恒等的にゼロでない関数の絶対値の積分値が正であること

以降, $1_A$で（可測）集合$A\subseteq {\mathbb{R}}^n$の定義関数を, ${\lambda }^n$で$n$次元ルベーグ測度を表すことにする.

 (1) ならば (2)：$0\le s\le |u|$なる単関数$s=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{1}_{A_i}$を任意に取る.（${\alpha }_i>0(1\le i\le m)$と仮定しても一般性を失わない）

このとき, $s$の取り方から, 各$A_i(1\le i\le m)$について$x\in A_i$ならば$|u(x)|\ge s(x)>0$なので$A_i\subseteq \{x\in {\mathbb{R}}^n:u(x)\ne 0\}$となる. 従って, (1) から

$${\lambda }^n(A_i)\le {\lambda }^n(\{x\in {\mathbb{R}}^n:u(x)\ne 0\})=0$$

となる. ゆえに, 積分の定義 integral_wiki から

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}s(x)dx=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{\lambda }^n(A_i)=0$$

である. よって, $s$の任意性より

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|u(x)|dx=\underset{\begin{array}{c}0\le s\le |u|,\\ s:\text{simple}\end{array}}{sup}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}s(x)dx=0$$

となる.

 (2) ならば (3)：対偶を示す. (3) の否定から, ある$r>0$が存在して${\lambda }^n(\{x\in {\mathbb{R}}^n:|u(x)|\ge r\})>0$となる.

このとき, 単関数$s$を$s=r{1}_{\{x\in {\mathbb{R}}^n:|u(x)|\ge r\}}$と定めると, これは$0\le s\le |u|$を満たす. よって,

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|u(x)|dx\ge {\int }_{{\mathbb{R}}^n}s(x)dx=r{\lambda }^n(\{x\in {\mathbb{R}}^n:|u(x)|\ge r\})>0$$

が得られる.

 (3) ならば (1)：$A_k:=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|u(x)|\ge 1/k\}(k\in \mathbb{N})$とおく. このとき, (3) より${\lambda }^n(A_k)=0(k\in \mathbb{N})$である.

さらに, 各$A_k$の定め方より$A_1\subseteq A_2\subseteq \dots$であり, アルキメデスの原理から$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k=\{x\in {\mathbb{R}}^n:u(x)\ne 0\}$となるので, 測度のよく知られた性質 measure_wiki より

$${\lambda }^n(\{x\in {\mathbb{R}}^n:u(x)\ne 0\})=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\lambda }^n(A_k)=0$$

となる.

（証明終）