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Non-terminating q-Vandermondeの恒等式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

$q$-Vandermondeの恒等式 には
\begin{align} \Q21{b,q^{-n}}{c}{\frac{cq^n}b}&=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}\\ \Q21{b,q^{-n}}{c}{q}&=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}b^n \end{align}
の2つがあった. 上の式はHeineの和公式の特別な場合であるが, 下の式のNon-terminatingへの一般化である
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{q} \end{align}
は一般の変数ではPochhammer記号によって閉じた形では表せないことが知られている. 下の式のNon-terminatingへの一般化として以下のようなものが知られている.

Non-terminating $q$-Vandermondeの恒等式

\begin{align} \Q21{a,b}{c}q&=\frac{(q/c,abq/c;q)_{\infty}}{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}}-\frac{(q/c,a,b;q)_{\infty}}{(c/q,aq/c,bq/c;q)_{\infty}}\Q21{aq/c,bq/c}{q^2/c}q \end{align}

$abcq=de$のとき, Non-terminating $q$-Saalschützの和公式
\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}q&=\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}-\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q \end{align}
において, $a,b,d$を固定して$c\mapsto 0$とすると,
\begin{align} \Q21{a,b}{d}q&=\frac{(q/d,abq/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}-\frac{(q/d,a,b;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\Q21{aq/d,bq/d}{q^2/d}q \end{align}
$d$を改めて$c$とすることによって定理を得る.

これは, 本質的にはAndrews-Askey積分と同値である. Heineの変換公式より,
\begin{align} \Q21{a,b}{c}q&=\frac{(b,aq;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\Q21{c/b,q}{aq}b\\ &=\frac{(aq,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n\\ \Q21{aq/c,bq/c}{q^2/c}q&=\frac{(aq/c,bq^2/c;q)_{\infty}}{(q^2/c,q;q)_{\infty}}\Q21{q/a,q}{bq^2/c}{\frac{aq}c}\\ &=\frac{(aq/c,bq^2/c;q)_{\infty}}{(q^2/c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/a;q)_n}{(bq^2/c;q)_n}{}\left(\frac{aq}c\right)^n\\ &=\frac{1-\frac cq}{1-a}\frac{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}}{(q/c,q;q)_{\infty}}\sum_{0< n}\frac{(1/a;q)_n}{(bq/c;q)_n}{}\left(\frac{aq}c\right)^n\\ &=\frac{1-\frac cq}{1-a}\frac{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}}{(q/c,q;q)_{\infty}}\sum_{n<0}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n\\ \end{align}
である. よって, これらを定理1に代入すると,
\begin{align} \frac{(aq,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n&=\frac{(q/c,abq/c;q)_{\infty}}{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}}-\frac{(aq,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{n<0}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n\\ \end{align}
つまり,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n&=\frac{(c,q,q/c,abq/c;q)_{\infty}}{(aq,b,aq/c,bq/c;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. 変数を置き換えることによって,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\frac{(q,b/a,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(b,q/a,x,b/ax;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. これはRamanujanの和公式と呼ばれるものである.

Ramanujanの和公式

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\frac{(q,b/a,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(b,q/a,x,b/ax;q)_{\infty}} \end{align}

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Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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