【ゲージ理論】Bochner-Weitzenböck公式
前の記事： 【ゲージ理論】いくらかの公式（１）
この記事ではLaplace-de Rham作用素とLaplace-Beltrami作用素の関係を与える重要な公式であるBochner-Weitzenbock公式を証明し、ゲージ群の随伴表現に関する同伴バンドルに値を持つ1形式、2形式に対する成分による明示的な表示を与えます。これらはYang-Mills接続の安定性の議論において重要な役割を果たします。
$(M,g)$をリーマン多様体とし、$\pi:E\to M$を実または複素ベクトルバンドルとします。
$E$の接続は$\nabla^E$とします。
また$\Omega^k(E)$を$E$に値を持つ$k$形式の全体とし、$d^E$を$\Omega(E)=\bigoplus_k\Omega^k(E)$の共変外微分、$\delta^E$を$d^E$の形式的随伴作用素とします。
このとき、Laplace-de Rham作用素は
$$
\Delta^E_{dR}:=d^E\delta^E+\delta^E d^E
$$
で定義されます。
また、$(M,g)$のリーマン接続$\nabla$は$M$上の外積バンドル$\Lambda(M)$に接続を誘導します。
よって$\Lambda(E)=\Lambda(M)\otimes E$には接続$\tilde\nabla^E:=\nabla\otimes\nabla^E$が定義されます。このときLaplace-Beltrami作用素は
$$
\Delta^{Bel}:=(\tilde\nabla^E)^\ast\tilde\nabla^E
$$
で定義されます。ここで$(\tilde\nabla^E)^\ast$は$\tilde\nabla^E$の形式的随伴作用素です。
$M$の任意の(局所)フレームを$\{e_i\}$とし、そのコフレームを$\{\theta^i\}$とする。
また$\{e_i\}$に関する$E$の曲率形式を$\Omega$とする。
このとき
\begin{align}
\Delta^E_{dR}=\Delta^{Bel}-\sum_{i,j}\theta^i\wedge\iota_{e_j}\Omega(e_i,e_j)
\end{align}
が成り立つ。
$\Delta^E_{dR}-\Delta^{Bel}$はテンソル場であるから、座標基底$e_i=\partial_i,\ \theta^i=dx^i$に関して証明すれば十分である。
$\nabla_{\partial_i}=\nabla_i,\ \iota_i=\iota_{\partial_i}$と書くことにする。
\begin{align*}
\delta^E d^E&=-g^{ij}\iota_{i}\tilde\nabla^E_{j}(dx^k\wedge\tilde\nabla^E_{k})\nonumber\\
&=-g^{ij}\iota_{i}dx^k\wedge\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{k}
-g^{ij}\iota_{i}(\tilde\nabla^E_{j}dx^k)\wedge\tilde\nabla^E_{k}\nonumber\\
&=-g^{ij}\iota_{i}dx^k\wedge\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{k}
+g^{ij}\iota_{i}(\Gamma^k_{jl}dx^l)\wedge\tilde\nabla^E_{k}\nonumber\\
&=-g^{ij}\iota_{i}dx^l\wedge(\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{l}-\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{j}\partial_l})\nonumber\\
d^E\delta^E&=-dx^i\wedge\tilde\nabla^E_{i}(g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{l})\nonumber\\
&=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l}
-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_k}\tilde\nabla^E_{l}\nonumber\\
&=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l}
-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{\Gamma^j_{ik}\partial_j}\tilde\nabla^E_{l}\nonumber\\
&=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l}
+dx^i\wedge g^{kj}\iota_{\Gamma^l_{ik}\partial_j}\tilde\nabla^E_{l}\nonumber\\
&=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l}
+dx^i\wedge g^{kj}\iota_{j}\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_k}\nonumber\\
&=-dx^i\wedge g^{kl}\iota_{k}(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{l}
-\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_l})\nonumber
\end{align*}
であるから、
\begin{align*}
\delta^E d^E+d^E\delta^E&=
-(g^{ki}\iota_{k}dx^j\wedge+g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k})(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j}
-\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j})\\
&=-(g^{ij}-g^{ki}dx^j\wedge\iota_{k}+g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k})(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j}
-\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j})\\
&=\Delta^{Bel}-(-g^{ki}dx^j\wedge\iota_{k}+g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k})(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j}
-\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j})\\
&=\Delta^{Bel}-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}(\tilde\nabla^E_{i}\tilde\nabla^E_{j}
-\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{i}\partial_j}-\tilde\nabla^E_{j}\tilde\nabla^E_{i}
+\tilde\nabla^E_{\tilde\nabla^E_{j}\partial_i})\\
