Baileyの6ψ6和公式から得られる両側Bailey対
Baileyの${}_6\psi_6$和公式
\begin{align}
&\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b,c,d,e;q)_k}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^k\\
&=\frac{(q,aq,q/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/e,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $e=q^{-n}$とすると,
\begin{align}
&\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b,c,d,q^{-n};q)_k}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{n+1}}{bcd}\right)^k\\
&=\frac{(q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,a^2q/bcd;q)_{\infty}}\frac{(q,aq,a^2q/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b,c,d;q)_k}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_k(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}\left(-\frac{a^2q}{bcd}\right)^kq^{\frac 12k(k-1)}\\
&=\frac{(q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,a^2q/bcd;q)_{\infty}}\frac{(a^2q/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}
\end{align}
である. 任意の$n$に対して, 上の級数が収束するためには, 実質的に有限和である必要がある. これを
両側Bailey対
で書き換えると以下を得る.
$a,aq/b,aq/c,aq/d$のいずれかが$q$のべきであるとき,
\begin{align}
\alpha_n&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(-\frac{a^2q}{bcd}\right)^nq^{\frac 12n(n-1)}\\
\beta_n&=\frac{(q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,a^2q/bcd;q)_{\infty}}\frac{(a^2q/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}
\end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$は$a$に関する両側Bailey対である.
ただし, ここでは$x=q^n$とある正整数$n$を用いて表されることを, $x$が$q$のべきであるということにする.
前の記事
において
\begin{align}
&\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{4k}}{1-a}\frac{(b,c;q^2)_kq^{2k^2}}{(aq^2/b,aq^2/c;q^2)_k(aq;q)_{n+2k}(q;q)_{n-2k}}\left(\frac{a^2}{bc}\right)^k\\
&=\frac{(q^2/a,aq^2/bc,aq/b,aq/c;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/b,q^2/c,a^2q/bc;q^2)_{\infty}}\frac{(a^2q/bc;q^2)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n(aq;q^2)_n}
\end{align}
を示した. これは以下のように書き換えられる.
$a$が$q$のべきであるか, $aq^2/b,aq^2/c$のいずれかが$q^2$のべきであるとき,
\begin{align}
\alpha_{2n}&=\frac{1-aq^{4n}}{1-a}\frac{(b,c;q^2)_nq^{2n^2}}{(aq^2/b,aq^2/c;q^2)_n}\left(\frac{a^2}{bc}\right)^n\\
\alpha_{2n+1}&=0\\
\beta_n&=\frac{(q^2/a,aq^2/bc,aq/b,aq/c;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/b,q^2/c,a^2q/bc;q^2)_{\infty}}\frac{(a^2q/bc;q^2)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n(aq;q^2)_n}
\end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$は$a$に関する両側Bailey対である.
前の記事
で
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{6k}}{1-a}\frac{(b;q^3)_k}{(aq^3/b;q^3)_k(q;q)_{n-3k}(aq;q)_{n+3k}}\left(-\frac{a^2}b\right)^kq^{\frac 32k(3k-1)}
\end{align}
を示した. これは以下のように書き換えられる.
$a$が$q$のべきであるか, $aq^3/b$が$q^3$のべきであるとき,
\begin{align}
\alpha_{3n}&=\frac{1-aq^{6n}}{1-a}\frac{(b;q^3)_n}{(aq^3/b;q^3)_n}\left(-\frac{a^2}b\right)^nq^{\frac 32n(3n-1)}\\
\alpha_{3n+1}&=\alpha_{3n+2}=0\\
\beta_n&=\frac{(a,q^3/a,aq/b,a^2q/b;q^3)_{\infty}}{(q,q^2,q^3/b,a^2/b;q^3)_{\infty}}\frac{(a^2/b;q^3)_n}{(aq/b;q)_n(a;q)_{2n}}
\end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$は$a$に関する両側Bailey対である.
前の記事
で
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{8k}}{1-a}\frac{q^{8k^2-4k}a^{2k}}{(aq;q)_{n+4k}(q;q)_{n-4k}}&=\frac{(q^4/a,a/q,a,aq;q^4)_{\infty}}{(q,q^2,q^3,a^2/q^2;q^4)_{\infty}}\frac{(-a/q;q^2)_n}{(a;q)_{2n}}
\end{align}
を示した. これは以下のように書き換えられる.
$a$が$q$のべきであるとき,
\begin{align}
\alpha_{4n}&=\frac{1-aq^{8n}}{1-a}q^{8n^2-4n}a^{2n}\\
\alpha_{4n+1}&=\alpha_{4n+2}=\alpha_{4n+3}=0\\
\beta_n&=\frac{(q^4/a,a/q,a,aq;q^4)_{\infty}}{(q,q^2,q^3,a^2/q^2;q^4)_{\infty}}\frac{(-a/q;q^2)_n}{(a;q)_{2n}}
\end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$は$a$に関する両側Bailey対である.
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