Baileyの6ψ6和公式から得られる両側Bailey対

Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q}{b c d e})}^{k} \\ = \frac{(q, a q, q / a, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, q / e, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $e = q^{- n}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(b, c, d, q^{- n}; q)_{k}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q^{n + 1}; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q^{n + 1}}{b c d})}^{k} \\ = \frac{(q / a, a q / b c, a q / b d, a q / c d; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, a^{2} q / b c d; q)_{\infty}} \frac{(q, a q, a^{2} q / b c d; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d; q)_{n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(b, c, d; q)_{k}}{(a q / b, a q / c, a q / d; q)_{k} (q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} {(- \frac{a^{2} q}{b c d})}^{k} q^{\frac{1}{2} k (k - 1)} \\ = \frac{(q / a, a q / b c, a q / b d, a q / c d; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, a^{2} q / b c d; q)_{\infty}} \frac{(a^{2} q / b c d; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d; q)_{n}} \end{aligned}$
である. 任意の $n$ に対して, 上の級数が収束するためには, 実質的に有限和である必要がある. これを両側Bailey対で書き換えると以下を得る.

$a, a q / b, a q / c, a q / d$ のいずれかが $q$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} α_{n} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(b, c, d; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d; q)_{n}} {(- \frac{a^{2} q}{b c d})}^{n} q^{\frac{1}{2} n (n - 1)} \\ β_{n} & = \frac{(q / a, a q / b c, a q / b d, a q / c d; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, a^{2} q / b c d; q)_{\infty}} \frac{(a^{2} q / b c d; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d; q)_{n}} \end{aligned}$
としたとき, $(α_{n}, β_{n})$ は $a$ に関する両側Bailey対である.

ただし, ここでは $x = q^{n}$ とある正整数 $n$ を用いて表されることを, $x$ が $q$ のべきであるということにする.

前の記事において
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{4 k}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{k} (a q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{a^{2}}{b c})}^{k} \\ = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty}} \frac{(a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
を示した. これは以下のように書き換えられる.

$a$ が $q$ のべきであるか, $a q^{2} / b, a q^{2} / c$ のいずれかが $q^{2}$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} α_{2 n} & = \frac{1 - a q^{4 n}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{n} q^{2 n^{2}}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{n}} {(\frac{a^{2}}{b c})}^{n} \\ α_{2 n + 1} & = 0 \\ β_{n} & = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty}} \frac{(a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
としたとき, $(α_{n}, β_{n})$ は $a$ に関する両側Bailey対である.

前の記事で
$\begin{array}{r} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{6 k}}{1 - a} \frac{(b; q^{3})_{k}}{(a q^{3} / b; q^{3})_{k} (q; q)_{n - 3 k} (a q; q)_{n + 3 k}} {(- \frac{a^{2}}{b})}^{k} q^{\frac{3}{2} k (3 k - 1)} \end{array}$
を示した. これは以下のように書き換えられる.

$a$ が $q$ のべきであるか, $a q^{3} / b$ が $q^{3}$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} α_{3 n} & = \frac{1 - a q^{6 n}}{1 - a} \frac{(b; q^{3})_{n}}{(a q^{3} / b; q^{3})_{n}} {(- \frac{a^{2}}{b})}^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n - 1)} \\ α_{3 n + 1} & = α_{3 n + 2} = 0 \\ β_{n} & = \frac{(a, q^{3} / a, a q / b, a^{2} q / b; q^{3})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3} / b, a^{2} / b; q^{3})_{\infty}} \frac{(a^{2} / b; q^{3})_{n}}{(a q / b; q)_{n} (a; q)_{2 n}} \end{aligned}$
としたとき, $(α_{n}, β_{n})$ は $a$ に関する両側Bailey対である.

前の記事で
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{8 k}}{1 - a} \frac{q^{8 k^{2} - 4 k} a^{2 k}}{(a q; q)_{n + 4 k} (q; q)_{n - 4 k}} & = \frac{(q^{4} / a, a / q, a, a q; q^{4})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3}, a^{2} / q^{2}; q^{4})_{\infty}} \frac{(- a / q; q^{2})_{n}}{(a; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を示した. これは以下のように書き換えられる.

$a$ が $q$ のべきであるとき,
$\begin{aligned} α_{4 n} & = \frac{1 - a q^{8 n}}{1 - a} q^{8 n^{2} - 4 n} a^{2 n} \\ α_{4 n + 1} & = α_{4 n + 2} = α_{4 n + 3} = 0 \\ β_{n} & = \frac{(q^{4} / a, a / q, a, a q; q^{4})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3}, a^{2} / q^{2}; q^{4})_{\infty}} \frac{(- a / q; q^{2})_{n}}{(a; q)_{2 n}} \end{aligned}$
としたとき, $(α_{n}, β_{n})$ は $a$ に関する両側Bailey対である.