ガロア理論③　体上の多項式

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はじめに

今回の記事は，ガロア理論① で扱わなかった体の性質を二つ扱います。今回は命題の証明が続くので若干ハードですが，どちらも今後の議論に役立つものです。

体上の多項式環

$K$が体ならば，多項式環$K[x]$は$\rm{PID}$（単項イデアル整域）である。

$I$を$K[x]$の任意のイデアルとする。$I≠(0)$としてよい。
$I$が$0$でない定数$a∈K$を含むならば，$aa^{-1}=1∈I$であるから$I=(1)$である。
以下ではそうでないとし，$I$に含まれる$0$でない次数最小の多項式を一つとって$g$とする。このとき，任意の$f∈I$に対し$f=gq+r,\deg r<\deg g$を満たす$q,r∈K[x]$が存在し，しかも$r=f-gq∈I$となるが，$r≠0$と仮定すると$\deg g$の最小性に矛盾する。よって$r=0$であるから，$I⊆(g)$
逆の包含関係は明らかであるから，$I=(g)$　□

体上の多項式環

$ℚ[x],ℝ[x],ℂ[x]$は$\rm{PID}$である。
一方で，$ℤ[x]$は整域であるが$\rm{PID}$ではない。
たとえば，$(2,x)⊆ℤ[x]$は単項イデアルでない。実際，$f∈ℤ[x]$が存在して$(f)=(2,x)$と仮定すると，$g,h∈ℤ[x]$が存在して$fg=2,fh=x$
この二式から$f=±1$のいずれかとなるが，$1∉(2,x)$に矛盾する。

可換環の極大イデアルによる商

$R$を可換環とする。以下の条件は同値である。
$(ⅰ)I⊆R$は極大イデアルである。
$(ⅱ)R/I$は体である。

$(ⅰ)⇒(ⅱ)$
$a∈R$に対し$\ol{a}:= a+I∈R/I$とする。
$a∉I$すなわち$\ol{a}≠\ol{0}$として$J=I+(a)$とすると，$J$は極大イデアル$I$を真に含むイデアルとなるから$J=R$
したがって$1∈J$であるから$i+ar=1$を満たす$i∈I,r∈R$が存在する。
実は，このとき$\ol{r}$が$\ol{a}$の逆元になっている。実際，$\bar{a}\bar{r}=\ol{ar}=\ol{1-i}=\ol{1}$となる。□
$(ⅱ)⇒(ⅰ)$
$J$を$I$を真に含むイデアルとすると，$a∈J-I$が存在し，$\ol{a}≠\ol{0}$であるから仮定から$\ol{ab}=\ol{1}$すなわち$1-ab∈I$を満たす$b∈R$が存在する。
$a∈J$であったから$ab∈J$であり，$1-ab∈I⊂J$であることとあわせると$1=ab+(1-ab)∈J$を得る。
したがって$J=R$となるから$I$は極大イデアルである。□

上の命題から得られる系

以上から次の系が得られる。

命題 2

$K$を体とし，$f$を$K$上既約多項式とすると，$K[x]/(f)$は体である（$K$上の多項式とは，$K$の元を係数にもつ多項式を指す）。

命題$1$より$K[x]$は$\rm{PID}$であるから，特に$\rm{UFD}$（一意分解整域）でもあるので，$f$は$K[x]$の素元すなわち$(f)$は素イデアルとなる。
さらに$K[x]$は$\rm{PID}$から$(f)$は極大イデアルでもある。
よって命題$2$より$K[x]/(f)$は体である。□

補足

証明の流れがやや複雑なので，用いた事実を挙げておく。$R$を可換環とする。

$R:\rm{PID}$$⇒R:\rm{UFD}$
$R:\rm{UFD}$$⇒R$の既約元は素元
$R:\rm{PID}$$⇒R$の素イデアルは極大イデアル

可換環の極大イデアルによる商

$ℚ[x]/(x)$は体である（系を参照せよ）。
素数$p$に対し，$ℤ/(p)$は体である。
$ℤ/(p)$が体であることを直接示すには，任意の$\ol{a}∈ℤ/(p)-\{\ol{0}\}$に対し写像$φ:ℤ/(p)→ℤ/(p),\ol{x}↦\ol{ax}$
を考えて，$φ$が全単射であることをいえばよい（読者は確かめてみよ）。