恒等的にゼロでない関数の絶対値の積分値が正であること

以降, $1_A$で（可測）集合$A \subseteq \mathbb R^n$の定義関数を, $\lambda^n$で$n$次元ルベーグ測度を表すことにする.

 (1) ならば (2)：$0 \le s \le |u|$なる単関数$s = \sum_{i=1}^m \alpha_i 1_{A_i}$を任意に取る.（$\alpha_i > 0\ (1 \le i \le m)$としても差し支えないので, そう仮定する）

このとき, $s$の取り方から, 各$A_i\ (1 \le i \le m)$について$x \in A_i$ならば$|u(x)| \ge s(x) > 0$なので$A_i \subseteq \{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}$となる. 従って, (1) から

$$\lambda^n(A_i) \le \lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}) = 0$$

である. ゆえに, 積分の定義 integral_wiki から

$$\int_{\mathbb R^n} s(x)\,dx = \sum_{i=1}^m \alpha_i \lambda^n(A_i) = 0$$

となる. よって, $s$の任意性より

$$\int_{\mathbb R^n} |u(x)|\,dx = \sup_{\substack{0 \le s \le |u|, \\ s : \text{simple}.}}\int_{\mathbb R^n} s(x)\,dx = 0$$

である.

 (2) ならば (3)：対偶を示す. (3) の否定から, ある$r > 0$が存在して$\lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge r\}) > 0$となる.

このとき, 単関数$s$を$s = r 1_{\{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge r\}}$と定めると, これは$0 \le s \le |u|$を満たす. よって,

$$\int_{\mathbb R^n} |u(x)|\,dx \ge \int_{\mathbb R^n} s(x)\,dx = r \lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge r\}) > 0$$

が得られる.

 (3) ならば (1)：$A_k := \{x \in \mathbb R^n : |u(x)| \ge 1/k\}\ \ (k \in \mathbb N)$とおく. このとき, (3) より$\lambda^n(A_k) = 0\ \ (k \in \mathbb N)$である.

さらに, 各$A_k$の定め方より$A_1 \subseteq A_2 \subseteq \dots$であり, アルキメデスの原理から$\bigcup_{k=1}^\infty A_k = \{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}$となるので, 測度のよく知られた性質 measure_wiki より

$$\lambda^n(\{x \in \mathbb R^n : u(x) \neq 0\}) = \lim_{k \to \infty} \lambda^n(A_k) = 0$$

となる.

（証明終）