ガロア理論⑥　単拡大の拡大次数

$\alpha$の$K$上の最小多項式を$p(x)$とする。
$\phi :K[x]\to K(\alpha ),f(x)\mapsto f(\alpha )$は全射準同型${}^{\ast 1}$であり，$\ker \phi =(p(x){)}^{\ast 2}$であるから
$K[x]/(p(x))\cong K(\alpha )$（同型写像$\psi :\overline{f(x)}\mapsto f(\alpha )$を誘導）
よって，$S=\{\bar{1},\bar{x},\dots ,\overline{x^{n-1}}\}$が$K[x]/(p(x))$の基底であることを示せばよい。そうすれば，$\{\psi \left(\bar{1}\right),\psi \left(\bar{x}\right),\dots ,\psi \left(\overline{x^{n-1}}\right)\}=\{1,\alpha ,\dots ,a^{n-1}\}$が$K(\alpha )/K$の基底であるといえるからである。
まず，$S$が$K[x]/(p(x))$を生成することを示そう。任意の$g\in K[x]$に対し，$g=pq+r(\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}p)$を満たす$q,r\in K[x]$が存在する。$\bar{g}=\overline{pq+r}=\bar{p}\bar{q}+\bar{r}=\bar{r}$を満たすが，
$r=c_0+c_{1}x+\dots +c_{n-1}{x}^{n-1}(c_i\in K(\forall i))$とかくと，
$\bar{g}=\overline{c_0+c_{1}x+\dots +c_{n-1}{x}^{n-1}}=\overline{c_0}\times \bar{1}+\overline{c_1}\bar{x}+\dots +\overline{c_{n-1}}\overline{x^{n-1}}$
となるから$S$は確かに$K[x]/(p(x))$を生成する。
次に，$S$の元が線形独立であることを示す。$\overline{c_0+c_{1}x+\dots +c_{n-1}{x}^{n-1}}=\bar{0}$すなわち$c_0+c_{1}x+\dots +c_{n-1}{x}^{n-1}=p(x)q(x)$を満たす$q\in K[x]$が存在したとする。このとき，$q\ne 0$と仮定すると$\mathrm{deg}(pq)\ge n$となり矛盾するから$q=0$であり，したがって$c_0+c_{1}x+\dots +c_{n-1}{x}^{n-1}=0$
よって$c_0=c_1=\dots =c_{n-1}=0$　□