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Rogers, SlaterのBailey対3

前回の記事ではRogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式から従うBailey対をいくつか与えた. 今回は Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式から従う他のBailey対を与える. まず, Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q}{b c d e})}^{k} \\ = \frac{(q, a q, q / a, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, q / b, q / c, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $q \mapsto q^{2}, d = q^{- n}, e = q^{1 - n}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{4 k}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{k} (q^{- n}; q)_{2 k}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{k} (a q^{n + 1}; q)_{2 k}} {(\frac{a^{2} q^{2 n + 1}}{b c})}^{k} \\ = \frac{(q^{2}, a q^{2}, q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q^{n + 2} / b, a q^{n + 1} / b, a q^{n + 2} / c, a q^{n + 1} / c, a q^{2 n + 1}; q^{2})_{\infty}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c, a q^{n + 2}, a q^{n + 1}, q^{2} / b, q^{2} / c, q^{n + 2}, q^{n + 1}, a^{2} q^{2 n + 1} / b c; q^{2})_{\infty}} \\ = \frac{(q^{2}, a q^{2}, q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q^{2 n + 1}; q^{2})_{\infty} (a q^{n + 1} / b, a q^{n + 1} / c; q)_{\infty}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q^{2 n + 1} / b c; q^{2})_{\infty} (a q^{n + 1}, q^{n + 1}; q)_{\infty}} \\ = \frac{(q^{2}, a q^{2}, q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q; q^{2})_{\infty} (a q / b, a q / c; q)_{\infty}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty} (a q, q; q)_{\infty}} \frac{(a q, q; q)_{n} (a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \\ = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty}} \frac{(a q, q; q)_{n} (a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{4 k}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{k} (q^{- n}; q)_{2 k}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{k} (a q^{n + 1}; q)_{2 k}} {(\frac{a^{2} q^{2 n + 1}}{b c})}^{k} \\ = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty}} \frac{(a q, q; q)_{n} (a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
を得る. これは
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{4 k}}{1 - a} \frac{(b, c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(a q^{2} / b, a q^{2} / c; q^{2})_{k} (a q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{a^{2}}{b c})}^{k} \\ = \frac{(q^{2} / a, a q^{2} / b c, a q / b, a q / c; q^{2})_{\infty}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c, a^{2} q / b c; q^{2})_{\infty}} \frac{(a^{2} q / b c; q^{2})_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (a q; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
と書き換えられる. これを特殊化して, 前の記事で行ったように様々なBailey対として書き換えることができる.　例として, まず $a = q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{2} ⌋}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} \frac{(1 - q^{4 k + 1}) (b, c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2} + 2 k}}{(q^{3} / b, q^{3} / c; q^{2})_{k} (q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{1}{b c})}^{k} \\ = \frac{(q^{3} / b c; q^{2})_{n}}{(q^{2} / b, q^{2} / c; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
を得る. ここで, $b, c \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{2} ⌋}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} \frac{(1 - q^{4 k + 1}) q^{- 2 k}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} = \frac{(- 1)^{n}}{q^{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
ここで, $1 - q^{4 k + 1} = (1 - q^{n + 2 k + 1}) - q^{4 k + 1} (1 - q^{n - 2 k})$ を用いて
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{2} ⌋}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\frac{q^{- 2 k}}{(q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{q^{2 k + 1}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) = \frac{(- 1)^{n}}{q^{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \frac{1}{(q; q)_{n}^{2}} + \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\frac{q^{- 2 k} + q^{2 k}}{(q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{q^{2 k + 1} + q^{- 2 k - 1}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) = \frac{(- 1)^{n}}{q^{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
を得る. よって, $α_{0} = 1$
$\begin{aligned} α_{2 n} & = q^{2 n} + q^{- 2 n}, n \geq 1 \\ α_{2 n + 1} & = - q^{2 n + 1} - q^{- 2 n - 1}, n \geq 0 \\ β_{n} & = \frac{(- 1)^{n}}{q^{n} (q^{2}; q^{2})_{n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすれば, これは $1$ に関するBailey対になる.　これは一例であり, 特殊化によって他にも様々なBailey対を得ることができる.

次に, Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q}{b c d e})}^{k} \\ = \frac{(q, a q, q / a, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, q / b, q / c, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $q \mapsto q^{4}, b = q^{- n}, c = q^{1 - n}, d = q^{2 - n}, e = q^{3 - n}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - a q^{8 k}) (q^{- n}; q)_{4 k} q^{4 n k - 2 k} a^{2 k}}{(1 - a) (a q^{n + 1}; q)_{4 k}} & = \frac{(q^{4} / a, a / q, a, a q; q^{4})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3}, a^{2} / q^{2}; q^{4})_{\infty}} \frac{(a q, q; q)_{n} (- a / q; q^{2})_{n}}{(a; q)_{2 n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - a q^{8 k}) q^{8 k^{2} - 4 k} a^{2 k}}{(1 - a) (a q; q)_{n + 4 k} (q; q)_{n - 4 k}} & = \frac{(q^{4} / a, a / q, a, a q; q^{4})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3}, a^{2} / q^{2}; q^{4})_{\infty}} \frac{(- a / q; q^{2})_{n}}{(a; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る.　 $a = q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - q^{8 k + 1}) q^{8 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n + 4 k + 1} (q; q)_{n - 4 k}} & = \frac{(- q^{2}; q^{2})_{n - 1}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
となる. これも先ほどのようにBailey対として書き直すことによって, $α_{0} = 1$
$\begin{aligned} α_{4 n - 2} & = 0, n > 0 \\ α_{4 n - 1} & = - q^{8 n^{2} - 2 n}, n > 0 \\ α_{4 n} & = q^{8 n^{2}} (q^{2 n} + q^{- 2 n}), n > 0 \\ α_{4 n + 1} & = - q^{8 n^{2} + 6 n + 1}, n \geq 1 \\ β_{n} & = \frac{(- q^{2}; q^{2})_{n - 1}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
とすると, これは $1$ に関するBailey対になる.