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大学数学基礎解説
文献あり

ハウスドルフ空間のコンパクト集合って点みたいだよね

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という話があります.そのことが窺える例(状況証拠?)をふたつ紹介します.

準備

$X, Y$を位相空間,$A \subset X, B \subset Y$をコンパクト集合とする.このとき,$A \times B$の任意の開近傍$W \subset X \times Y$に対して,$A$の開近傍$U \subset X$$B$の開近傍$V \subset Y$であって$U \times V \subset W$となるものが存在する.

$(x, y) \in A \times B$とする.積位相の定義より,$x$の開近傍$U_{(x,y)} \subset X$$y$の開近傍$V_{(x,y)} \subset Y$であって$U_{(x,y)} \times V_{(x,y)} \subset W$となるものが存在する.
$x \in A$に対して$\{V_{(x,y)} | y \in B \}$$B$の開被覆なので,有限個の点$y_{1}, \ldots, y_{m} \in B$であって$B \subset V_{(x,y_{1})} \cup \cdots \cup V_{(x,y_{m})}$となるものが存在する.そこで
$$U_{x} = U_{(x,y_{1})} \cap \cdots \cap U_{(x,y_{m})},\ V_{x} = V_{(x,y_{1})} \cup \cdots \cup V_{(x,y_{m})}$$
とおく.このとき$U_{x} \times V_{x} \subset W$となることに注意する.
いま$\{U_{x} | x \in A \}$$A$の開被覆なので,有限個の点$x_{1}, \ldots, x_{n} \in A$であって$A \subset U_{x_{1}} \cup \cdots \cup U_{x_{n}}$となるものが存在する.
そこで
$$ U = U_{x_{1}} \cup \cdots \cup U_{x_{n}},\ V = V_{x_{1}} \cap \cdots \cap V_{x_{n}}$$
とおくと,$U$$A$の開近傍,$V$$B$の開近傍であり,$U \times V \subset W$が成り立つ.

ひとつめ

ハウスドルフの分離公理に対応して次が成り立ちます.

$X$をハウスドルフ空間とし,$A, B \subset X$を交わらないコンパクト集合とする.このとき,$A$の開近傍$U \subset X$$B$の開近傍$V \subset X$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する.

$X$はハウスドルフ空間なので,対角集合$\Delta \subset X \times X$は閉集合である.
仮定より$A \cap B = \varnothing$なので$(X \times X)\smallsetminus \Delta$$A \times B$の開近傍である.したがって補題1より$A$の開近傍$U \subset X$$B$の開近傍$V \subset X$であって$U \times V \subset (X \times X) \smallsetminus \Delta$となるものが存在する.これは$U \cap V = \varnothing$ということにほかならない.

有限個のコンパクト集合の和集合はまたコンパクトであることに注意すると,上の命題は有限個の互いに交わらないコンパクト集合に対しても成り立つことがわかります.このことは「ハウスドルフ空間の有限個の点は互いに交わらない開近傍を持つ」という命題に対応するものと言えます.

ふたつめ

ハウスドルフ空間の1点集合は閉集合となります.このことに対応して次が成り立ちます.

命題 2 の

ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合である.

$X$をハウスドルフ空間,$A \subset X$をコンパクト集合とする.$X \smallsetminus A \subset X$が開集合であることを示せばよい.
$x \in X \smallsetminus A$とする.$A, \{x\} \subset X$は交わらないコンパクト集合なので,命題2より$A$の開近傍$U \subset X$$\{x\}$の開近傍$V \subset X$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する.この$V$に対して$ x \in V \subset X \smallsetminus A$が成り立つ.

(初学の頃,「コンパクト空間の閉集合はコンパクトである」という命題とごっちゃになって混乱した覚えがあります.「ハウスドルフ空間のコンパクト集合は点」と標語的に覚えておくと思い出すときの助けになるかもしれません.)

おまけ

コンパクト空間の閉集合はコンパクトである.

$X$をコンパクト空間,$A \subset X$を閉集合とする.
$\mathcal{F}$を有限交叉性を持つ$A$の閉集合族とする.いま$A$$X$の閉集合なので,$\mathcal{F}$$X$の閉集合族でもある.したがって$X$のコンパクト性より$\bigcap \mathcal{F} \neq \varnothing$が成り立つ.
よって$A$はコンパクトである.

命題2と合わせて次の定理が得られます.

コンパクトハウスドルフ空間は正規である.

$X$をコンパクトハウスドルフ空間,$A, B \subset X$を交わらない閉集合とする.
補題3より$A, B \subset X$はコンパクトであるから,命題2が適用できる.

参考文献

[1]
川﨑徹郎, 位相空間 例と演習
投稿日:2023318

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投稿者

うすい
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