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大学数学基礎解説
文献あり

コンパクト位相群の正規核について

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$$$$

初めに

記事の内容 部分群に含まれる最大の正規部分群について

で、群 $G$ の 部分群 $H$ の正規核について書きました✨
今回は$G$ がコンパクト位相群の場合、正規核は $G$ の開集合となることについて書きます。

#1


 このところ雨が続き、今日も厚い雲がこれでもかと青空がこちらを覗くのを阻んでいる。
「いらっしゃいませ。」
店員が品の良い立ち振る舞いと笑顔で出迎えた。
「いつになったら止むのかしら。」
ずぶ濡れになったコートをかけながらため息交じりに呟く。
「そうですね、明日には止むらしいですよ。」
店員が椅子を引きながら笑顔で答えた。女性は黙って椅子に腰かけた。(こんなに厚い雲が何重にも空を覆っているのに。きっと明日も雨に違いないわ・・・)
「明日は青空が見えるはずです。」
店員は笑顔を絶やさずそう付け加えた。

本題

次の命題は参考文献[1] の p.143 定理 17 を参考にさせていただきました。

$G$ をコンパクト位相群、$H$$G$ の開部分群とする。このとき $H$ の正規核は $G$ の開集合である。

 $H_G$$G$ における $H$ の正規核、$e$$G$ の単位元とすると、以下が示すことである:

$V \subset H_G$ となる $G$ における $e$ の開近傍が存在する

 まず、$x^{-1}ex = e \in H$ であることと $H$$G$ の開集合であることより、任意の $x \in G$ に対して $W_x^{-1} V_x W_x \subset H$ となるような $x$ の開近傍 $W_x$$e$ の開近傍 $V_x$ が存在する。$\lbrace W_x \rbrace_{x\in G}$$G$ の開被覆であり $G$ はコンパクトであるから、$\lbrace W_x \rbrace_{x\in G}$$G = \displaystyle \bigcup_{i=1}^n W_{x_i}$ となる $W_{x_1}, \cdots W_{x_n}$ を含む。$V := \displaystyle \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}$$G$ における $e$ の開近傍である。
 任意の $x\in G$ に対して $x^{-1}Vx$ はある $W_{x_i}^{-1} V_{x_i} W_{x_i}$ ($\subset H$) に含まれるから、$V \subset H_G$ となる。

$H$ の正規核が $G$正規部分群であることを踏まえると、以下の系が成り立ちます。

命題1

$G$ をコンパクト位相群、$H$$G$ の開部分群とする。このとき、$H$ に含まれる $G$ のコンパクト正規開部分群が存在する。

#2


 朝、目を覚ますと昨晩まで続いていたひどい雨は嘘のように止んでいた。空には今にも千切れそうな薄い雲が、青空を覆おうと懸命にその体を伸ばしていた。

参考文献

[1]
ポントリャーギン(著)、柴岡泰光・杉浦光夫・宮崎功(訳), 連続群論 上, 岩波書店, 1977
投稿日:202333

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投稿者

pha
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初めまして!ファ♪です☺️ よろしくお願いします🤲🐹

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