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大学数学基礎解説
文献あり

【ゲージ理論】Bochner-Weitzenböck公式

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 前の記事: 【ゲージ理論】いくらかの公式(1)

 この記事ではLaplace-de Rham作用素とLaplace-Beltrami作用素の関係を与える重要な公式であるBochner-Weitzenbock公式を証明し、ゲージ群の随伴表現に関する同伴バンドルに値を持つ1形式、2形式に対する成分による明示的な表示を与えます。これらはYang-Mills接続の安定性の議論において重要な役割を果たします。

 $(M,g)$をリーマン多様体とし、$\pi:E\to M$を実または複素ベクトルバンドルとします。
$E$の接続は$\nabla^E$とします。
また$\Omega^k(E)$$E$に値を持つ$k$形式の全体とし、$d^E$$\Omega(E)=\bigoplus_k\Omega^k(E)$の共変外微分、$\delta^E$$d^E$の形式的随伴作用素とします。
このとき、Laplace-de Rham作用素は
$$ \Delta^E_{dR}:=d^E\delta^E+\delta^E d^E $$
で定義されます。

 また、$(M,g)$のリーマン接続$\nabla$$M$上の外積バンドル$\Lambda(M)$に接続を誘導します。
よって$\Lambda(E)=\Lambda(M)\otimes E$には接続$\tilde\nabla^E:=\nabla\otimes\nabla^E$が定義されます。このときLaplace-Beltrami作用素は
$$ \Delta^{Bel}:=(\tilde\nabla^E)^\ast\tilde\nabla^E $$
で定義されます。ここで$(\tilde\nabla^E)^\ast$$\tilde\nabla^E$の形式的随伴作用素です。

$M$の任意の(局所)フレームを$\{e_i\}$とし、そのコフレームを$\{\theta^i\}$とする。
また$\{e_i\}$に関する$E$の曲率形式を$\Omega$とする。
このとき
\begin{align} \Delta^E_{dR}=\Delta^{Bel}-\sum_{i,j}\theta^i\wedge\iota_{e_j}\Omega(e_i,e_j) \end{align}
が成り立つ。

$\Delta^E_{dR}-\Delta^{Bel}$はテンソル場であるから、座標基底$e_i=\partial_i,\ \theta^i=dx^i$に関して証明すれば十分である。
$\nabla_{\partial_i}=\nabla_i,\ \iota_i=\iota_{\partial_i}$と書くことにする。
\begin{align*} \delta^E d^E&=-g^{ij}\iota_{i}\tilde\nabla^E_{j}(dx^k\wedge\tilde\nabla^E_{k})\nonumber\\ &=-g^{ij}\iota_{i}dx^k\wedge\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{k} -g^{ij}\iota_{i}(\tilde\nabla^E_{j}dx^k)\wedge\tilde\nabla^E_{k}\nonumber\\ &=-g^{ij}\iota_{i}dx^k\wedge\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{k} +g^{ij}\iota_{i}(\Gamma^k_{jl}dx^l)\wedge\tilde\nabla^E_{k}\nonumber\\ &=-g^{ij}\iota_{i}dx^l\wedge(\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{l}-\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{j}\partial_l})\nonumber\\ d^E\delta^E&=-dx^i\wedge\tilde\nabla^E_{i}(g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{l})\nonumber\\ &=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l} -dx^i\wedge g^{kl}\iota_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_k}\tilde\nabla^E_{l}\nonumber\\ &=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l} -dx^i\wedge g^{kl}\iota_{\Gamma^j_{ik}\partial_j}\tilde\nabla^E_{l}\nonumber\\ &=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l} +dx^i\wedge g^{kj}\iota_{\Gamma^l_{ik}\partial_j}\tilde\nabla^E_{l}\nonumber\\ &=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l} +dx^i\wedge g^{kj}\iota_{j}\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_k}\nonumber\\ &=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l} -\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_l})\nonumber \end{align*}
であるから、
\begin{align*} \delta^E d^E+d^E\delta^E&= -(g^{ki}\iota_{k}dx^j\wedge+g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k})(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j} -\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j})\\ &=-(g^{ij}-g^{ki}dx^j\wedge\iota_{k}+g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k})(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j} -\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j})\\ &=\Delta^{Bel}-(-g^{ki}dx^j\wedge\iota_{k}+g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k})(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j} -\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j})\\ &=\Delta^{Bel}-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j} -\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j}-\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{i} +\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{j}\partial_i})\\ &=\Delta^{Bel}-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega_{ij} \end{align*}

