ガロア理論③　体上の多項式

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はじめに

今回の記事は，ガロア理論① で扱わなかった体の性質を二つ扱います。今回は命題の証明が続くので若干ハードですが，どちらも今後の議論に役立つものです。

体上の多項式環

$K$ が体ならば，多項式環 $K [x]$ は $P I D$ （単項イデアル整域）である。

$I$ を $K [x]$ の任意のイデアルとする。 $I \neq (0)$ としてよい。
$I$ が $0$ でない定数 $a \in K$ を含むならば， $a a^{- 1} = 1 \in I$ であるから $I = (1)$ である。
以下ではそうでないとし， $I$ に含まれる $0$ でない次数最小の多項式を一つとって $g$ とする。このとき，任意の $f \in I$ に対し $f = g q + r, \deg r < \deg g$ を満たす $q, r \in K [x]$ が存在し，しかも $r = f - g q \in I$ となるが， $r \neq 0$ と仮定すると $\deg g$ の最小性に矛盾する。よって $r = 0$ であるから， $I \subseteq (g)$
逆の包含関係は明らかであるから， $I = (g)$ 　□

体上の多項式環

$ℚ [x], ℝ [x], ℂ [x]$ は $P I D$ である。
一方で， $ℤ [x]$ は整域であるが $P I D$ ではない。
たとえば， $(2, x) \subseteq ℤ [x]$ は単項イデアルでない。実際， $f \in ℤ [x]$ が存在して $(f) = (2, x)$ と仮定すると， $g, h \in ℤ [x]$ が存在して $f g = 2, f h = x$
この二式から $f = \pm 1$ のいずれかとなるが， $1 \notin (2, x)$ に矛盾する。

可換環の極大イデアルによる商

$R$ を可換環とする。以下の条件は同値である。
$(ⅰ) I \subseteq R$ は極大イデアルである。
$(ⅱ) R / I$ は体である。

$(ⅰ) \Rightarrow (ⅱ)$
$a \in R$ に対し $\overset{―}{a} := a + I \in R / I$ とする。
$a \notin I$ すなわち $\overset{―}{a} \neq \overset{―}{0}$ として $J = I + (a)$ とすると， $J$ は極大イデアル $I$ を真に含むイデアルとなるから $J = R$
したがって $1 \in J$ であるから $i + a r = 1$ を満たす $i \in I, r \in R$ が存在する。
実は，このとき $\overset{―}{r}$ が $\overset{―}{a}$ の逆元になっている。実際， $\bar{a} \bar{r} = \overset{―}{a r} = \overset{―}{1 - i} = \overset{―}{1}$ となる。□
$(ⅱ) \Rightarrow (ⅰ)$
$J$ を $I$ を真に含むイデアルとすると， $a \in J - I$ が存在し， $\overset{―}{a} \neq \overset{―}{0}$ であるから仮定から $\overset{―}{a b} = \overset{―}{1}$ すなわち $1 - a b \in I$ を満たす $b \in R$ が存在する。
$a \in J$ であったから $a b \in J$ であり， $1 - a b \in I \subset J$ であることとあわせると $1 = a b + (1 - a b) \in J$ を得る。
したがって $J = R$ となるから $I$ は極大イデアルである。□

上の命題から得られる系

以上から次の系が得られる。

命題 2

$K$ を体とし， $f$ を $K$ 上既約多項式とすると， $K [x] / (f)$ は体である（ $K$ 上の多項式とは， $K$ の元を係数にもつ多項式を指す）。

命題 $1$ より $K [x]$ は $P I D$ であるから，特に $U F D$ （一意分解整域）でもあるので， $f$ は $K [x]$ の素元すなわち $(f)$ は素イデアルとなる。
さらに $K [x]$ は $P I D$ から $(f)$ は極大イデアルでもある。
よって命題 $2$ より $K [x] / (f)$ は体である。□

補足

証明の流れがやや複雑なので，用いた事実を挙げておく。 $R$ を可換環とする。

$R : P I D$ $\Rightarrow R : U F D$
$R : U F D$ $\Rightarrow R$ の既約元は素元
$R : P I D$ $\Rightarrow R$ の素イデアルは極大イデアル

可換環の極大イデアルによる商

$ℚ [x] / (x)$ は体である（系を参照せよ）。
素数 $p$ に対し， $ℤ / (p)$ は体である。
$ℤ / (p)$ が体であることを直接示すには，任意の $\overset{―}{a} \in ℤ / (p) - {\overset{―}{0}}$ に対し写像 $φ : ℤ / (p) \to ℤ / (p), \overset{―}{x} \mapsto \overset{―}{a x}$
を考えて， $φ$ が全単射であることをいえばよい（読者は確かめてみよ）。