1
大学数学基礎解説

集合と写像と逆像

写像,集合
39
0

概要

他の記事用に集合X, Yの間の写像f:X→Yの性質について軽くまとめたい。

本文

X, Yを空でない集合とし、写像f:X→Yを考える。この時、fの逆を任意のB⊂Yに対して以下のように定める。

f−1(B):={x∈X;f(x)∈B}

fとB1,B2,⋯⊂Yに対して以下が成立する:

  1. f−1(Bc)=(f−1(B))c,
  2. f−1(∪i∈IBi)=∪i∈If−1(Bi)
  3. f−1(∩i∈IBi)=∩i∈If−1(Bi)

  1. x∈f−1(Bc)をとると、f(x)∈Bc⟺f(x)∉Bとなる。これはx∉f−1(B)⟺x∈(f−1(B))cである。よって、f−1(Bc)⊂(f−1(B))c。これを逆に辿って反対の包含関係を得る。

  2. x∈f−1(∪i∈IBi)をとる。この時、f(x)∈∪i∈IBi⟺f(x)∈∃Bi0となる。よって、x∈f−1(Bi0)。故に、x∈∪i∈If−1(Bi)なので、f−1(∪i∈IBi)⊂∪i∈If−1(Bi)を得た。これを逆に辿って反対の包含関係を得る。

  3. x∈f−1(∩i∈IBi)をとる。この時、f(x)∈∩i∈IBi⟺f(x)∈∀Biとなる。よって、x∈f−1(Bi), ∀i。故に、x∈∩i∈If−1(Bi)なので、f−1(∩i∈IBi)⊂∩i∈If−1(Bi)を得た。これを逆に辿って反対の包含関係を得る。

投稿日：2023年3月28日
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

derwind
derwind
13
2751
数学を専攻してたはずのに気がついたら道を踏み外しちゃったよ的なー。プログラムでの検証等々は https://zenn.dev/derwind でうにょうにょ。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中
derwind
derwind
集合と写像と逆像
  1. 概要
  2. 本文