ガロア理論⑪　体の同型

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はじめに

今回は，体の同型に関する諸定義を導入し，最小分解体の一意性を保証するための$1$つの命題を証明します。今回は定義の導入と命題の証明を合わせるとやや長くなるので，一意性の証明は次回にまわしたいと思います。

体の同型に関する諸定義

同型写像の延長・制限

$L/K,L'/K'$とし，同型$σ_0:K→K'$が存在するとする。このとき，次の条件を満たす同型$σ:L→L'$を「$σ_0$の$L$への延長」といい，$σ_0$は「$σ$の$K$への制限」という。
$^\forall a\in K,σ(a)=σ_0(a)$

$σ$は，$K$上では$σ_0$に一致するような同型$L→L'$のことである。つまり，$σ$の定義域を文字通り$K$に「制限」すると$σ_0$を得る。このとき，$σ_0=σ|_K$とかく。

$\xymatrix@R=48pt@C=48pt{ L \ar@{-}[d] \ar[r]^{\sim}_{σ} \ar@{}[dr]|\circlearrowleft & L' \ar@{-}[d] \\ K \ar[r]^{\sim}_{σ_0} & K' }$

体上の同型写像

体$K$の拡大体$L,L'$に対し，同型$σ:L→L'$であって，その$K$への制限が恒等写像であるものを「$K$上の同型写像」という。
また，そのような$σ$が存在するとき，$L$と$L'$は$K$上同型であるといい，$L\overset{K}{≅}L'$とかく。

$σ|_K=\mathrm{id_K}$である。つまり，$σ$は$K$の元を変えないような$L$から$L'$への同型写像である。「$K$上」というのは「定義域が$K$」という意味ではないので注意が必要である。

$\xymatrix@R=48pt@C=48pt{ L \ar@{-}[d] \ar[r]^{\sim}_{σ} \ar@{}[dr]|\circlearrowleft & L' \ar@{-}[d] \\ K \ar[r]_{\text{id}} & K }$

$L/K$とする。$L$からそれ自身への$K$上の同型写像を$K$上の自己同型という。

$\mathrm{id}_L$は明らかに$K$上の自己同型であるから，とくに$L\overset{K}{≅}L$である。

$\xymatrix@R=48pt@C=48pt{ L \ar@{-}[d] \ar[r]^{\sim}_{σ} \ar@{}[dr]|\circlearrowleft & L \ar@{-}[d] \\ K \ar[r]_{\text{id}} & K }$

$L/K$とし，$α,β∈L$とする。$K$上の自己同型$σ$が存在して$σ(α)=β$を満たすとき，$α$と$β$は$K$上共役であるという。

読者が馴染み深いであろう「複素共役」の概念は，実は$ℝ$上共役の特別な場合である。
$σ:ℂ\toℂ,a+bi↦a-bi\;(a,b∈ℝ)$は$ℝ$上の同型写像である（確かめてみよ）。ゆえに，たとえば$1+2i,1-2i$は$σ$で移り合うから$ℝ$上共役となる。

$\xymatrix@R=48pt@C=48pt{ ℂ \ar@{-}[d] \ar[r]^{\sim}_{σ} \ar@{}[rd]|{\circlearrowleft}& ℂ \ar@{-}[d] \\ ℝ \ar[r]_{\mathrm{id}} & ℝ } $

命題

さて，ここまでで一通り必要なことを定義したから，命題の証明にうつる。

$K,K'$を体とし，$p∈K[x]$を任意の$K$上既約多項式とする。同型$σ_0:K\to K'$が存在するとき，次が成り立つ。
$L,L'$を$p,σ_0(p)^{*1}$の最小分解体とする。$p,σ_0(p)$それぞれの任意の根$α∈L,β∈L'$に対し，$σ(α)=β$を満たす$σ_0$の延長$σ:K(α)→K'(β)$がただ$1$つ存在する。

$^{*1}$：$σ_0(p)$とは，$p$のすべての係数を$σ_0$で移して得る$K'$上多項式を指す。

命題の主張はすなわち，任意に根$α,β$を選んでも，$α↦β$を満たす$σ_0$の延長$K(α)→K'(β)$がただ$1$つ存在するということである。

図解（命題$1$）

$\xymatrix@R=48pt@C=48pt{ L \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & L' \ar@{-}[d] \\ K(α) \ar[r]^{\sim}_{^{\exists!}σ:α↦β} \ar@{}[rd]|\circlearrowleft& K'(β) \\ K \ar[r]^{\sim}_{σ_0} \ar@{-}[u] & K' \ar@{-}[u] } $

※証明を読む際は証明の下の図式を参考にするとよい。

① $σ_0(p)$の$K'$上既約性を示す。

$σ_0(p)=gh\;(g,h∈K'[x])$とすると，$p=σ_0^{-1}(gh)=σ_0^{-1}(g)σ_0^{-1}(h)$
$p$は$K$上既約であったから，たとえば$σ_0^{-1}(g)=c\;(c$は定数)と仮定できる。このとき，$σ_0(p)=σ_0(c)h$
もちろん$σ_0(c)∈K'[x]$も定数であるから，$σ_0(p)$は$K'$上既約となる。

