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集合と写像と逆像

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

概要

他の記事用に集合$X$, $Y$の間の写像$f:X \to Y$の性質について軽くまとめたい。

本文

$X$, $Y$を空でない集合とし、写像$f:X \to Y$を考える。この時、$f$の逆を任意の$B \subset Y$に対して以下のように定める。

$$ \begin{align*} f^{-1}(B) := \{ x \in X; f(x) \in B \} \end{align*} $$

$f$$B_1, B_2, \cdots \subset Y$に対して以下が成立する:

  1. $f^{-1}(B^c) = \left( f^{-1}(B) \right)^c$,
  2. $f^{-1}(\cup_{i \in I} B_i) = \cup_{i \in I} f^{-1}(B_i)$
  3. $f^{-1}(\cap_{i \in I} B_i) = \cap_{i \in I} f^{-1}(B_i)$
  1. $x \in f^{-1}(B^c)$をとると、$f(x) \in B^c \iff f(x) \not\in B$となる。これは$x \not\in f^{-1}(B) \iff x \in \left(f^{-1}(B) \right)^c$である。よって、$f^{-1}(B^c) \subset \left(f^{-1}(B) \right)^c$。これを逆に辿って反対の包含関係を得る。

  2. $x \in f^{-1}(\cup_{i \in I} B_i)$をとる。この時、$f(x) \in \cup_{i \in I} B_i \iff f(x) \in \exists B_{i_0}$となる。よって、$x \in f^{-1}(B_{i_0})$。故に、$x \in \cup_{i \in I} f^{-1}(B_i)$なので、$f^{-1}(\cup_{i \in I} B_i) \subset \cup_{i \in I} f^{-1}(B_i)$を得た。これを逆に辿って反対の包含関係を得る。

  3. $x \in f^{-1}(\cap_{i \in I} B_i)$をとる。この時、$f(x) \in \cap_{i \in I} B_i \iff f(x) \in \forall B_i$となる。よって、$x \in f^{-1}(B_i),\ \forall i$。故に、$x \in \cap_{i \in I} f^{-1}(B_i)$なので、$f^{-1}(\cap_{i \in I} B_i) \subset \cap_{i \in I} f^{-1}(B_i)$を得た。これを逆に辿って反対の包含関係を得る。

投稿日:2023328

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投稿者

数学を専攻してたはずのに気がついたら道を踏み外しちゃったよ的なー。プログラムでの検証等々は https://zenn.dev/derwind でうにょうにょ。

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