Specという名のモナド

$X$を含むイデアル全体の共通部分を$⟨X⟩$とする. これがイデアルであることを示す. まず$X\subset (1)$よりこれは空ではない. また任意のイデアルは$0$を含むので$⟨X⟩$も$0$を含む. $x,y\in ⟨X⟩$とする. すると$X$を含む任意のイデアルに$x,y$は含まれる. すると$x\vee y$も含まれるので$x\vee y\in ⟨X⟩$. 最後に$x\le y$, $y\in ⟨X⟩$とする. $y$を含むイデアルは$x$も含み, $X$を含むイデアルは$y$を含むので, $x\in ⟨X⟩$が言える.

$X$の最小上界を$x$とすればよい.

ある$X$の有限部分集合$X^{\prime }$が存在して$⟨X^{\prime }⟩$の元となるもの全体からなる集合を$I$と置く. $X^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$とすると$0\in ⟨X^{\prime }⟩$なので$0\in I$. また$x,y\in I$とすると$X$の有限部分集合$X^{\prime }$, $X^{″}$があって$x\in ⟨X^{\prime }⟩$, $y\in ⟨X^{″}⟩$. すると$X^{\prime }\cup X^{″}$を含む任意のイデアルは$X^{\prime }$を含むため$⟨X^{\prime }⟩$を含み, $x$を含む. 同様に$y$も含むため$x\vee y$を含む. よって$x\vee y\in ⟨X^{\prime }\cup X^{″}$となり$x\vee y\in I$. さらに$x\le y$, $y\in I$とすると$X$の有限部分集合$X^{\prime }$があって$y\in ⟨X^{\prime }⟩$より$x\in ⟨X^{\prime }⟩$, よって$x\in I$. 結局$I$はイデアルである. $I$が$X$を含むことは明らかなので,$I$は$⟨X⟩$を含む. $x\in ⟨X⟩$ならば$x\in I$であるためある$X$の有限部分集合が存在して$x\in ⟨X^{\prime }⟩$.

$I\vee J$が$I$と$J$の上界であることは明らか. $X$を他の上界とする. このとき任意の$x\in I$, $y\in J$について$x,y\in X$であるためイデアルの定義より$x\vee y\in X$である. よって$I\vee J\le X$であり, $I\vee J$が$I$と$J$の最小上界であることが示された.

$I\cap J$が$I$と$J$の最大下界であることは明らか. $x\in I$, $y\in J$とすると$x\wedge y\le x$, $x\wedge y\le y$より$x\wedge y\in I\cap J$である. よって$I\wedge J\le I\cap J$. さらに$x\in I\cap J$とすると$x=x\wedge x\in I\wedge J$より$I\cap J\le I\wedge J$も言える. よって$I\wedge J=I\cap J$である.

束であることはすでに示した二つの補題からわかる. 任意のイデアルは$0$を含むことから$(0)$が最小元であることがわかる. また任意の$x$について$x\le 1$より$x\in (1)$であるため$(1)$が最大元であることがわかる. 最後に分配法則を示す. $I,J,K\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$とする. 任意の$x\in I\vee (J\wedge K)$について, ある$y\in I$, $z\in J\wedge K$が存在し$x=y\vee z$と書ける. $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の$\wedge$の定義より$z\in J$かつ$z\in K$であり, よって$y\vee z\in I\vee J$かつ$y\vee z\in I\vee K$である. よって$x=y\vee z\in (I\vee J)\wedge (I\wedge K)$である. 逆に$x\in (I\vee J)\wedge (I\vee K)$とすると$x\in I\vee J$かつ$x\in I\wedge K$である. よって$y\in I$, $z\in J$, $y^{\prime }\in I$, $z^{\prime }\in K$があり$x=y\vee z=y^{\prime }\vee z^{\prime }$である. 今
$$(y\vee y^{\prime })\vee (z\wedge z^{\prime })=((y\vee z)\vee y^{\prime })\wedge ((y^{\prime }\vee z^{\prime })\vee y)=(x\vee y^{\prime })\wedge (x\vee y)=x$$であり, $y\vee y^{\prime }\in I$, $z\wedge z^{\prime }\in J\wedge K$であるため$x\in I\vee (J\wedge K)$. 残りも同様である.

