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ガロア理論④ 多項式の根

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はじめに

前回,体K上の多項式環K[x]PIDであることを確かめました。
ところで,多項式の値を0にするxはどこにあるのでしょうか。Kの中に 収まる のか,はたまたKから はみ出る のでしょうか。Kからはみ出たとして,Kどこまで 拡大すれば収まるようにできるのでしょうか。

目次

1.多項式の根
2.代数拡大

多項式の根

根・代数的数・超越的数
  • Kを体とする。Kの元を係数にもつ多項式をKの多項式[1]という。
  • K上の多項式fに対し,αL/Kf(α)=0を満たすとき,αを多項式fという。
  • αL/Kに対し,αを根にもつ0でないK上の多項式が存在するとき,αK上代数的数といい,そうでないときK上超越的数という。

αKならばxααを根にもつ0でないK上の多項式となるから,αK上代数的数である。
ここで,「K上」という語を強調しておきたい。我々が多項式を考えるとき,それをどの体で考えているのかが非常に重要になるからだ(たとえば例1の四つ目がそうである)。

根・代数的数・超越的数
  • f(x)=x2+x2,g(x)=14x2+1はともにの多項式[2]*である。
  • fの根は1,2,gの根は±2i/ である。
  • 1+3i2代数的である。(これはx2+x+1の根である)
  • ネイピア数e,円周率π [3]*上__超越的であるが上__代数的である。
0を除外する理由

代数的数や超越的数の定義から0を除外するのは,Lの任意の元は0という多項式の根になるため,0を含めて考えてもしかたがないからである。

代数拡大

代数拡大

L/K代数拡大であるとは,Lの任意の元がK上代数的数であることをいう。

定義をもう少し平たい言葉で説明しよう。要は,L/Kが代数拡大であるとは,Lのどんな元も0でないあるK上の多項式の根になっているということだ。

代数拡大
  • (2)/は代数拡大である。
  • 上代数的数の全体は体をなし,/は代数拡大である。
  • /は代数拡大でない。(e,πなどは上超越的数である)

を__代数的数体__という。が体をなすことの証明はより多くの知識を必要とする。

(2)/は代数拡大

α(2)とすると,α=p+q2を満たすp,qが存在する。α=pq2とすれば,x22px+p22q2α,α¯を根にもつ上の多項式である。□


ここで,前回予告していた代数拡大と有限次拡大を関係づける定理を証明する。

有限次拡大は代数拡大である。

LKを有限次拡大とし,[L:K]=nとする。このとき,Lの任意の元αに対し,n+1個の元1,α,α2,,αnを考えると,これらは一次従属なので,すべては0ではないc0,c1,c2,,cnKが存在して
c0+c1α+c2α2++cnαn=0
を満たす。ゆえに,f(x)=c0+c1x+c2x2++cnxnαを根にもつ0でないK上の多項式であるから,αK上代数的数である。αは任意であったから,L/Kは代数拡大であることがわかる。□

ガロア理論② (23)/,(2+3)/の拡大次数を例にあげたが,この二つはどちらも有限次拡大であった。したがって定理からこれらは代数拡大でもあることがわかる。

逆は成り立たない。たとえば,/は代数拡大であるが無限次拡大である。

前々回の記事で,「(2)=[2]は偶然か?」という問いを残したのを覚えているでしょうか。次回の記事で,その問いに対する答えを与えます。




[1]: 本記事では,単に「多項式」と言ったときは一変数で項が有限個のものを指します。ここではdeg0=としておきます。


[2]: f,g上多項式でもあるし上多項式でもあります。


[3]: e,π上超越的であることを示すには解析的知識が必要となるのでここでは扱いません。

投稿日:2023313
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Qualtagh
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数学徒 じゅけんせいのすがた 扱う分野:位相空間論 群論 環論 体論 位相幾何

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