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Baileyの6ψ6和公式から得られる両側Bailey対

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{inv}[0]{\mathrm{inv}} \newcommand{maj}[0]{\mathrm{maj}} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

Baileyの${}_6\psi_6$和公式
\begin{align} &\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b,c,d,e;q)_k}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^k\\ &=\frac{(q,aq,q/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/e,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}} \end{align}
において, $e=q^{-n}$とすると,
\begin{align} &\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b,c,d,q^{-n};q)_k}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{n+1}}{bcd}\right)^k\\ &=\frac{(q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,a^2q/bcd;q)_{\infty}}\frac{(q,aq,a^2q/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n} \end{align}
つまり,
\begin{align} &\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b,c,d;q)_k}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_k(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}\left(-\frac{a^2q}{bcd}\right)^kq^{\frac 12k(k-1)}\\ &=\frac{(q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,a^2q/bcd;q)_{\infty}}\frac{(a^2q/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n} \end{align}
である. 任意の$n$に対して, 上の級数が収束するためには, 実質的に有限和である必要がある. これを 両側Bailey対 で書き換えると以下を得る.

$a,aq/b,aq/c,aq/d$のいずれかが$q$のべきであるとき,
\begin{align} \alpha_n&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(-\frac{a^2q}{bcd}\right)^nq^{\frac 12n(n-1)}\\ \beta_n&=\frac{(q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,a^2q/bcd;q)_{\infty}}\frac{(a^2q/bcd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n} \end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関する両側Bailey対である.

ただし, ここでは$x=q^n$とある正整数$n$を用いて表されることを, $x$$q$のべきであるということにする.

前の記事 において
\begin{align} &\sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{4k}}{1-a}\frac{(b,c;q^2)_kq^{2k^2}}{(aq^2/b,aq^2/c;q^2)_k(aq;q)_{n+2k}(q;q)_{n-2k}}\left(\frac{a^2}{bc}\right)^k\\ &=\frac{(q^2/a,aq^2/bc,aq/b,aq/c;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/b,q^2/c,a^2q/bc;q^2)_{\infty}}\frac{(a^2q/bc;q^2)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n(aq;q^2)_n} \end{align}
を示した. これは以下のように書き換えられる.

$a$$q$のべきであるか, $aq^2/b,aq^2/c$のいずれかが$q^2$のべきであるとき,
\begin{align} \alpha_{2n}&=\frac{1-aq^{4n}}{1-a}\frac{(b,c;q^2)_nq^{2n^2}}{(aq^2/b,aq^2/c;q^2)_n}\left(\frac{a^2}{bc}\right)^n\\ \alpha_{2n+1}&=0\\ \beta_n&=\frac{(q^2/a,aq^2/bc,aq/b,aq/c;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/b,q^2/c,a^2q/bc;q^2)_{\infty}}\frac{(a^2q/bc;q^2)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n(aq;q^2)_n} \end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関する両側Bailey対である.

前の記事
\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{6k}}{1-a}\frac{(b;q^3)_k}{(aq^3/b;q^3)_k(q;q)_{n-3k}(aq;q)_{n+3k}}\left(-\frac{a^2}b\right)^kq^{\frac 32k(3k-1)} \end{align}
を示した. これは以下のように書き換えられる.

$a$$q$のべきであるか, $aq^3/b$$q^3$のべきであるとき,
\begin{align} \alpha_{3n}&=\frac{1-aq^{6n}}{1-a}\frac{(b;q^3)_n}{(aq^3/b;q^3)_n}\left(-\frac{a^2}b\right)^nq^{\frac 32n(3n-1)}\\ \alpha_{3n+1}&=\alpha_{3n+2}=0\\ \beta_n&=\frac{(a,q^3/a,aq/b,a^2q/b;q^3)_{\infty}}{(q,q^2,q^3/b,a^2/b;q^3)_{\infty}}\frac{(a^2/b;q^3)_n}{(aq/b;q)_n(a;q)_{2n}} \end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関する両側Bailey対である.

前の記事
\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}\frac{1-aq^{8k}}{1-a}\frac{q^{8k^2-4k}a^{2k}}{(aq;q)_{n+4k}(q;q)_{n-4k}}&=\frac{(q^4/a,a/q,a,aq;q^4)_{\infty}}{(q,q^2,q^3,a^2/q^2;q^4)_{\infty}}\frac{(-a/q;q^2)_n}{(a;q)_{2n}} \end{align}
を示した. これは以下のように書き換えられる.

$a$$q$のべきであるとき,
\begin{align} \alpha_{4n}&=\frac{1-aq^{8n}}{1-a}q^{8n^2-4n}a^{2n}\\ \alpha_{4n+1}&=\alpha_{4n+2}=\alpha_{4n+3}=0\\ \beta_n&=\frac{(q^4/a,a/q,a,aq;q^4)_{\infty}}{(q,q^2,q^3,a^2/q^2;q^4)_{\infty}}\frac{(-a/q;q^2)_n}{(a;q)_{2n}} \end{align}
としたとき, $(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関する両側Bailey対である.

投稿日:12日前
更新日:12日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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