コンパクトハウスドルフ空間における連結成分の開近傍について

　$\mathcal{O}_X$ を $X$ の開集合全体、$\mathcal{F}_X$ を $X$ の閉集合全体、$\mathcal{A} := \lbrace A \in \mathcal{O}_X \cap \mathcal{F}_X \ |\ K\subset A \rbrace$ とする。 こちら の補題 2 と命題 3 より、$K \subset \displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i \subset U$ となる $A_1,\ \cdots,\ A_n \in \mathcal{A}$ が存在する。$\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i$ は $X$ の開かつ閉集合であるから、$X$ のコンパクト開集合である。

　$X$ は正則空間であるから、$x$ と $x$ を含まない閉集合 $F := X \setminus U$ に対して、$X$ の開集合 $V,\ W$ が存在して次を満たす：
$$ x\in V,\ F \subset W, V \displaystyle \cap W = \emptyset $$
　$X\setminus W$ は $X$ の閉集合であるから、
$$ {\rm Cl}_X V \subset X \setminus W \subset X \setminus F = U$$
となる。

　$\mathcal{O}_X$ を $X$ の開集合全体とする。$X$ における $x$ のコンパクトな近傍 $K$ と $x \in W \subset K$ となる $W \in \mathcal{O}_K$ が存在する。$W \cap U$ は コンパクトハウスドルフ空間 $K$ における $x$ の開近傍であるから、命題 1 により、${\rm Cl}_K V \subset W \cap U$ となるような $K$ における $x$ の開近傍 $V$ が存在する。
　以下、$V$ が命題の主張の条件を満たすことを示す。$V \subset W,\ W \in \mathcal{O}_X$ であるから $V \in \mathcal{O}_X$ である。${\rm Cl}_K V$ は ハウスドルフ空間 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ の閉集合であるから、${\rm Cl}_K V$ は $X$ の閉集合である。よって ${\rm Cl}_X V \subset {\rm Cl}_K V$ であるから、${\rm Cl}_X V \subset U$ である。${\rm Cl}_X V$ は $K$ においてコンパクトであるから、$X$ においてコンパクトである。

　命題 2 より、任意の $x\in K$ に対して $x\in W_x \subset U,\ {\rm Cl}_X W_x \subset U$ であり、${\rm Cl}_X W_x$ は $X$ においてコンパクトであるような $W_x \in \mathcal{O}_X$ が存在する。$\lbrace W_x \rbrace_{x\in K}$ は、コンパクト部分集合 $K$ の開被覆であるから、ここから $K$ の有限部分開被覆$\lbrace W_{x_i} \ |\ i=1,\ \cdots,\ n\rbrace$ を選ぶことができる。$W := \displaystyle \bigcup_{i=1}^n W_{x_i}$ とすると、$K \subset W \subset U$ であり、$K \subset {\rm Cl}_X W = \displaystyle \bigcup_{i=1}^n {\rm Cl}_X W_{x_i} \subset U$ である。
　$K$ は コンパクトハウスドルフ空間 ${\rm Cl}_X W$ の連結成分であるから、 こちら の補題 2 と命題 3 より $K \subset V \subset W$ となるような ${\rm Cl}_X W$ の開かつ閉集合 $V$ が存在する。$V$ は ${\rm Cl}_X W$ の閉集合であるから、$X$ のコンパクト部分集合である。また $V \subset W,\ W \in \mathcal{O}_X$ であるから $V \in \mathcal{O}_X$ である。