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【ゲージ理論】Bochner-Weitzenböck公式

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　この記事ではLaplace-de Rham作用素とLaplace-Beltrami作用素の関係を与える重要な公式であるBochner-Weitzenbock公式を証明し、ゲージ群の随伴表現に関する同伴バンドルに値を持つ1形式、2形式に対する成分による明示的な表示を与えます。これらはYang-Mills接続の安定性の議論において重要な役割を果たします。

　 $(M, g)$ をリーマン多様体とし、 $π : E \to M$ を実または複素ベクトルバンドルとします。
$E$ の接続は $\nabla^{E}$ とします。
また $Ω^{k} (E)$ を $E$ に値を持つ $k$ 形式の全体とし、 $d^{E}$ を $Ω (E) = ⨁_{k} Ω^{k} (E)$ の共変外微分、 $δ^{E}$ を $d^{E}$ の形式的随伴作用素とします。
このとき、Laplace-de Rham作用素は
$Δ_{d R}^{E} := d^{E} δ^{E} + δ^{E} d^{E}$
で定義されます。

　また、 $(M, g)$ のリーマン接続 $\nabla$ は $M$ 上の外積バンドル $Λ (M)$ に接続を誘導します。
よって $Λ (E) = Λ (M) \otimes E$ には接続 ${\tilde{\nabla}}^{E} := \nabla \otimes \nabla^{E}$ が定義されます。このときLaplace-Beltrami作用素は
$Δ^{B e l} := ({\tilde{\nabla}}^{E})^{*} {\tilde{\nabla}}^{E}$
で定義されます。ここで $({\tilde{\nabla}}^{E})^{*}$ は ${\tilde{\nabla}}^{E}$ の形式的随伴作用素です。

$M$ の任意の(局所)フレームを ${e_{i}}$ とし、そのコフレームを ${θ^{i}}$ とする。
また ${e_{i}}$ に関する $E$ の曲率形式を $Ω$ とする。
このとき
$\begin{array}{r} Δ_{d R}^{E} = Δ^{B e l} - \sum_{i, j} θ^{i} \land ι_{e_{j}} Ω (e_{i}, e_{j}) \end{array}$
が成り立つ。

$Δ_{d R}^{E} - Δ^{B e l}$ はテンソル場であるから、座標基底 $e_{i} = \partial_{i}, θ^{i} = d x^{i}$ に関して証明すれば十分である。
$\nabla_{\partial_{i}} = \nabla_{i}, ι_{i} = ι_{\partial_{i}}$ と書くことにする。
$\begin{aligned} δ^{E} d^{E} & = - g^{i j} ι_{i} {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} (d x^{k} \land {\tilde{\nabla}}_{k}^{E}) \\ = - g^{i j} ι_{i} d x^{k} \land {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} {\tilde{\nabla}}_{k}^{E} - g^{i j} ι_{i} ({\tilde{\nabla}}_{j}^{E} d x^{k}) \land {\tilde{\nabla}}_{k}^{E} \\ = - g^{i j} ι_{i} d x^{k} \land {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} {\tilde{\nabla}}_{k}^{E} + g^{i j} ι_{i} (Γ_{j l}^{k} d x^{l}) \land {\tilde{\nabla}}_{k}^{E} \\ = - g^{i j} ι_{i} d x^{l} \land ({\tilde{\nabla}}_{j}^{E} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} - {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{j}^{E} \partial_{l}}^{E}) \\ d^{E} δ^{E} & = - d x^{i} \land {\tilde{\nabla}}_{i}^{E} (g^{k l} ι_{k} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E}) \\ = - d x^{i} \land g^{k l} ι_{k} {\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} - d x^{i} \land g^{k l} ι_{{\tilde{\nabla}}_{i}^{E} \partial_{k}} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} \\ = - d x^{i} \land g^{k l} ι_{k} {\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} - d x^{i} \land g^{k l} ι_{Γ_{i k}^{j} \partial_{j}} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} \\ = - d x^{i} \land g^{k l} ι_{k} {\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} + d x^{i} \land g^{k j} ι_{Γ_{i k}^{l} \partial_{j}} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} \\ = - d x^{i} \land g^{k l} ι_{k} {\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} + d x^{i} \land g^{k j} ι_{j} {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{i}^{E} \partial_{k}}^{E} \\ = - d x^{i} \land g^{k l} ι_{k} ({\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{l}^{E} - {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{i}^{E} \partial_{l}}^{E}) \end{aligned}$
であるから、
$\begin{aligned} δ^{E} d^{E} + d^{E} δ^{E} & = - (g^{k i} ι_{k} d x^{j} \land + g^{k j} d x^{i} \land ι_{k}) ({\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} - {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{i}^{E} \partial_{j}}^{E}) \\ = - (g^{i j} - g^{k i} d x^{j} \land ι_{k} + g^{k j} d x^{i} \land ι_{k}) ({\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} - {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{i}^{E} \partial_{j}}^{E}) \\ = Δ^{B e l} - (- g^{k i} d x^{j} \land ι_{k} + g^{k j} d x^{i} \land ι_{k}) ({\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} - {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{i}^{E} \partial_{j}}^{E}) \\ = Δ^{B e l} - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} ({\tilde{\nabla}}_{i}^{E} {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} - {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{i}^{E} \partial_{j}}^{E} - {\tilde{\nabla}}_{j}^{E} {\tilde{\nabla}}_{i}^{E} + {\tilde{\nabla}}_{{\tilde{\nabla}}_{j}^{E} \partial_{i}}^{E}) \\ = Δ^{B e l} - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} Ω_{i j} \end{aligned}$