$⟨f((0))⟩=(0)$であるため最小元は最小元に移る. また$f((1))$は$1$を含むので$⟨f((1))⟩=(1)$である. よって最大元も最大元に移る. $I,J\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$とする. $x\in ⟨f(I\vee J)⟩$を取ると, ある$y\in I$, $z\in J$があって$x\le f(y\vee z)=f(y)\vee f(z)$である. $x\wedge f(y)\in ⟨f(I)⟩$, $x\wedge f(z)\in ⟨f(J)⟩$なので$x=x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)\in ⟨f(I)⟩\vee ⟨f(J)⟩$. また$x\in ⟨f(I)⟩\vee ⟨f(J)⟩$とするとある$y\in ⟨f(I)⟩$, $z\in ⟨f(J)⟩$があって$x=y\vee z$と書ける. さらにある$y^{\prime }\in I$, $z^{\prime }\in J$があって$y\le f(y^{\prime })$, $z\le f(z^{\prime })$なので$x\le f(y^{\prime })\vee f(z^{\prime })=f(y^{\prime }\vee z^{\prime })$. $y^{\prime }\vee z^{\prime }\in I\vee J$なので$x\in ⟨f(I\vee J)⟩$. よって$⟨f(I\vee J)⟩=⟨f(I)⟩\vee ⟨f(J)⟩$である. $\wedge$についても同様である.

最小元が最小元に, 最大元が最大元に移ることは明らか. $x,y\in L$とする. $(x\vee y)=(x)\vee (y)$を示す. $z\in (x\vee y)$のとき$z\le x\vee y$である. $z\wedge x\le x$より$z\wedge x\in (x)$, $z\wedge y\le y$より$z\wedge y\in (y)$である. $(z\wedge x)\vee (z\wedge y)=z\wedge (x\vee y)=z$より$z\in (x)\vee (y)$である. 逆に$z\in (x)\vee (y)$とするとある$w\le x$, $w^{\prime }\le y$があって$z=w\vee w^{\prime }$と書けるので$z\le x\vee y$であり$z\in (x\vee y)$である. $\wedge$についても同様.

$x\in L$とする. ${\eta }_{L^{\prime }}\circ f(x)=(f(x))$である. 一方$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(f)\circ {\eta }_L(x)=⟨f((x))⟩$である. $y\in f((x))$とするとある$y^{\prime }\le x$があって$y=f(y^{\prime })$と書けるので$y\le f(x)$. よって$y\in (f(x))$である. 一方$x\in (x)$より$f(x)\in f((x))$なので任意の$y\le f(x)$は$⟨f((x))⟩$に含まれる. よって$(f(x))=f((x))$である.

$\mathfrak{I}\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$とすると, $\mu (\mathfrak{I})=\bigcup \mathfrak{I}=\{x\mid \mathrm{\exists }I\in \mathfrak{I},x\in I\}$である. $\bigcup \mathfrak{I}$が$L$のイデアルであることを示す. まず$\mathfrak{I}$は$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$のイデアルであるため$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の最小元$(0)$を含む. よって$\mu (\mathfrak{I})$は$0$を含む. また, $x,y\in \mathfrak{I}$とすると, ある$L$のイデアル$I\in \mathfrak{I}$, $J\in \mathfrak{J}$があって$x\in I$, $y\in J$である. よって$x\vee y\in I\vee J$である. $\mathfrak{I}$は$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$のイデアルであるため, $I\vee J\in \mathfrak{I}$である. よって$x\vee y\in \mu (\mathfrak{I})$である. さらに$x\le y$, $I\in \mathfrak{I}$, $y\in I$とすると$x\in I$であるため$x\in \mu (\mathfrak{I})$である. よって$\mu (\mathfrak{I})$は$L$のイデアル, すなわち$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の元である.

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の最小元は$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の最小元$(0)$で生成されるイデアル, すなわち$((0))$である. $\mu ((0))=\bigcup \{(0)\}=(0)$なので$\mu$は最小元を最小元に移す. $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の最大元は$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の最大元$(1)$で生成されるイデアル, すなわち$((1))$である. $\mu ((1))=\bigcup \{I\mid I\le (1)\}=(1)$なので$\mu$は最大元を最大元に移す. $\mathfrak{I},\mathfrak{J}\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$とすると$\mathfrak{I}\vee \mathfrak{J}=\{I\vee J\mid I\in \mathfrak{I},J\in \mathfrak{J}\}$である. $x\in \mu (\mathfrak{I}\vee \mathfrak{J})$とするとある$I\in \mathfrak{I}$, $J\in \mathfrak{J}$があって$x\in I\vee J$である. さらにこれはある$y\in I$, $z\in J$があって$x=y\vee z$であることを意味する. $y\in I$, $I\in \mathfrak{I}$から$y\in \mu (\mathfrak{I})$が, 同様に$z\in \mu (\mathfrak{J})$がわかり, $x\in \mu (\mathfrak{I})\vee \mu (\mathfrak{J})$が言える. これで$\mu (\mathfrak{I}\vee \mathfrak{J})\le \mu (\mathfrak{I})\vee \mu (\mathfrak{J})$が言えた. 逆に$x\in \mu (\mathfrak{I})\vee \mu (\mathfrak{J})$とする. するとある$y\in \mathfrak{I}$と$z\in \mathfrak{J}$が存在して$x=y\vee z$と書ける. $y\in \mathfrak{I}$よりある$I\in \mathfrak{I}$が存在して$y\in I$であり, 同様にある$J\in \mathfrak{J}$が存在して$z\in J$である. $I\vee J\in \mathfrak{I}\vee \mathfrak{J}$であるため$x\in \mu (\mathfrak{I}\vee \mathfrak{J})$であり, $\mu (\mathfrak{I})\vee \mu (\mathfrak{J})\le \mu (\mathfrak{I}\vee \mathfrak{J})$が言えた. $\wedge$についても同様である.