&=\Delta^{Bel}-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega_{ij}
\end{align*}
$(M,g)$上の主$G$バンドル$P=P(M,G)$のゲージ場を$A$とし、曲率を$F$とするとき、$\psi=\psi_idx^i\in\Omega^1(\mathfrak{g}_{Ad}),\ \phi=\frac{1}{2}\phi_{ij}dx^i\wedge dx^j\in\Omega^2(\mathfrak{g}_{Ad})$に対して次が成り立つ。
\begin{align*}
(1)\ \Delta^{dR}\psi&=\Delta^{Bel}\psi+R^t_{i}\psi_t\theta^i-[F_{ij},\psi^j]dx^i\\
(2)\ \Delta^{dR}\phi&=\Delta^{Bel}\phi
+\frac{1}{2}g^{kl}([F_{ki},\phi_{lj}]-[F_{kj},\phi_{li}])dx^i\wedge dx^j\\
&+\frac{1}{2}(R^k_i\psi_{kj}-R^k_j\psi_{ki})dx^i\wedge dx^j
-\frac{1}{2}R^t_{kij}\psi_{tk}dx^i\wedge dx^j
\end{align*}
(1)の証明
$$
-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega_{ij}\psi=R^t_{i}\psi_t\theta^i-[F_{ij},\psi^j]dx^i
$$
を示せば良い。
$\psi\in\Omega^1(\mathfrak{g}_{Ad})=\Gamma(\Lambda^1(M)\otimes \mathfrak{g}_{Ad})$であるから、
$\Lambda^1(M)$のリーマン接続の曲率形式を$\Omega^\nabla$、$\mathfrak{g}_{Ad}$のゲージ接続の曲率形式を$\Omega^A$とするとき、
\begin{align}
-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^\nabla_{ij}\psi&=R^t_{i}\psi_t dx^i\\
-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^A_{ij}\psi&=-[F_{ij},\psi^j] dx^i
\end{align}
を示せば良い。
これは以下のように示される。
\begin{align*}
-g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}\Omega_{ij}^\nabla\psi
&=g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}(R^t_{lij}\psi_tdx^l)
=g^{kj}dx^i\wedge R^t_{lij}\psi_t\delta^l_k\\
&=g^{kj}dx^i\wedge R^t_{kij}\psi_t
=R^t_{i}\psi_tdx^i\\
-g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^A_{ij}\psi=
&-g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}[F(\partial_i,\partial_j),\psi]=
-g^{kj}dx^i\wedge\iota_{k}[F_{ij},\psi_l]dx^l\\
&=-g^{kj}dx^i[F_{ij},\psi_l]\delta_k^l
=-g^{kj}[F_{ij},\psi_k]dx^i\\
&=-[F_{ij},\psi^j]dx^i
\end{align*}
(2)の証明
(1)と同様に$g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega^A_{ik}\phi$と$g^{kj}dx^i\wedge \iota_{k}\Omega^\nabla_{ij}\phi$を計算すればよい。
$$
\Omega_{ij}^\nabla\psi=-\frac{1}{2}(R^t_{kij}\psi_{tl}-R^t_{lij}\psi_{tk})\theta^k\wedge\theta^l
$$
であるから、
\begin{align}
&-2g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega_{ik}\psi
=g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}(R^t_{mik}\psi_{tl}+R^t_{lik}\psi_{mt})dx^m\wedge dx^l\\
&=g^{jk}dx^i\wedge(R^t_{mik}\psi_{tl}+R^t_{lik}\psi_{mt})(\delta^m_jdx^l-\delta^l_jdx^m)\\
&=g^{jk}dx^i\wedge((R^t_{jik}\psi_{tl}+R^t_{lik}\psi_{jt})dx^l-(R^t_{mik}\psi_{tj}+R^t_{jik}\psi_{mt})dx^m)\\
&=(R^t_{i}\psi_{tl}dx^i\wedge dx^l
+R^t_{lik}\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^l
-R^t_{mik}\psi_{t}^{\ k}dx^i\wedge dx^m
-R^t_{i}\psi_{mt}dx^i\wedge dx^m)\\
&=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j
+2R^t_{jik}\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^j\\
&=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j
+(R^t_{jik}-R^t_{ijk})\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^j\\
&=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j
+R^t_{kij}\psi^k_{\ t}dx^i\wedge dx^j\\
&=2R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j
-R^{tk}_{\ \ ij}\psi_{tk}dx^i\wedge dx^j
\end{align}
である。
よって
\begin{align}
-g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega_{ik}\psi&=R^k_i\psi_{kj}dx^i\wedge dx^j
-\frac{1}{2}R^{tk}_{\ \ ij}\psi_{tk}dx^i\wedge dx^j
\end{align}
を得る。
また
\begin{align}
g^{jk}dx^i\wedge\iota_{j}\Omega^A_{ik}\phi
&=\frac{1}{2}g^{jk}\theta^i\wedge\iota_{e_j}[F_{ik},\phi_{lm}]dx^l\wedge dx^m \\
&=\frac{1}{2}g^{jk}dx^i\wedge[F_{ik},\phi_{lm}](\delta^l_j\theta^m-\delta^m_j\theta^l) \\
&=g^{jk}[F_{ik},\phi_{jl}]dx^i\wedge dx^l \\
&=\frac{1}{2}g^{jk}([F_{ik},\phi_{jl}]-[F_{lk},\phi_{ji}])dx^i\wedge dx^l
\end{align}
であるから主張が従う。