Rogers, SlaterのBailey対2
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
は
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^k&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
と表される公式である. 特に$d=q^{-n}$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,b,c,q^{-n};q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{aq^{n+1}}{bc}\right)^k&=\frac{(aq,aq/bc;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}
\end{align}
が得られる. これを書き換えると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(-1)^kq^{\frac 12k(k-1)}(a,b,c;q)_k}{(q,aq/b,aq/c;q)_k(aq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k&=\frac{(aq/bc;q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}
\end{align}
となる.
Bailey対
として書き換えると, これは以下のように表される.
\begin{align}
\alpha_n&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n-1)}(a,b,c;q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\\
\beta_n&=\frac{(aq/bc;q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}
\end{align}
は$a$に関するBailey対である.
今回は, この定理の系として得られるBailey対をまとめる. $a\to 1, b,c\to \infty$とすると以下を得る.
$\alpha_0=1$とする.
\begin{align}
\alpha_n&=(-1)^nq^{\frac 32n^2}(q^{\frac n2}+q^{-\frac n2}),\quad n\geq 1\\
\beta_n&=\frac 1{(q;q)_n},\quad n\geq 0
\end{align}
は$1$に関するBailey対である.
$a=q, b, c\to \infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
\alpha_n&=(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}\frac{1-q^{2n+1}}{1-q}\\
\beta_n&=\frac 1{(q;q)_n}
\end{align}
は$q$に関するBailey対である.
系1, 系2はともに$\beta_n=\frac 1{(q;q)_n}$であるがBailey対のパラメータが違うので$\alpha_n$が少し違っている.
$a\to 1, b=q^{\frac 12}, c\to\infty$とすると以下を得る.
$\alpha_n=1$
\begin{align}
\alpha_n&=q^{n^2}(q^{\frac n2}+q^{-\frac n2}),\quad n\geq 1\\
\beta_n&=\frac 1{(q^{\frac 12},q;q)_n},\quad n\geq 0
\end{align}
は$ 1$に関するBailey対である.
$a=q, b=q^{\frac 12},c\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
\alpha_n&=q^{n^2+\frac 12}\frac{1+q^{n+\frac 12}}{1+q^{\frac 12}}\\
\beta_n&=\frac 1{(q^{\frac 32},q;q)_n}
\end{align}
は$q$に関するBailey対である.
$a\to 1, b=q^{\frac 12},c\to 0$とすると以下を得る.
$\alpha_0=1$
\begin{align}
\alpha_n&=q^{\frac n2}+q^{-\frac n2},\quad n\geq 1\\
\beta_n&=\frac 1{q^{\frac n2}(q^{\frac 12},q;q)_n},\quad n\geq 0
\end{align}
は1に関するBailey対である.
$a=q,b=q^{\frac 12},c\to 0$とすると以下を得る.
\begin{align}
\alpha_n&=q^{-\frac n2}\frac{1+q^{n+\frac 12}}{1+q^{\frac 12}}\\
\beta_n&=\frac 1{q^{\frac n2}(q^{\frac 32},q;q)_n}
\end{align}
は$q$に関するBailey対である.
系3から系6は
\begin{align}
\frac 1{(q^{\frac 12},q;q)_n}&=\frac 1{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}\\
\frac 1{(q^{\frac 32},q;q)_n}&=\frac {1-q^{\frac 12}}{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n+1}}
\end{align}
を用いて書き換えることができ, $q\to q^2$として用いることが多いかもしれない.
$a=q,b=-q,c\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
\alpha_n&=(-1)^nq^{n^2}\frac{1-q^{2n+1}}{1-q}\\
\beta_n&=\frac 1{(q^2;q^2)_n}
\end{align}
は$q$に関するBailey対である.
これらの例において, $\alpha_n$の方には$q$-Pochhammer記号が含まれていないというところが面白いところである. このような$\beta_n$を含むような級数があったとき, Bailey対の性質を上手く用いて$q$-Pochhammer記号を含まない形に書き換えるという応用がある.
他にも$b,c$に$-q^{\frac 12}$を代入するなどでも様々なBailey対を得ることができ, それらはSlaterの論文にまとめられているが, かなり量が多いので今回はいくつか紹介するだけにした.
