frac{(q^4/a,a/q,a,aq;q^4)_{\infty}(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(q,q^2,q^3,a^2/q^2;q^4)_{\infty}(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n(-a/q;q^2)_n}{(a;q)_{2n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n \end{align}