$(M, g)$ 上の主 $G$ バンドル $P = P (M, G)$ のゲージ場を $A$ とし、曲率を $F$ とするとき、 $ψ = ψ_{i} d x^{i} \in Ω^{1} (g_{A d}), ϕ = \frac{1}{2} ϕ_{i j} d x^{i} \land d x^{j} \in Ω^{2} (g_{A d})$ に対して次が成り立つ。
$\begin{aligned} (1) Δ^{d R} ψ & = Δ^{B e l} ψ + R_{i}^{t} ψ_{t} θ^{i} - [F_{i j}, ψ^{j}] d x^{i} \\ (2) Δ^{d R} ϕ & = Δ^{B e l} ϕ + \frac{1}{2} g^{k l} ([F_{k i}, ϕ_{l j}] - [F_{k j}, ϕ_{l i}]) d x^{i} \land d x^{j} \\ + \frac{1}{2} (R_{i}^{k} ψ_{k j} - R_{j}^{k} ψ_{k i}) d x^{i} \land d x^{j} - \frac{1}{2} R_{k i j}^{t} ψ_{t k} d x^{i} \land d x^{j} \end{aligned}$

(1)の証明
$- g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} Ω_{i j} ψ = R_{i}^{t} ψ_{t} θ^{i} - [F_{i j}, ψ^{j}] d x^{i}$
を示せば良い。
$ψ \in Ω^{1} (g_{A d}) = Γ (Λ^{1} (M) \otimes g_{A d})$ であるから、
$Λ^{1} (M)$ のリーマン接続の曲率形式を $Ω^{\nabla}$ 、 $g_{A d}$ のゲージ接続の曲率形式を $Ω^{A}$ とするとき、
$\begin{aligned} - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} Ω_{i j}^{\nabla} ψ & = R_{i}^{t} ψ_{t} d x^{i} \\ - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} Ω_{i j}^{A} ψ & = - [F_{i j}, ψ^{j}] d x^{i} \end{aligned}$
を示せば良い。
これは以下のように示される。
$\begin{aligned} - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} Ω_{i j}^{\nabla} ψ & = g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} (R_{l i j}^{t} ψ_{t} d x^{l}) = g^{k j} d x^{i} \land R_{l i j}^{t} ψ_{t} δ_{k}^{l} \\ = g^{k j} d x^{i} \land R_{k i j}^{t} ψ_{t} = R_{i}^{t} ψ_{t} d x^{i} \\ - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} Ω_{i j}^{A} ψ = & - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} [F (\partial_{i}, \partial_{j}), ψ] = - g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} [F_{i j}, ψ_{l}] d x^{l} \\ = - g^{k j} d x^{i} [F_{i j}, ψ_{l}] δ_{k}^{l} = - g^{k j} [F_{i j}, ψ_{k}] d x^{i} \\ = - [F_{i j}, ψ^{j}] d x^{i} \end{aligned}$

