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大学数学基礎解説
文献あり

恒等的にゼロでない関数の絶対値の積分値が正であること

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自己紹介

はじめまして!はっぴーたーんです!

新訂版序文の「熱心な読者」(通称:「序文の人」「序文と初等的弱解の人」)こと、大類昌俊 (おおるい まさとし, Masatoshi OHRUI) さんと彼のサイト「 序文とあとがきの人のブログ 」に関する話題をメインに記事を投稿していく予定です!

この記事はMathlogの皆さんとお話しするためのページにするつもりでしたが、流石に数学的な内容を一つも書かないのは良くないと思うので、私が最近見かけた Ohrui(削除済みなのでアーカイブです)有名な事実と、その証明を1つ紹介したいと思います!

本題

uRn(あるいは一般の測度空間)上の実数値(或いは、複素数値)可測関数とする. このとき, 以下は同値:

  1. u(x)=0  a.e. xRn,
  2. Rn|u(x)|dx=0,
  3. |u(x)|<r  a.e. xRn (r>0).

このことから、(1) と (2) の同値性を考えることで「『u(x)=0  a.e. xでない」ことと「Rn|u(x)|dx>0(ただし、Rn|u(x)|dx=となる場合を含む)」が同値である、といったことが分かります~

また、Lp空間を知っている人向けに補足しておきますと、条件(2)と(3)はそれぞれ uL1=0uL=0 を意味しています!

それでは、このよく知られた事実を証明していきたいと思います〜

以降, 1Aで(可測)集合ARnの定義関数を, λnn次元ルベーグ測度を表すことにする.

 (1) ならば (2):0s|u|なる単関数s=i=1mαi1Aiを任意に取る.(αi>0 (1im)と仮定しても一般性を失わない)

このとき, sの取り方から, 各Ai (1im)についてxAiならば|u(x)|s(x)>0なのでAi{xRn:u(x)0}となる. 従って, (1) から

λn(Ai)λn({xRn:u(x)0})=0

となる. ゆえに, 積分の定義 integral_wiki から

Rns(x)dx=i=1mαiλn(Ai)=0

である. よって, sの任意性より

Rn|u(x)|dx=sup0s|u|,s:simpleRns(x)dx=0

となる.

 (2) ならば (3):対偶を示す. (3) の否定から, あるr>0が存在してλn({xRn:|u(x)|r})>0となる.

このとき, 単関数ss=r1{xRn:|u(x)|r}と定めると, これは0s|u|を満たす. よって,

Rn|u(x)|dxRns(x)dx=rλn({xRn:|u(x)|r})>0

が得られる.

 (3) ならば (1):Ak:={xRn:|u(x)|1/k}  (kN)とおく. このとき, (3) よりλn(Ak)=0  (kN)である.

さらに, 各Akの定め方よりA1A2であり, アルキメデスの原理からk=1Ak={xRn:u(x)0}となるので, 測度のよく知られた性質 measure_wiki より

λn({xRn:u(x)0})=limkλn(Ak)=0

となる.

(証明終)

 (3)を経由する所が個人的なお気に入りポイントです〜

おわりに

いかがでしたか?それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜

参考文献

投稿日:20231011
更新日:3日前
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投稿者

北田均・現代数学社『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」(通称「序文と初等的弱解の人」「序文の人」)こと、大類昌俊 (おおるい まさとし, Masatoshi OHRUI) さんと彼のサイト「序文とあとがきの人のブログ」に関する話題をメインに記事を投稿しています! 誹謗中傷や低評価による嫌がらせはお止め下さい。 🧞‍♂️類憐憫令

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