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大学数学基礎解説
文献あり

コンパクトハウスドルフ空間における連結成分の開近傍について

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初めに

 前回の記事 コンパクトハウスドルフ空間の連結成分について において、コンパクトハウスドルフ空間の連結成分 $K$ がどのように記述できるか書きました。今回はそれを利用して、$K$ を含むような任意の開集合 $U$に対して、$K \subset V \subset U$ となるようなコンパクト開集合 $V$ を取ることができることについて書きます。

 記事のタイトルの連結成分の開近傍は、この $U$ を指しています。

本題

$X$ をコンパクトハウスドルフ空間、$K$$X$ の連結成分とする。このとき、$K$ を含む任意の開集合 $U$ に対して、$K \subset V \subset U$ となるようなコンパクト開集合 $V$ が存在する。

 $\mathcal{O}_X$$X$ の開集合全体、$\mathcal{F}_X$$X$ の閉集合全体、$\mathcal{A} := \lbrace A \in \mathcal{O}_X \cap \mathcal{F}_X \ |\ K\subset A \rbrace$ とする。 こちら の補題 2 と命題 3 より、$K \subset \displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i \subset U$ となる $A_1,\ \cdots,\ A_n \in \mathcal{A}$ が存在する。$\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i$$X$ の開かつ閉集合であるから、$X$ のコンパクト開集合である。

局所コンパクトの場合

 $X$ がコンパクトではなく局所コンパクトの場合、コンパクト連結成分 $K$ に対して同様の主張が成り立ちます。次の命題は参考文献[1]の p.96 G) を参考にさせていただきました。

$X$ を局所コンパクトハウスドルフ空間、$K$$X$ のコンパクト連結成分とする。このとき、$K$ を含む任意の開集合 $U$ に対して、$K \subset V \subset U$ となるようなコンパクト開集合 $V$ が存在する。

準備

 命題 2 の証明のため、補題を 2 つ用意します。

 以下の補題 3 はMathpediaの「命題 12.4 (正則空間であることの言い換え)」を参考にさせていただきました。(うまくリンクを貼ることができなかったので、上記リンクは参考文献[2]を参考にしていただければ幸いです。)

$X$ をコンパクトハウスドルフ空間空間とする。このとき、任意の $x\in X$$x$ の任意の開近傍 $U$ に対して、次を満たすような $x$ の開近傍 $V$ が存在する:

${\rm Cl}_X V \subset U$

 $X$ は正則空間であるから、$x$$x$ を含まない閉集合 $F := X \setminus U$ に対して、$X$ の開集合 $V,\ W$ が存在して次を満たす:
$$ x\in V,\ F \subset W, V \displaystyle \cap W = \emptyset $$
 $X\setminus W$$X$ の閉集合であるから、
$$ {\rm Cl}_X V \subset X \setminus W \subset X \setminus F = U$$
となる。

 以下の補題 4 は 【Mathpedia】定理 15.3 (Hausdorff空間が局所コンパクトであることの同値な条件) を参考にさせていただきました。${\rm Cl}_X V$ は、$X$ における $V$ の閉包を表すものとします。同様に、${\rm Cl}_K V$$K$ における $V$ の閉包を表すものとします。

$X$ を局所コンパクトハウスドルフ空間とする。このとき、任意の $x\in X$$x$ の任意の開近傍 $U$ に対して、次を満たすような $X$ における $x$ の開近傍 $V$ が存在する:

${\rm Cl}_X V \subset U$ かつ ${\rm Cl}_X V$ はコンパクト

 $\mathcal{O}_X$$X$ の開集合全体とする。$X$ における $x$ のコンパクトな近傍 $K$$x \in W \subset K$ となる $W \in \mathcal{O}_K$ が存在する。$W \cap U$ は コンパクトハウスドルフ空間 $K$ における $x$ の開近傍であるから、命題 1 により、${\rm Cl}_K V \subset W \cap U$ となるような $K$ における $x$ の開近傍 $V$ が存在する。
 以下、$V$ が命題の主張の条件を満たすことを示す。$V \subset W,\ W \in \mathcal{O}_X$ であるから $V \in \mathcal{O}_X$ である。${\rm Cl}_K V$ は ハウスドルフ空間 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ の閉集合であるから、${\rm Cl}_K V$$X$ の閉集合である。よって ${\rm Cl}_X V \subset {\rm Cl}_K V$ であるから、${\rm Cl}_X V \subset U$ である。${\rm Cl}_X V$$K$ においてコンパクトであるから、$X$ においてコンパクトである。

局所コンパクトの場合の証明


命題 2 【 再掲 】

$X$ を局所コンパクトハウスドルフ空間、$K$$X$ のコンパクト連結成分とする。このとき、$K$ を含む任意の開集合 $U$ に対して、$K \subset V \subset U$ となるようなコンパクト開集合 $V$ が存在する。



 命題 2 より、任意の $x\in K$ に対して $x\in W_x \subset U,\ {\rm Cl}_X W_x \subset U$ であり、${\rm Cl}_X W_x$$X$ においてコンパクトであるような $W_x \in \mathcal{O}_X$ が存在する。$\lbrace W_x \rbrace_{x\in K}$ は、コンパクト部分集合 $K$ の開被覆であるから、ここから $K$ の有限部分開被覆$\lbrace W_{x_i} \ |\ i=1,\ \cdots,\ n\rbrace$ を選ぶことができる。$W := \displaystyle \bigcup_{i=1}^n W_{x_i}$ とすると、$K \subset W \subset U$ であり、$K \subset {\rm Cl}_X W = \displaystyle \bigcup_{i=1}^n {\rm Cl}_X W_{x_i} \subset U$ である。
 $K$ は コンパクトハウスドルフ空間 ${\rm Cl}_X W$ の連結成分であるから、 こちら の補題 2 と命題 3 より $K \subset V \subset W$ となるような ${\rm Cl}_X W$ の開かつ閉集合 $V$ が存在する。$V$${\rm Cl}_X W$ の閉集合であるから、$X$ のコンパクト部分集合である。また $V \subset W,\ W \in \mathcal{O}_X$ であるから $V \in \mathcal{O}_X$ である。

参考文献

投稿日:2023226

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pha
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初めまして!ファ♪です☺️ よろしくお願いします🤲🐹

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