ガロア理論⑨　Eisenstein の既約判定法

$f$が$ℚ$上可約であると仮定して矛盾を導く。このとき， ガロア理論⑧ $\text{Gauss}$の補題系から$f=gh$を満たす定数でない$g,h∈ℤ[x]$が存在する。
$g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m$
$h(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_lx^l$
$(m,l≥1,m+l=n,b_m≠0,c_l≠0)$
とすると，$a_0=b_0c_0$および$(ⅱ),(ⅲ)$から，$b_0,c_0$のどちらか一方のみが$p$で割り切れる。どちらでも同じことなので$b_0$のみが$p$で割り切れるとしてよい。

次に，このとき$b_k(k=0,1,\cdots,m-1)$が$p$で割り切れることを$k$に関する帰納法で示そう。

$b_0$が$p$で割り切れることはいま述べた通りである。
そこで，$1≤k≤m-1$として$b_0,b_1,\cdots,b_{k-1}$が$p$で割り切れたとする。このとき，$(ⅱ)$から$a_k$は$p$で割り切れ，かつ
$a_k=b_0c_k+b_1c_{k-1}+\cdots+b_kc_0$
であるから$b_kc_0$は$p$で割り切れる。いま，$c_0$は$p$で割り切れないとしていたから$b_k$が$p$で割り切れることとなる。以上で主張が示された。

さて，
$a_m=b_0c_m+b_1c_{m-1}+\cdots+b_mc_0$
であるが，$(ⅱ)$から$a_m$は$p$で割り切れることと上の主張を用いると$b_mc_0$は$p$で割り切れる。さらに，$c_0$は$p$で割り切れないとしていたから$b_m$は$p$で割り切れることとなる。

一方で，$a_n=b_mc_l$および$(ⅰ)$を用いると$b_m$は$p$で割り切れないこととなる。

ここで矛盾が生じたので，$f$は$ℚ$上既約となる。▢

$A_p=\{1,2,\cdots,p-1\}$であるから，
$F_p(x)=(x-ζ_p)(x-ζ_p^2)\cdots(x-ζ_p^{p-1})\displaystyle=\frac{x^p-1}{x-1}$　（∵因数定理）
$=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1$
よって，$\displaystyle F_p(x+1)=\frac{(x-1)^p+1}{(x-1)+1}\displaystyle=x^{p-1}-\binom{p}{1}x^{p-2}+\cdots+\binom{p}{p-2}(-1)^{p-2}x+p(-1)^{p-1}$
素数$p$は判定法の規準を満たすから，$F_p(x+1)$は$ℚ$上既約である。
したがって補題から$F_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+…+1$も$ℚ$上既約である。▢