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大学数学基礎解説
文献あり

恒等的にゼロでない関数の絶対値の積分値が正であること

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自己紹介

はじめまして!はっぴーたーんです!

新訂版序文の「熱心な読者」(通称:序文の人)こと、大類昌俊 (おおるい まさとし, Masatoshi OHRUI) さんと彼のサイト「 序文とあとがきの人のブログ 」に関する話題をメインに記事を投稿していく予定です!

この記事はMathlogの皆さんとお話しするためのページにするつもりでしたが、流石に数学的な内容を一つも書かないのは良くないと思うので、私が最近見かけた Ohrui(削除済みなのでアーカイブです)有名な事実とその証明を1つ紹介したいと思います!

本題

$u$$\mathbb R^n$(あるいは一般の測度空間)上の実数(あるいは複素数)値可測関数とする. このとき, 以下は同値:

  1. $u(x) = 0\ \ \text{a.e.} \ x \in \mathbb R^n$,
  2. $\int_{\mathbb R^n} |u(x)| \, dx = 0$,
  3. $|u(x)| < r\ \ \text{a.e.} \ x \in \mathbb R^n\ (\forall r > 0)$.

このことから、(1) と (2) の同値性を考えることで『$u(x) = 0 \ \ \text{a.e.}\ x$でない』ことと『$\int_{\mathbb R^n} |u(x)| \, dx > 0$(ただし、$\int_{\mathbb R^n} |u(x)| \, dx = \infty$となる場合を含む)』が同値である、といったことが分かります!

また、$L^p$空間を知っている人向けに補足しておきますと、条件 (2) と (3) はそれぞれ$\|u\|_{L^1} = 0$$\|u\|_{L^\infty} = 0$を意味しています。

それでは、このよく知られた事実を証明していきたいと思います〜

以降, $1_A$で(可測)集合$A \subseteq \mathbb R^n$の定義関数を, $\lambda^n$$n$次元ルベーグ測度を表すことにする.

 (1) ならば (2):$0 \le s \le |u|$なる単関数$s = \sum_{i=1}^m \alpha_i 1_{A_i}$を任意に取る.($\alpha_i > 0\ (1 \le i \le m)$としても差し支えないので, そう仮定する)

このとき, $s$の取り方から, 各$A_i\ (1 \le i \le m)$について$x \in A_i$ならば$|u(x)| \ge s(x) > 0$なので$A_i \subseteq \{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}$となる. 従って, (1) から

$$\lambda^n(A_i) \le \lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}) = 0$$

である. ゆえに, 積分の定義 integral_wiki から

$$\int_{\mathbb R^n} s(x)\,dx = \sum_{i=1}^m \alpha_i \lambda^n(A_i) = 0$$

となる. よって, $s$の任意性より

$$\int_{\mathbb R^n} |u(x)|\,dx = \sup_{\substack{0 \le s \le |u|, \\ s : \text{simple}.}}\int_{\mathbb R^n} s(x)\,dx = 0$$

である.

 (2) ならば (3):対偶を示す. (3) の否定から, ある$r > 0$が存在して$\lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge r\}) > 0$となる.

このとき, 単関数$s$$s = r 1_{\{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge r\}}$と定めると, これは$0 \le s \le |u|$を満たす. よって,

$$\int_{\mathbb R^n} |u(x)|\,dx \ge \int_{\mathbb R^n} s(x)\,dx = r \lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge r\}) > 0$$

が得られる.

 (3) ならば (1):$A_k := \{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge 1/k\}\ \ (k \in \mathbb N)$とおく. このとき, (3) より$\lambda^n(A_k) = 0\ \ (k \in \mathbb N)$である.

さらに, 各$A_k$の定め方より$A_1 \subseteq A_2 \subseteq \dots$であり, アルキメデスの原理から$\bigcup_{k=1}^\infty A_k = \{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}$となるので, 測度のよく知られた性質 measure_wiki より

$$\lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}) = \lim_{k \to \infty} \lambda^n(A_k) = 0$$

となる.

(証明終)

個人的に (3) を経由する所がお気に入りポイントです〜

おわりに

いかがでしたか?それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜

参考文献

投稿日:20231011
更新日:22日前

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投稿者

北田 均『数理解析学概論』新訂版 序文の「熱心な読者」(通称:序文の人)こと、大類昌俊 (おおるい まさとし, Masatoshi OHRUI) さんと彼のサイト「序文とあとがきの人のブログ」に関する話題をメインに記事を投稿しています! 誹謗中傷や低評価による嫌がらせはお止め下さい。 🍺類憐憫令

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