ガロア理論⑨　Eisenstein の既約判定法

$f$が$\mathbb{Q}$上可約であると仮定して矛盾を導く。このとき， ガロア理論⑧ $\text{Gauss}$の補題系から$f=gh$を満たす定数でない$g,h\in \mathbb{Z}[x]$が存在する。
$g(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_m{x}^m$
$h(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_l{x}^l$
$(m,l\ge 1,m+l=n,b_m\ne 0,c_l\ne 0)$
とすると，$a_0=b_0{c}_0$および$(\mathrm{ⅱ}),(\mathrm{ⅲ})$から，$b_0,c_0$のどちらか一方のみが$p$で割り切れる。どちらでも同じことなので$b_0$のみが$p$で割り切れるとしてよい。

次に，このとき$b_k(k=0,1,\cdots ,m-1)$が$p$で割り切れることを$k$に関する帰納法で示そう。

$b_0$が$p$で割り切れることはいま述べた通りである。
そこで，$1\le k\le m-1$として$b_0,b_1,\cdots ,b_{k-1}$が$p$で割り切れたとする。このとき，$(\mathrm{ⅱ})$から$a_k$は$p$で割り切れ，かつ
$a_k=b_0{c}_k+b_1{c}_{k-1}+\cdots +b_k{c}_0$
であるから$b_k{c}_0$は$p$で割り切れる。いま，$c_0$は$p$で割り切れないとしていたから$b_k$が$p$で割り切れることとなる。以上で主張が示された。

さて，
$a_m=b_0{c}_m+b_1{c}_{m-1}+\cdots +b_m{c}_0$
であるが，$(\mathrm{ⅱ})$から$a_m$は$p$で割り切れることと上の主張を用いると$b_m{c}_0$は$p$で割り切れる。さらに，$c_0$は$p$で割り切れないとしていたから$b_m$は$p$で割り切れることとなる。

一方で，$a_n=b_m{c}_l$および$(\mathrm{ⅰ})$を用いると$b_m$は$p$で割り切れないこととなる。

ここで矛盾が生じたので，$f$は$\mathbb{Q}$上既約となる。▢

$A_p=\{1,2,\cdots ,p-1\}$であるから，
$F_p(x)=(x-{\zeta }_p)(x-{\zeta }_p^2)\cdots (x-{\zeta }_p^{p-1}){\displaystyle =\frac{x^p-1}{x-1}}$　（∵因数定理）
$=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$
よって，${\displaystyle F_p(x+1)=\frac{(x-1{)}^p+1}{(x-1)+1}{\displaystyle =x^{p-1}-(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{1})x^{p-2}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-2})(-1{)}^{p-2}x+p(-1{)}^{p-1}}}$
素数$p$は判定法の規準を満たすから，$F_p(x+1)$は$\mathbb{Q}$上既約である。
したがって補題から$F_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +1$も$\mathbb{Q}$上既約である。▢