ハウスドルフ空間のコンパクト集合って点みたいだよね

$(x, y) \in A \times B$とする．積位相の定義より，$x$の開近傍$U(x,y) \subset X$と$y$の開近傍$V(x,y) \subset Y$であって
$$ U(x,y) \times V(x,y) \subset W$$
となるものが存在する．各$x \in A$に対して$\{V(x,y) \mid y \in B \}$は$B$の開被覆なので，有限個の点$y_{1}, \ldots, y_{m} \in B$であって
$$ B \subset V(x,y_{1}) \cup \cdots \cup V(x,y_{m})$$
となるものが存在する．そこで
$$ U(x) := U(x,y_{1}) \cap \cdots \cap U(x,y_{m}),\ V(x) := V(x,y_{1}) \cup \cdots \cup V(x,y_{m})$$
とおく．このとき$U(x) \times V(x) \subset W$となることに注意する．いま$\{U(x) \mid x \in A \}$は$A$の開被覆なので，有限個の点$x_{1}, \ldots, x_{n} \in A$であって
$$ A \subset U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n})$$
となるものが存在する．そこで
$$ U := U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n}),\ V := V(x_{1}) \cap \cdots \cap V(x_{n})$$
とおくと，$U$は$A$の開近傍，$V$は$B$の開近傍であり，$U \times V \subset W$が成り立つ．

$X$はハウスドルフ空間なので，対角集合$\Delta \subset X \times X$は閉集合である．
仮定より$A \cap B = \varnothing$なので$(X \times X)\smallsetminus \Delta$は$A \times B$の開近傍である．したがって補題1より$A$の開近傍$U \subset X$と$B$の開近傍$V \subset X$であって$U \times V \subset (X \times X) \smallsetminus \Delta$となるものが存在する．これは$U \cap V = \varnothing$ということにほかならない．

$X$をハウスドルフ空間，$A \subset X$をコンパクト集合とする．$X \smallsetminus A \subset X$が開集合であることを示せばよい．

$x \in X \smallsetminus A$とする．$A, \{x\} \subset X$は交わらないコンパクト集合なので，命題2より$A$の開近傍$U \subset X$と$\{x\}$の開近傍$V \subset X$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する．この$V$に対して$ x \in V \subset X \smallsetminus A$が成り立つ．

$X$をコンパクト空間，$A \subset X$を閉集合とする．
$\mathcal{F}$を有限交叉性を持つ$A$の閉集合族とする．いま$A$は$X$の閉集合なので，$\mathcal{F}$は$X$の閉集合族でもある．したがって$X$のコンパクト性より$\bigcap \mathcal{F} \neq \varnothing$が成り立つ．
よって$A$はコンパクトである．

$X$をコンパクトハウスドルフ空間，$A, B \subset X$を交わらない閉集合とする．
補題3より$A, B \subset X$はコンパクトであるから，命題2が適用できる．