Non-terminating q-Vandermondeの恒等式

$q$ -Vandermondeの恒等式には
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, q^{- n} \\ c \end{array}; \frac{c q^{n}}{b}] & = \frac{(c / b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} \\ _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, q^{- n} \\ c \end{array}; q] & = \frac{(c / b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
の2つがあった. 上の式はHeineの和公式の特別な場合であるが, 下の式のNon-terminatingへの一般化である
$\begin{array}{r} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; q] \end{array}$
は一般の変数ではPochhammer記号によって閉じた形では表せないことが知られている. 下の式のNon-terminatingへの一般化として以下のようなものが知られている.

Non-terminating

q

-Vandermondeの恒等式

$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; q] & = \frac{(q / c, a b q / c; q)_{\infty}}{(a q / c, b q / c; q)_{\infty}} - \frac{(q / c, a, b; q)_{\infty}}{(c / q, a q / c, b q / c; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a q / c, b q / c \\ q^{2} / c \end{array}; q] \end{aligned}$

$a b c q = d e$ のとき, Non-terminating $q$ -Saalschützの和公式
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; q] & = \frac{(q / d, e / a, e / b, e / c; q)_{\infty}}{(a q / d, b q / d, c q / d, e; q)_{\infty}} - \frac{(q / d, a, b, c, e q / d; q)_{\infty}}{(d / q, a q / d, b q / d, c q / d, e; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / d, b q / d, c q / d \\ q^{2} / d, e q / d \end{array}; q] \end{aligned}$
において, $a, b, d$ を固定して $c \mapsto 0$ とすると,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ d \end{array}; q] & = \frac{(q / d, a b q / d; q)_{\infty}}{(a q / d, b q / d; q)_{\infty}} - \frac{(q / d, a, b; q)_{\infty}}{(d / q, a q / d, b q / d; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a q / d, b q / d \\ q^{2} / d \end{array}; q] \end{aligned}$
$d$ を改めて $c$ とすることによって定理を得る.

これは, 本質的にはAndrews-Askey積分と同値である. Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; q] & = \frac{(b, a q; q)_{\infty}}{(c, q; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / b, q \\ a q \end{array}; b] \\ = \frac{(a q, b; q)_{\infty}}{(c, q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{n}}{(a q; q)_{n}} b^{n} \\ _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a q / c, b q / c \\ q^{2} / c \end{array}; q] & = \frac{(a q / c, b q^{2} / c; q)_{\infty}}{(q^{2} / c, q; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q / a, q \\ b q^{2} / c \end{array}; \frac{a q}{c}] \\ = \frac{(a q / c, b q^{2} / c; q)_{\infty}}{(q^{2} / c, q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(q / a; q)_{n}}{(b q^{2} / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{c})}^{n} \\ = \frac{1 - \frac{c}{q}}{1 - a} \frac{(a q / c, b q / c; q)_{\infty}}{(q / c, q; q)_{\infty}} \sum_{0 < n} \frac{(1 / a; q)_{n}}{(b q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{c})}^{n} \\ = \frac{1 - \frac{c}{q}}{1 - a} \frac{(a q / c, b q / c; q)_{\infty}}{(q / c, q; q)_{\infty}} \sum_{n < 0} \frac{(c / b; q)_{n}}{(a q; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
である. よって, これらを定理1に代入すると,
$\begin{aligned} \frac{(a q, b; q)_{\infty}}{(c, q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{n}}{(a q; q)_{n}} b^{n} & = \frac{(q / c, a b q / c; q)_{\infty}}{(a q / c, b q / c; q)_{\infty}} - \frac{(a q, b; q)_{\infty}}{(c, q; q)_{\infty}} \sum_{n < 0} \frac{(c / b; q)_{n}}{(a q; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(c / b; q)_{n}}{(a q; q)_{n}} b^{n} & = \frac{(c, q, q / c, a b q / c; q)_{\infty}}{(a q, b, a q / c, b q / c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 変数を置き換えることによって,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} & = \frac{(q, b / a, a x, q / a x; q)_{\infty}}{(b, q / a, x, b / a x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. これはRamanujanの和公式と呼ばれるものである.

Ramanujanの和公式

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} & = \frac{(q, b / a, a x, q / a x; q)_{\infty}}{(b, q / a, x, b / a x; q)_{\infty}} \end{aligned}$