(2)の証明
(1)と同様に $g^{j k} d x^{i} \land ι_{j} Ω_{i k}^{A} ϕ$ と $g^{k j} d x^{i} \land ι_{k} Ω_{i j}^{\nabla} ϕ$ を計算すればよい。
$Ω_{i j}^{\nabla} ψ = - \frac{1}{2} (R_{k i j}^{t} ψ_{t l} - R_{l i j}^{t} ψ_{t k}) θ^{k} \land θ^{l}$
であるから、
$\begin{aligned} - 2 g^{j k} d x^{i} \land ι_{j} Ω_{i k} ψ = g^{j k} d x^{i} \land ι_{j} (R_{m i k}^{t} ψ_{t l} + R_{l i k}^{t} ψ_{m t}) d x^{m} \land d x^{l} \\ = g^{j k} d x^{i} \land (R_{m i k}^{t} ψ_{t l} + R_{l i k}^{t} ψ_{m t}) (δ_{j}^{m} d x^{l} - δ_{j}^{l} d x^{m}) \\ = g^{j k} d x^{i} \land ((R_{j i k}^{t} ψ_{t l} + R_{l i k}^{t} ψ_{j t}) d x^{l} - (R_{m i k}^{t} ψ_{t j} + R_{j i k}^{t} ψ_{m t}) d x^{m}) \\ = (R_{i}^{t} ψ_{t l} d x^{i} \land d x^{l} + R_{l i k}^{t} ψ_{t}^{k} d x^{i} \land d x^{l} - R_{m i k}^{t} ψ_{t}^{k} d x^{i} \land d x^{m} - R_{i}^{t} ψ_{m t} d x^{i} \land d x^{m}) \\ = 2 R_{i}^{k} ψ_{k j} d x^{i} \land d x^{j} + 2 R_{j i k}^{t} ψ_{t}^{k} d x^{i} \land d x^{j} \\ = 2 R_{i}^{k} ψ_{k j} d x^{i} \land d x^{j} + (R_{j i k}^{t} - R_{i j k}^{t}) ψ_{t}^{k} d x^{i} \land d x^{j} \\ = 2 R_{i}^{k} ψ_{k j} d x^{i} \land d x^{j} + R_{k i j}^{t} ψ_{t}^{k} d x^{i} \land d x^{j} \\ = 2 R_{i}^{k} ψ_{k j} d x^{i} \land d x^{j} - R_{i j}^{t k} ψ_{t k} d x^{i} \land d x^{j} \end{aligned}$
である。
よって
$\begin{aligned} - g^{j k} d x^{i} \land ι_{j} Ω_{i k} ψ & = R_{i}^{k} ψ_{k j} d x^{i} \land d x^{j} - \frac{1}{2} R_{i j}^{t k} ψ_{t k} d x^{i} \land d x^{j} \end{aligned}$
を得る。
また
$\begin{aligned} g^{j k} d x^{i} \land ι_{j} Ω_{i k}^{A} ϕ & = \frac{1}{2} g^{j k} θ^{i} \land ι_{e_{j}} [F_{i k}, ϕ_{l m}] d x^{l} \land d x^{m} \\ = \frac{1}{2} g^{j k} d x^{i} \land [F_{i k}, ϕ_{l m}] (δ_{j}^{l} θ^{m} - δ_{j}^{m} θ^{l}) \\ = g^{j k} [F_{i k}, ϕ_{j l}] d x^{i} \land d x^{l} \\ = \frac{1}{2} g^{j k} ([F_{i k}, ϕ_{j l}] - [F_{l k}, ϕ_{j i}]) d x^{i} \land d x^{l} \end{aligned}$
であるから主張が従う。