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Rogers, SlaterのBailey対

Bailey対は以下のように定義される.　

数列の組 $(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとは, 任意の $0 \leq n$ に対して
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \end{array}$
を満たしていることをいう.

以下のBailey対はRogersによって扱われたもので, SlaterによってBailey対として整理されたものである.

Slater(1951)

$α_{0} := 1$ とする.
$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := - q^{6 n^{2} - 5 n + 1}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{6 n^{2} - n} + q^{6 n^{2} + n}, n \geq 1 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{6 n^{2} + 5 n + 1}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{1}{(q; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $1$ に関するBailey対である.

Slater(1951)

$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := q^{6 n^{2} - n}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{6 n^{2} + n}, n \geq 0 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{6 n^{2} + 5 n + 1} - q^{6 n^{2} + 7 n + 2}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{1}{(q^{2}; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $q$ に関するBailey対である.

Slater(1951)

$α_{0} := 1$ とする.
$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := - q^{6 n^{2} - 2 n}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{6 n^{2} - 2 n} + q^{6 n^{2} + 2 n}, n \geq 1 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{6 n^{2} + 2 n}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $1$ に関するBailey対である.

Slater(1951)

$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := q^{6 n^{2} - 4 n}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{6 n^{2} + 4 n}, n \geq 0 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{6 n^{2} + 8 n + 2} - q^{6 n^{2} + 4 n}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{q^{n}}{(q^{2}; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $q$ に関するBailey対である.

Slater(1951)

$α_{0} := 1$ とする.
$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := - q^{3 n^{2} - n}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{3 n^{2} - n} + q^{3 n^{2} + n}, n \geq 1 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{3 n^{2} + n}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $1$ に関するBailey対である.

Slater(1951)

$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := q^{3 n^{2} + n}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{3 n^{2} - n}, n \geq 0 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{3 n^{2} + n} - q^{3 n^{2} + 5 n + 2}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{q^{n^{2}}}{(q^{2}; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $q$ に関するBailey対である.

Slater(1951)

$α_{0} := 1$ とする.
$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := - q^{3 n^{2} - 4 n + 1}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{3 n^{2} - 2 n} + q^{3 n^{2} + 2 n}, n \geq 1 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{3 n^{2} + 4 n + 1}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{q^{n^{2} - n}}{(q; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $1$ に関するBailey対である.

Slater(1951)

$\begin{aligned} α_{3 n - 1} & := q^{3 n^{2} - 2 n}, n \geq 1 \\ α_{3 n} & := q^{3 n^{2} + 2 n}, n \geq 0 \\ α_{3 n + 1} & := - q^{3 n^{2} + 4 n + 1} - q^{3 n^{2} + 2 n}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{q^{n^{2} + n}}{(q^{2}; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $q$ に関するBailey対である.

Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - a q^{2 k}) (b, c, d, e; q)_{k}}{(1 - a) (a q / b, a q / c, a q / d, a q / e; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q}{b c d e})}^{k} \\ = \frac{(q, q / a, a q, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, q / e, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $q \mapsto q^{3}, c = q^{- n}, d = q^{1 - n}, e = q^{2 - n}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{6 k}}{1 - a} \frac{(q^{- n}; q)_{3 k} (b; q^{3})_{k}}{(a q^{n + 1}; q)_{3 k} (a q^{3} / b; q^{3})_{k}} {(\frac{a^{2} q^{3 n}}{b})}^{k} \\ = \frac{(q^{3}, q^{3} / a, a q^{3}, a q^{n + 3} / b, a q^{n + 2} / b, a q^{n + 1} / b, a q^{2 n + 2}, a q^{2 n + 1}, a q^{2 n}; q^{3})_{\infty}}{(q^{3} / b, q^{n + 3}, q^{n + 2}, q^{n + 1}, a q^{3} / b, a q^{n + 3}, a q^{n + 2}, a q^{n + 1}, a^{2} q^{3 n} / b; q^{3})_{\infty}} \\ = \frac{(a q^{n + 1} / b, a q^{2 n}; q)_{\infty} (q^{3}, q^{3} / a, a q^{3}; q^{3})_{\infty}}{(q^{n + 1}, a q^{n + 1}; q)_{\infty} (q^{3} / b, a q^{3} / b, a^{2} q^{3 n} / b; q^{3})_{\infty}} \\ = \frac{(a q / b, a; q)_{\infty} (q^{3}, q^{3} / a, a q^{3}; q^{3})_{\infty}}{(q, a q; q)_{\infty} (q^{3} / b, a q^{3} / b, a^{2} / b; q^{3})_{\infty}} \frac{(q, a q; q)_{n} (a^{2} / b; q^{3})_{n}}{(a q / b; q)_{n} (a; q)_{2 n}} \\ = \frac{(a, q^{3} / a, a q / b, a q^{2} / b; q^{3})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3} / b, a^{2} / b; q^{3})_{\infty}} \frac{(q, a q; q)_{n} (a^{2} / b; q^{3})_{n}}{(a q / b; q)_{n} (a; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る. ここで, $a = q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 1}) (- 1)^{k} (b; q^{3})_{k} q^{\frac{1}{2} (9 k^{2} + k)}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k} (q^{4} / b; q^{3})_{k} b^{k}} & = \frac{(q^{2} / b; q^{3})_{n}}{(q; q)_{2 n} (q^{2} / b; q)_{n}} \end{aligned}$
を得る. ここで, $b \to \infty$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 1}) q^{6 k^{2} - k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} & = \frac{1}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
である. $q^{6 k^{2} - k} (1 - q^{6 k + 1}) = q^{6 k^{2} - k} (1 - q^{n + 3 k + 1}) - q^{6 k^{2} + 5 k + 1} (1 - q^{n - 3 k})$ であることを用いてこれを書き換えると,
$\begin{array}{r} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} - k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 5 k + 1}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) = \frac{1}{(q; q)_{2 n}} \end{array}$
つまり,
$\begin{array}{r} \frac{1}{(q; q)_{n}^{2}} - \frac{q}{(q; q)_{n + 1} (q; q)_{n - 1}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} - k} + q^{6 k^{2} + k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 5 k + 1}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}} - \frac{q^{6 k^{2} - 5 k + 1}}{(q; q)_{n - 3 k + 1} (q; q)_{n + 3 k - 1}}) = \frac{1}{(q; q)_{2 n}} \end{array}$
を得る. よって定理1が示された. 次に,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 1}) q^{6 k^{2} - k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} & = \frac{1}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
において, $q^{6 k^{2} - k} (1 - q^{6 k + 1}) = q^{6 k^{2} + 2 k - n} ((1 - q^{n + 3 k + 1}) - (1 - q^{n - 3 k}))$ を用いて書き換えると,
$\begin{array}{r} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} + 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) = \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n}} \end{array}$
つまり,
$\begin{array}{r} \frac{1}{(q; q)_{n}^{2}} - \frac{1}{(q; q)_{n + 1} (q; q)_{n - 1}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} + 2 k} + q^{6 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}} - \frac{q^{6 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k - 1} (q; q)_{n - 3 k + 1}}) = \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n}} \end{array}$
を得る. よって定理3が示された. 次に,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 1}) (- 1)^{k} (b; q^{3})_{k} q^{\frac{1}{2} (9 k^{2} + k)}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k} (q^{4} / b; q^{3})_{k} b^{k}} & = \frac{(q^{2} / b; q^{3})_{n}}{(q; q)_{2 n} (q^{2} / b; q)_{n}} \end{aligned}$
において, $b \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 1}) q^{3 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} & = \frac{q^{n^{2} - n}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る. $q^{3 k^{2} - 2 k} (1 - q^{6 k + 1}) = q^{3 k^{2} - 2 k} (1 - q^{n + 3 k + 1}) - q^{3 k^{2} + 4 k + 1} (1 - q^{n - 3 k})$ を用いて書き換えると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + 4 k + 1}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) & = \frac{q^{n^{2} - n}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \frac{1}{(q; q)_{n}^{2}} - \frac{q}{(q; q)_{n + 1} (q; q)_{n - 1}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + 4 k + 1}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}} - \frac{q^{3 k^{2} - 4 k + 1}}{(q; q)_{n + 3 k - 1} (q; q)_{n - 3 k + 1}}) & = \frac{q^{n^{2} - n}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る. よって定理7が示された. 次に,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 1}) q^{3 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} & = \frac{q^{n^{2} - n}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
において, $q^{3 k^{2} - 2 k} (1 - q^{6 k + 1}) = q^{3 k^{2} + k - n} ((1 - q^{n + 3 k + 1}) - (1 - q^{n - 3 k}))$ を用いて書き換えると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} + k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) & = \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \frac{1}{(q; q)_{n}^{2}} - \frac{1}{(q; q)_{n + 1} (q; q)_{n - 1}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} + k} + q^{3 k^{2} - k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}} - \frac{q^{3 k^{2} - k}}{(q; q)_{n + 3 k - 1} (q; q)_{n - 3 k + 1}}) & = \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る. よって定理5が示された. 次に,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{1 - a q^{6 k}}{1 - a} \frac{(q^{- n}; q)_{3 k} (b; q^{3})_{k}}{(a q^{n + 1}; q)_{3 k} (a q^{3} / b; q^{3})_{k}} {(\frac{a^{2} q^{3 n}}{b})}^{k} \\ = \frac{(a, q^{3} / a, a q / b, a q^{2} / b; q^{3})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3} / b, a^{2} / b; q^{3})_{\infty}} \frac{(q, a q; q)_{n} (a^{2} / b; q^{3})_{n}}{(a q / b; q)_{n} (a; q)_{2 n}} \end{aligned}$
において, $a = q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - q^{6 k + 2}) (b; q^{3})_{k} (- 1)^{k} q^{\frac{1}{2} (9 k^{2} + 5 k)}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k} (q^{5} / b; q^{3})_{k} b^{k}} = \frac{(q^{4} / b; q^{3})_{n}}{(q^{3} / b; q)_{n} (q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る. $b \to \infty$ とすると,

