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Rogers, SlaterのBailey対2

Rogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(a, b, c, d; q)_{k}}{(q, a q / b, a q / c, a q / d; q)_{k}} {(\frac{a q}{b c d})}^{k} & = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / c d; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / b c d; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と表される公式である. 特に $d = q^{- n}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(a, b, c, q^{- n}; q)_{k}}{(q, a q / b, a q / c, a q^{n + 1}; q)_{k}} {(\frac{a q^{n + 1}}{b c})}^{k} & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \end{aligned}$
が得られる. これを書き換えると,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{1}{2} k (k - 1)} (a, b, c; q)_{k}}{(q, a q / b, a q / c; q)_{k} (a q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} & = \frac{(a q / b c; q)_{n}}{(q, a q / b, a q / c; q)_{n}} \end{aligned}$
となる. Bailey対として書き換えると, これは以下のように表される.

$\begin{aligned} α_{n} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n - 1)} (a, b, c; q)_{n}}{(q, a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \\ β_{n} & = \frac{(a q / b c; q)_{n}}{(q, a q / b, a q / c; q)_{n}} \end{aligned}$
は $a$ に関するBailey対である.

今回は, この定理の系として得られるBailey対をまとめる. $a \to 1, b, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$α_{0} = 1$ とする.
$\begin{aligned} α_{n} & = (- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n^{2}} (q^{\frac{n}{2}} + q^{- \frac{n}{2}}), n \geq 1 \\ β_{n} & = \frac{1}{(q; q)_{n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
は $1$ に関するBailey対である.

$a = q, b, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} α_{n} & = (- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (3 n + 1)} \frac{1 - q^{2 n + 1}}{1 - q} \\ β_{n} & = \frac{1}{(q; q)_{n}} \end{aligned}$
は $q$ に関するBailey対である.

系1, 系2はともに $β_{n} = \frac{1}{(q; q)_{n}}$ であるがBailey対のパラメータが違うので $α_{n}$ が少し違っている.

$a \to 1, b = q^{\frac{1}{2}}, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$α_{n} = 1$
$\begin{aligned} α_{n} & = q^{n^{2}} (q^{\frac{n}{2}} + q^{- \frac{n}{2}}), n \geq 1 \\ β_{n} & = \frac{1}{(q^{\frac{1}{2}}, q; q)_{n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
は $1$ に関するBailey対である.

$a = q, b = q^{\frac{1}{2}}, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} α_{n} & = q^{n^{2} + \frac{1}{2}} \frac{1 + q^{n + \frac{1}{2}}}{1 + q^{\frac{1}{2}}} \\ β_{n} & = \frac{1}{(q^{\frac{3}{2}}, q; q)_{n}} \end{aligned}$
は $q$ に関するBailey対である.

$a \to 1, b = q^{\frac{1}{2}}, c \to 0$ とすると以下を得る.

$α_{0} = 1$
$\begin{aligned} α_{n} & = q^{\frac{n}{2}} + q^{- \frac{n}{2}}, n \geq 1 \\ β_{n} & = \frac{1}{q^{\frac{n}{2}} (q^{\frac{1}{2}}, q; q)_{n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
は1に関するBailey対である.

$a = q, b = q^{\frac{1}{2}}, c \to 0$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} α_{n} & = q^{- \frac{n}{2}} \frac{1 + q^{n + \frac{1}{2}}}{1 + q^{\frac{1}{2}}} \\ β_{n} & = \frac{1}{q^{\frac{n}{2}} (q^{\frac{3}{2}}, q; q)_{n}} \end{aligned}$
は $q$ に関するBailey対である.

系3から系6は
$\begin{aligned} \frac{1}{(q^{\frac{1}{2}}, q; q)_{n}} & = \frac{1}{(q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n}} \\ \frac{1}{(q^{\frac{3}{2}}, q; q)_{n}} & = \frac{1 - q^{\frac{1}{2}}}{(q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n + 1}} \end{aligned}$
を用いて書き換えることができ, $q \to q^{2}$ として用いることが多いかもしれない.

$a = q, b = - q, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} α_{n} & = (- 1)^{n} q^{n^{2}} \frac{1 - q^{2 n + 1}}{1 - q} \\ β_{n} & = \frac{1}{(q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
は $q$ に関するBailey対である.

これらの例において, $α_{n}$ の方には $q$ -Pochhammer記号が含まれていないというところが面白いところである. このような $β_{n}$ を含むような級数があったとき, Bailey対の性質を上手く用いて $q$ -Pochhammer記号を含まない形に書き換えるという応用がある.