②$σ$を構成する準備

さて，自然な全射準同型$ψ:K[x]→K(α),ψ':K'[x]→K'(β)^{*2}$を考える。すでに述べたように$p,σ_0(p)$はそれぞれ$K,K'$上既約で$α,β$を根にもつから，$\ker{ψ}=(p),\ker{ψ'}=(σ_0(p))$
準同型定理より，$K[x]/(p)≅K(α),K'[x]/(σ_0(p))≅K'(β)$（それぞれ同型$φ:f+(p)↦f(α),φ':f+(σ_0(p))↦f(β)$を誘導する）
以下，$M=K[x]/(p),M'=K'[x]/(σ_0(p))$とする。

③$σ$を構成する準備

さらに，$M≅M'$である。実際，$τ:M→M',f+(p)↦σ_0(f)+(σ_0(p))$は同型写像である。証明は難しくない。

④$σ$の存在

このとき，$σ=φ' \circ τ \circ φ^{-1}$とすれば$σ$は条件を満たすことを示そう。$σ$が同型写像であることは明らかであるから，$σ|_K=σ_0$および$σ(α)=β$を示す。まず$c∈K$とすると，
$σ(c)=(φ' \circ τ \circ φ^{-1})(c)=(φ' \circ τ)(c+(p))=φ'(σ_0(c)+σ_0(p))=σ_0(c)$
また，
$σ(α)=(φ' \circ τ \circ φ^{-1})(α)=(φ' \circ τ)(x+(p))=φ'(x+(σ_0(p)))^{*3}=β$

以上で$σ$が条件を満たすことが示された。

⑤$σ$の一意性

次に，$σ$が一意であることを示す。$K≅K',K(α)≅K'(β)$であり，$α$は$K$上代数的であるから，$[K(α):K]=[K'(β):K']=n<\infty$である。ここで，$S=\{1,α,\cdots,α^{n-1}\},S'=\{1,β,\cdots,β^{n-1}\}$はそれぞれ$K(α)/K,K'(β)/K'$の基底である$^{*4}$が，$σ(S)=S'$であるから，$σ$は基底を基底に移すような線形写像である。したがって$σ$は一意である。▢

図解（証明）

$\xymatrix@R=36pt@C=18pt{ L \ar@{-}[d] \ar@{-}[rrr] &&& L' \ar@{-}[d] \\ K(α) \ar[r]^(0.55){\sim}_(0.55){φ^{-1}} \ar@/^18pt/[rrr]^{\sim}_{σ} \ar@{}[rrrd]|{\circlearrowleft} & M \ar[r]^(0.4){\sim}_(0.4){τ} & M' \ar[r]^(0.4){\sim}_(0.4){φ'} & K'(β) \\ K \ar@{-}[u] \ar[rrr]^{\sim}_{σ_0} &&& K' \ar@{-}[u] }$

$^{*2}$：$ψ:f(x)↦f(α),ψ':f(x)↦f(β)$である。$α$は$K$上代数的であるから，$K(α)=K[α]$（ガロア理論⑤ 定理$3$）であることに注意すれば直ちに$ψ$は全射準同型であるとわかる。$ψ'$についても同様である。

$^{*3}$：$τ(x+(p))=σ_0(x)+(σ_0(p))=σ_0(1)x+(σ_0(p))=x+(σ_0(p))$

$^{*4}$：ガロア理論⑥ 定理$1$

$ℂ/ℚ$において$σ_0=\mathrm{id}_ℚ$とし，$p(x)=x^3-2$とする。$p,σ_0(p)$の根はいずれも$\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}ω,\sqrt[3]{2}ω^2$であるから，以下のような$\mathrm{id}_ℚ$の延長すなわち$ℚ$上の自己同型写像が存在する。
$σ_1:ℚ\left(\sqrt[3]{2}\right)→ℚ\left(\sqrt[3]{2}\right),\sqrt[3]{2}↦\sqrt[3]{2}\;\left(σ_1=\mathrm{id}_{ℚ\left(\sqrt[3]{2}\right)}\right)$
$σ_2:ℚ\left(\sqrt[3]{2}\right)→ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω\right),\sqrt[3]{2}↦\sqrt[3]{2}ω$
$σ_3:ℚ\left(\sqrt[3]{2}\right)→ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω^2\right),\sqrt[3]{2}↦\sqrt[3]{2}ω^2$
$σ_4:ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω\right)→ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω\right),\sqrt[3]{2}ω↦\sqrt[3]{2}ω\;\left(σ_4=\mathrm{id}_{ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω\right)}\right)$
$σ_5:ℚ(\sqrt[3]{2}ω)→ℚ(\sqrt[3]{2}ω^2),\sqrt[3]{2}ω↦\sqrt[3]{2}ω^2$
$σ_6:ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω^2\right)→ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω^2\right),\sqrt[3]{2}ω^2↦\sqrt[3]{2}ω^2\;\left(σ_6=\mathrm{id}_{ℚ\left(\sqrt[3]{2}ω^2\right)}\right)$
および$σ_2^{-1},σ_3^{-1},σ_5^{-1}$