ガロア理論⑤　最小多項式と単拡大について

はじめに

前回，代数的数を定義しました。定義から明らかに，$\alpha \in L/K$が代数的数ならば$\alpha$を根にもつ$K$上の多項式$p(x)$が存在するはずです。
そのような$p(x)$は無数にあるのですが，実はある条件を加えると一意に定まります。

目次

1.最小多項式
2.代数的数による単拡大

最小多項式

$\alpha$が$K$上代数的数ならば，最小多項式は確かに存在する。実際，$\alpha$は$K$上代数的であるから，$\alpha$を根にもつ$0$でない$K$上の多項式$p(x)$が存在し，しかも$\mathbb{N}$の整列性から次数最小のものがとれる。必要であれば，$p(x)$の最高次係数を$c(\ne 0)$として${\displaystyle q(x)=\frac{1}{c}p(x)}$とすると，$q(x)$は$K$上のモニック多項式になる。

以上で，代数的数の最小多項式はただ一つ存在し，しかも既約であることがわかりました。これは_非常に嬉しい性質_です。

さて，読者の皆様は， ガロア理論② の最後で「$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$は偶然か？」という問いが残されたままなのを覚えていますでしょうか。その問いに答える準備がこれで整いました。

代数的数による単拡大

${}^{\ast 1}$ $\forall f\in K[x]$は$q,r\in K[x]$を用いて$f=pq+r(\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}p)$とかける。$f\in \ker \phi$ならば$r(\alpha )=0$となり，$\mathrm{deg}p$の最小性から$r=0$
したがって$\ker f\subseteq (p(x))$
逆の包含関係は明らか。

${}^{\ast 2}$ ガロア理論③ の系から従う。

系：$K$を体とし，$f$を$K$上既約多項式とすると，$K[x]/(f)$は体である

これで，$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$が成り立つのは偶然ではなく，$\sqrt{2}$が$\mathbb{Q}$上代数的であることによって一致するのだということがわかりました。

ところで，たとえば

• $\sqrt{2}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は$x^2-2$で$2$次
• $\sqrt[3]{2}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は$x^3-2$で$3$次
• $\sqrt{2}+\sqrt{3}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は$x^4-10x^2+1$で$4$次
  でした。何か気づきましたか？ヒントは， ガロア理論② です。