文献あり

コンパクト位相群の正規核について

初めに

で、群 $G$ の部分群 $H$ の正規核について書きました✨
今回は $G$ がコンパクト位相群の場合、正規核は $G$ の開集合となることについて書きます。

#1

　このところ雨が続き、今日も厚い雲がこれでもかと青空がこちらを覗くのを阻んでいる。
「いらっしゃいませ。」
店員が品の良い立ち振る舞いと笑顔で出迎えた。
「いつになったら止むのかしら。」
ずぶ濡れになったコートをかけながらため息交じりに呟く。
「そうですね、明日には止むらしいですよ。」
店員が椅子を引きながら笑顔で答えた。女性は黙って椅子に腰かけた。（こんなに厚い雲が何重にも空を覆っているのに。きっと明日も雨に違いないわ・・・）
「明日は青空が見えるはずです。」
店員は笑顔を絶やさずそう付け加えた。

本題

次の命題は参考文献[1] の p.143 定理 17 を参考にさせていただきました。

$G$ をコンパクト位相群、 $H$ を $G$ の開部分群とする。このとき $H$ の正規核は $G$ の開集合である。

　 $H_{G}$ を $G$ における $H$ の正規核、 $e$ を $G$ の単位元とすると、以下が示すことである：

V \subset H_{G}

となる

G

における

e

の開近傍が存在する

　まず、 $x^{- 1} e x = e \in H$ であることと $H$ が $G$ の開集合であることより、任意の $x \in G$ に対して $W_{x}^{- 1} V_{x} W_{x} \subset H$ となるような $x$ の開近傍 $W_{x}$ と $e$ の開近傍 $V_{x}$ が存在する。 ${W_{x}}_{x \in G}$ は $G$ の開被覆であり $G$ はコンパクトであるから、 ${W_{x}}_{x \in G}$ は $G = ⋃_{i = 1}^{n} W_{x_{i}}$ となる $W_{x_{1}}, \dots W_{x_{n}}$ を含む。 $V := ⋂_{i = 1}^{n} V_{x_{i}}$ は $G$ における $e$ の開近傍である。
　任意の $x \in G$ に対して $x^{- 1} V x$ はある $W_{x_{i}}^{- 1} V_{x_{i}} W_{x_{i}}$ ( $\subset H$ ) に含まれるから、 $V \subset H_{G}$ となる。