Non-terminating q-Vandermondeの恒等式

$q$-Vandermondeの恒等式 には
\begin{align} \Q21{b,q^{-n}}{c}{\frac{cq^n}b}&=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}\\ \Q21{b,q^{-n}}{c}{q}&=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}b^n \end{align}
の2つがあった. 上の式はHeineの和公式の特別な場合であるが, 下の式のNon-terminatingへの一般化である
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{q} \end{align}
は一般の変数ではPochhammer記号によって閉じた形では表せないことが知られている. 下の式のNon-terminatingへの一般化として以下のようなものが知られている.

これは, 本質的にはAndrews-Askey積分と同値である. Heineの変換公式より,
\begin{align} \Q21{a,b}{c}q&=\frac{(b,aq;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\Q21{c/b,q}{aq}b\\ &=\frac{(aq,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n\\ \Q21{aq/c,bq/c}{q^2/c}q&=\frac{(aq/c,bq^2/c;q)_{\infty}}{(q^2/c,q;q)_{\infty}}\Q21{q/a,q}{bq^2/c}{\frac{aq}c}\\ &=\frac{(aq/c,bq^2/c;q)_{\infty}}{(q^2/c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/a;q)_n}{(bq^2/c;q)_n}{}\left(\frac{aq}c\right)^n\\ &=\frac{1-\frac cq}{1-a}\frac{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}}{(q/c,q;q)_{\infty}}\sum_{0< n}\frac{(1/a;q)_n}{(bq/c;q)_n}{}\left(\frac{aq}c\right)^n\\ &=\frac{1-\frac cq}{1-a}\frac{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}}{(q/c,q;q)_{\infty}}\sum_{n<0}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n\\ \end{align}
である. よって, これらを定理1に代入すると,
\begin{align} \frac{(aq,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n&=\frac{(q/c,abq/c;q)_{\infty}}{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}}-\frac{(aq,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{n<0}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n\\ \end{align}
つまり,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(c/b;q)_n}{(aq;q)_n}b^n&=\frac{(c,q,q/c,abq/c;q)_{\infty}}{(aq,b,aq/c,bq/c;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. 変数を置き換えることによって,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\frac{(q,b/a,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(b,q/a,x,b/ax;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. これはRamanujanの和公式と呼ばれるものである.