$(M,g)$上の主$G$バンドル$P=P(M,G)$のゲージ場を$A$とし、曲率を$F$とするとき、$\psi=\psi_idx^i\in\Omega^1(\mathfrak{g}_{Ad}),\ \phi=\frac{1}{2}\phi_{ij}dx^i\wedge dx^j\in\Omega^2(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して次が成り立つ。
\begin{align*} (1)\ \Delta^{dR}\psi&=\Delta^{Bel}\psi+R^t_{i}\psi_t\theta^i-[F_{ij},\psi^j]dx^i\\ (2)\ \Delta^{dR}\phi&=\Delta^{Bel}\phi +\frac{1}{2}g^{kl}([F_{ki},\phi_{lj}]-[F_{kj},\phi_{li}])dx^i\wedge dx^j\\ &+\frac{1}{2}(R^k_i\psi_{kj}-R^k_j\psi_{ki})dx^i\wedge dx^j -\frac{1}{2}R^t_{kij}\psi_{tk}dx^i\wedge dx^j \end{align*}

(1)の証明
$$ -g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega_{ij}\psi=R^t_{i}\psi_t\theta^i-[F_{ij},\psi^j]dx^i $$
を示せば良い。
$\psi\in\Omega^1(\mathfrak{g}_{Ad})=\Gamma(\Lambda^1(M)\otimes \mathfrak{g}_{Ad})$であるから、
$\Lambda^1(M)$のリーマン接続の曲率形式を$\Omega^\nabla$$\mathfrak{g}_{Ad}$のゲージ接続の曲率形式を$\Omega^A$とするとき、
\begin{align} -g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^\nabla_{ij}\psi&=R^t_{i}\psi_t dx^i\\ -g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^A_{ij}\psi&=-[F_{ij},\psi^j] dx^i \end{align}
を示せば良い。
これは以下のように示される。
\begin{align*} -g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}\Omega_{ij}^\nabla\psi &=g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}(R^t_{lij}\psi_tdx^l) =g^{kj}dx^i\wedge R^t_{lij}\psi_t\delta^l_k\\ &=g^{kj}dx^i\wedge R^t_{kij}\psi_t =R^t_{i}\psi_tdx^i\\ -g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^A_{ij}\psi= &-g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}[F(\partial_i,\partial_j),\psi]= -g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}[F_{ij},\psi_l]dx^l\\ &=-g^{kj}dx^i[F_{ij},\psi_l]\delta_k^l =-g^{kj}[F_{ij},\psi_k]dx^i\\ &=-[F_{ij},\psi^j]dx^i \end{align*}

(2)の証明
(1)と同様に$g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega^A_{ik}\phi$$g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^\nabla_{ij}\phi$を計算すればよい。
$$ \Omega_{ij}^\nabla\psi=-\frac{1}{2}(R^t_{kij}\psi_{tl}-R^t_{lij}\psi_{tk})\theta^k\wedge\theta^l $$
であるから、
\begin{align} &-2g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega_{ik}\psi =g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}(R^t_{mik}\psi_{tl}+R^t_{lik}\psi_{mt})dx^m\wedge dx^l\\ &=g^{jk}dx^i\wedge(R^t_{mik}\psi_{tl}+R^t_{lik}\psi_{mt})(\delta^m_jdx^l-\delta^l_jdx^m)\\ &=g^{jk}dx^i\wedge((R^t_{jik}\psi_{tl}+R^t_{lik}\psi_{jt})dx^l-(R^t_{mik}\psi_{tj}+R^t_{jik}\psi_{mt})dx^m)\\ &=(R^t_{i}\psi_{tl}dx^i\wedge dx^l +R^t_{lik}\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^l -R^t_{mik}\psi_{t}^{\ k}dx^i\wedge dx^m -R^t_{i}\psi_{mt}dx^i\wedge dx^m)\\ &=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j +2R^t_{jik}\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^j\\ &=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j +(R^t_{jik}-R^t_{ijk})\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^j\\ &=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j +R^t_{kij}\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^j\\ &=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j -R^{tk}_{\ \ ij}\psi_{tk}dx^i\wedge dx^j \end{align}
である。
よって
\begin{align} -g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega_{ik}\psi&=R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j -\frac{1}{2}R^{tk}_{\ \ ij}\psi_{tk}dx^i\wedge dx^j \end{align}
を得る。
また
\begin{align} g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega^A_{ik}\phi &=\frac{1}{2}g^{jk}\theta^i\wedge\iota_{e_j}[F_{ik},\phi_{lm}]dx^l\wedge dx^m \\ &=\frac{1}{2}g^{jk}dx^i\wedge[F_{ik},\phi_{lm}](\delta^l_j\theta^m-\delta^m_j\theta^l) \\ &=g^{jk}[F_{ik},\phi_{jl}]dx^i\wedge dx^l \\ &=\frac{1}{2}g^{jk}([F_{ik},\phi_{jl}]-[F_{lk},\phi_{ji}])dx^i\wedge dx^l \end{align}
であるから主張が従う。

参考文献

[1]
小林昭七, 接続の微分幾何とゲージ理論(新装版)
[2]
茂木勇, 伊藤光弘, 復刊 微分幾何学とゲージ理論
[3]
今野宏, 微分幾何学 (大学数学の世界1)
投稿日:202331

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Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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