コンパクトハウスドルフ空間における連結成分の開近傍について

　${\mathcal{O}}_X$ を $X$ の開集合全体、${\mathcal{F}}_X$ を $X$ の閉集合全体、$\mathcal{A}:=\{A\in {\mathcal{O}}_X\cap {\mathcal{F}}_X|K\subset A\}$ とする。 こちら の補題 2 と命題 3 より、$K\subset {\displaystyle \bigcap _{i=1}^n{A}_i\subset U}$ となる $A_1,\cdots ,A_n\in \mathcal{A}$ が存在する。${\displaystyle \bigcap _{i=1}^n{A}_i}$ は $X$ の開かつ閉集合であるから、$X$ のコンパクト開集合である。

　$X$ は正則空間であるから、$x$ と $x$ を含まない閉集合 $F:=X\setminus U$ に対して、$X$ の開集合 $V,W$ が存在して次を満たす：
$$x\in V,F\subset W,V{\displaystyle \cap W=\mathrm{\varnothing }}$$
　$X\setminus W$ は $X$ の閉集合であるから、
$${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}V\subset X\setminus W\subset X\setminus F=U$$
となる。

　${\mathcal{O}}_X$ を $X$ の開集合全体とする。$X$ における $x$ のコンパクトな近傍 $K$ と $x\in W\subset K$ となる $W\in {\mathcal{O}}_K$ が存在する。$W\cap U$ は コンパクトハウスドルフ空間 $K$ における $x$ の開近傍であるから、命題 1 により、${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{K}V\subset W\cap U$ となるような $K$ における $x$ の開近傍 $V$ が存在する。
　以下、$V$ が命題の主張の条件を満たすことを示す。$V\subset W,W\in {\mathcal{O}}_X$ であるから $V\in {\mathcal{O}}_X$ である。${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{K}V$ は ハウスドルフ空間 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ の閉集合であるから、${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{K}V$ は $X$ の閉集合である。よって ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}V\subset {\mathrm{C}\mathrm{l}}_{K}V$ であるから、${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}V\subset U$ である。${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}V$ は $K$ においてコンパクトであるから、$X$ においてコンパクトである。

　命題 2 より、任意の $x\in K$ に対して $x\in W_x\subset U,{\mathrm{C}\mathrm{l}}_X{W}_x\subset U$ であり、${\mathrm{C}\mathrm{l}}_X{W}_x$ は $X$ においてコンパクトであるような $W_x\in {\mathcal{O}}_X$ が存在する。$\{W_x{\}}_{x\in K}$ は、コンパクト部分集合 $K$ の開被覆であるから、ここから $K$ の有限部分開被覆$\{W_{x_i}|i=1,\cdots ,n\}$ を選ぶことができる。$W:={\displaystyle \bigcup _{i=1}^n{W}_{x_i}}$ とすると、$K\subset W\subset U$ であり、$K\subset {\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}W={\displaystyle \bigcup _{i=1}^n{\mathrm{C}\mathrm{l}}_X{W}_{x_i}\subset U}$ である。
　$K$ は コンパクトハウスドルフ空間 ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}W$ の連結成分であるから、 こちら の補題 2 と命題 3 より $K\subset V\subset W$ となるような ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}W$ の開かつ閉集合 $V$ が存在する。$V$ は ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{X}W$ の閉集合であるから、$X$ のコンパクト部分集合である。また $V\subset W,W\in {\mathcal{O}}_X$ であるから $V\in {\mathcal{O}}_X$ である。