$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 2}) q^{6 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} = \frac{1}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
ここで, $q^{6 k^{2} + k} (1 - q^{6 k + 2}) = q^{6 k^{2} + k} (1 - q^{n + 3 k + 2}) - q^{6 k^{2} + 7 k + 2} (1 - q^{n - 3 k})$ を用いて書き換えると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 7 k + 2}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) = \frac{1}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \frac{1}{(q^{2}; q)_{n} (q; q)_{n}} - \frac{q^{2}}{(q^{2}; q)_{n + 1} (q; q)_{n}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} + \frac{q^{6 k^{2} + k}}{(q; q)_{n - 3 k + 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k - 1}} - \frac{q^{6 k^{2} + 7 k + 2}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}} - \frac{q^{6 k^{2} - 7 k + 2}}{(q; q)_{n - 3 k + 2} (q^{2}; q)_{n + 3 k - 2}}) = \frac{1}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
が得られる. よって定理2が示された. 次に,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 2}) q^{6 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} = \frac{1}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を $q^{6 k^{2} + k} (1 - q^{6 k + 2}) = q^{6 k^{2} + 4 k - n} ((1 - q^{n + 3 k + 2}) - (1 - q^{n - 3 k}))$ を用いて書き換えると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} + 4 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 4 k}}{(q; q)_{n - 3 k - 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k + 1}}) = \frac{q^{n}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \frac{1}{(q; q)_{n}^{2}} - \frac{1}{(q; q)_{n - 1} (q; q)_{n + 1}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{6 k^{2} + 4 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} + \frac{q^{6 k^{2} - 4 k}}{(q; q)_{n - 3 k + 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k - 1}} - \frac{q^{6 k^{2} + 4 k}}{(q; q)_{n - 3 k - 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k + 1}} - \frac{q^{6 k^{2} - 4 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k - 2} (q; q)_{n - 3 k + 2}}) = \frac{q^{n}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る. よって定理4が示された. 次に,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - q^{6 k + 2}) (b; q^{3})_{k} (- 1)^{k} q^{\frac{1}{2} (9 k^{2} + 5 k)}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k} (q^{5} / b; q^{3})_{k} b^{k}} = \frac{(q^{4} / b; q^{3})_{n}}{(q^{3} / b; q)_{n} (q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
において, $b \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 2}) q^{3 k^{2} - k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} = \frac{q^{n^{2}}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を得る. $q^{3 k^{2} - k} (1 - q^{6 k + 2}) = q^{3 k^{2} - k} (1 - q^{n + 3 k + 2}) - q^{3 k^{2} + 5 k + 2} (1 - q^{n - 3 k})$ を用いて書き換えると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} - k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + 5 k + 2}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) = \frac{q^{n^{2}}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \frac{1}{(q^{2}; q)_{n} (q; q)_{n}} - \frac{q^{2}}{(q^{2}; q)_{n + 1} (q; q)_{n - 1}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} - k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} + \frac{q^{3 k^{2} + k}}{(q; q)_{n - 3 k + 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k - 1}} - \frac{q^{3 k^{2} + 5 k + 2}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}} - \frac{q^{3 k^{2} - 5 k + 2}}{(q; q)_{n - 3 k + 2} (q^{2}; q)_{n + 3 k - 2}}) = \frac{q^{n^{2}}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
となるから定理6を得る. また,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} \frac{(1 - q^{6 k + 2}) q^{3 k^{2} - k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k}} = \frac{q^{n^{2}}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
を $q^{3 k^{2} - k} (1 - q^{6 k + 2}) = q^{3 k^{2} + 2 k} ((1 - q^{n + 3 k + 2}) - (1 - q^{n - 3 k}))$ を用いて書き換えると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{3} ⌋}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} + 2 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + 2 k}}{(q; q)_{n - 3 k - 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k + 1}}) = \frac{q^{n^{2} + n}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \frac{1}{(q; q)_{n} (q^{2}; q)_{n}} - \frac{1}{(q; q)_{n - 1} (q^{2}; q)_{n + 1}} + \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} + 2 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} + \frac{q^{3 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n - 3 k + 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k - 1}} - \frac{q^{3 k^{2} + 2 k}}{(q; q)_{n - 3 k - 1} (q^{2}; q)_{n + 3 k + 1}} - \frac{q^{3 k^{2} - 2 k}}{(q; q)_{n - 3 k + 2} (q^{2}; q)_{n + 3 k - 2}}) = \frac{q^{n^{2} + n}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
となる. よって定理8を得る.