$x\in L$とする. $x\in \mu (⟨X⟩)$とすると, ある$I\in ⟨X⟩$があって$x\in I$である. $\mathfrak{I}={\eta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)}(⟨\bigcup X⟩)$と置くと, 任意の$J\in X$について$J\subset \bigcup X\subset ⟨\bigcup X⟩$であるため$J\in \mathfrak{I}$である. $X\subset \mathfrak{I}$より$⟨X⟩\subset \mathfrak{I}$であり, よって$I\in \mathfrak{I}$である. したがって$x\in I\subset ⟨\bigcup X⟩$である. 逆に$x\in ⟨\bigcup X⟩$とすると, ある$\bigcup X$の有限部分集合$A$があって$x\in ⟨A⟩$. よって$X$の有限部分集合$X^{\prime }$であって$x\in ⟨\bigcup X^{\prime }⟩$となるものがある. しかし$⟨\bigcup X^{\prime }⟩$は$X^{\prime }$に属すイデアルの最小上界であり, よって$X$を含む$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$の任意のイデアルに$x$は含まれる. つまり$x\in \mu (⟨X⟩)$である.

$\mathfrak{I}\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$とする. $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(f)(\mathfrak{I})=⟨\{⟨f(I)⟩\mid I\in \mathfrak{I}\}⟩$である. よって${\mu }_{L^{\prime }}\circ \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(f)={\mu }_{L^{\prime }}(⟨\{⟨f(I)⟩\mid I\in \mathfrak{I}\}⟩)$であるが, これは今示した補題より$⟨\bigcup \{⟨f(I)⟩\mid I\in \mathfrak{I}\}⟩$とできる. 一方$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(f)\circ {\mu }_L(\mathfrak{I})=⟨\{f(x)\mid x\in \bigcup \mathfrak{I}\}⟩$である. $\bigcup \{⟨f(I)⟩\mid I\in \mathfrak{I}\}$を含むイデアルとは, すなわちすべての$I\in \mathfrak{I}$について$⟨f(I)⟩$を含むイデアルである. それは$f(I)$を含むことと等しいので, 結局考えているイデアルは$\{f(x)\mid x\in \bigcup \mathfrak{I}\}$を含むイデアルである. よって$⟨\bigcup \{⟨f(I)\mid I\in \mathfrak{I}\}⟩=⟨\{f(x)\mid x\in \bigcup \mathfrak{I}\}⟩$である.

$L$のイデアル$I$を取る.
$$\mu \circ \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\eta )(I)=\mu (⟨\{\eta (x)\mid x\in I\}⟩)=⟨\bigcup \{\eta (x)\mid x\in I\}⟩=⟨I⟩=I$$より$\mu \circ \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\eta )=\mathrm{i}\mathrm{d}$である. また
$$\mu \circ \eta (I)=\mu \{J\mid J\le I\}=I$$より$\mu \circ {\eta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)}=\mathrm{i}\mathrm{d}$である.

$\mathrm{\Gamma }\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)$とする.
$$\mu \circ \mu (\mathrm{\Gamma })=\bigcup \bigcup \mathrm{\Gamma }$$である. 一方
$$\mu \circ \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mu )(\mathrm{\Gamma })=\mu (⟨\{\mu (\mathfrak{I})\mid \mathfrak{I}\in \mathrm{\Gamma }\}⟩)=⟨\bigcup \{\mu (\mathfrak{I})\mid \mathfrak{I}\in \mathrm{\Gamma }\}⟩=⟨\bigcup \bigcup \mathrm{\Gamma }⟩=\bigcup \bigcup \mathrm{\Gamma }$$である.